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1、中 国 航 天 CZ 1F 动量定理 动量定理的应用 (1)遵从矢量性与独立性原理 (2)(2)合理与必要的近似合理与必要的近似 (3)尽量取大系统与整过程 如图所示，顶角为2、内壁光滑的圆锥体倒立竖直固定在P点， 中心轴PO位于竖直方向，一质量为m的质点以角速度绕竖直轴沿圆锥内壁做匀 速圆周运动，已知a、b两点为质点m运动所通过的圆周一直径上的两点，求质点 m从a点经半周运动到b点，圆锥体内壁对质点施加的弹力的冲量 分析受力： mg FN F向 运动半周动量变化量为 其中轨道半径r由 合外力冲量为 重力冲量为 I IGIN 弹力冲量为 m a b 2 O P 如图所示，质量为M的小车在光滑水
2、平面上以v0向左匀速运动，一质量为m 的小球从高h处自由下落，与小车碰撞后，反弹上升的高度仍为h设Mm，碰 撞时弹力FNmg，球与车之间的动摩擦因数为，则小球弹起后的水平速度为 A. B. 0 C. D. v0 M h 小球与车板相互作用，小球动量发生变化：水平方向动量 从0mvx，竖直方向动量大小不变，方向反向，对小球分别 在竖直、水平方向运用动量定理。 设小球与车板相互作用时 间t，小球碰板前速度vy，由 由动量定理 Ff FN m v0 如图所示，滑块A和B用轻线连接在一起后放在水平桌面上，水平恒力F 作用在B上，使A、B一起由静止开始沿水平桌面滑动已知滑块A、B与水平桌 面之间的动摩擦
3、因数均为力F作用时间t后A、B连线断开，此后力F仍作用于B 试求滑块A刚刚停住时，滑块B的速度大小？两滑块质量分别为mA、mB A BF 设绳断时A、B速度为V，绳断后A运 动时间为T;则在t+T时间内对系统有 而在t时间内对系统有 其中 如图所示，椭圆规的尺AB质量为2m，曲柄OC质量为m， 而套管A、B质量均为M已知OC=AC=CB=l；曲柄和尺的重心分别在其中点上； 曲柄绕O轴转动的角速度为常量；开始时曲柄水平向右，求：曲柄转成竖直向上 过程中，外力对系统施加的平均冲量 专题专题9-9-例例1 1 确定曲柄m、尺2m、套管A、B 质心的速度，确定质点系的动量 变化，对系统运用动量定理 曲
4、柄、尺的质心及套管A、B的速度相关关系如示 曲柄质心速度 尺质心速度 套管A速度 套管B速度 动量 动量 系统动量大小不变为 由动量定理，在从水平变成竖直过程中 如图所示，光滑的水平面上停着一只木球和载人小车，木 球质量为m，人和车总质量为M，已知Mm=161，人以速率v沿水平面将木球推 向正前方的固定挡板，木球被挡板弹回之后，人接住球后再以同样的对地速率将 球推向挡板设木球与挡板相碰时无动能损失求人经过几次推木球后，再也不 能接住木球？ 专题专题9-9-例例2 2 对木球与载人小车这个系统 ，动量从初时的0，到最终末 动量至少为（M+m）v，是墙 对木球冲量作用的结果： 经9次推木球后，再也
5、接不住木球 一根均匀的不可伸缩的软缆绳全长为l、质量为M开始时， 绳的两端都固定在邻近的挂钩上，自由地悬着，如图（甲）某时刻绳的一端松 开了，缆绳开始下落，如图（乙），每个挂钩可承受的最大负荷为FN（大于缆绳 的重力Mg），为使缆绳在下落时，其上端不会把挂钩拉断，Mg与FN必须满足什 么条件？假定下落时，缆绳每个部分在达到相应的最终位置之后就都停止不动 专题专题9-9-例例3 3 甲 乙 A B C 松开左缆绳,自由下落h时，左侧绳速度为 挂钩所受的力由两部分组成：一是承静止悬挂在 钩下的那部分缆绳的重；一是受紧接着落向静止 部分最下端的绳元段的冲力F，挂钩不被拉断，这 两部分力的总和不得超过
6、钩的最大负荷 研究左边绳处于最下端的极小段绳元x:受右 边静止绳作用,使之速度在极短时间t内减为0, 由动量定理 因时间极短内,忽略重力冲量,元段的平均速度取 当左边绳全部落下并伸下时,h=l 挂钩不断的条件是 一根铁链，平放在桌面上，铁链每单位长度的质量为 现用手提起链的一端，使之以速度v竖直地匀速上升，试求在从 一端离地开始到全链恰离地，手的拉力的冲量，链条总长为L 图示是链的一微元段离地的情景，该段微元长 F x 该段微元质量 设该元段从静止到被提起历时t， 那么竖直上升部分长x的链条在手的拉 力F、重力的冲量作用下，发生了末段 微元动量的变化，由动量定理: 力随时间线性变化，故可用算术
7、平均力求整个过程手拉力F的总冲量： 如图所示，水车有一孔口，水自孔口射出已知水面 距孔口高h，孔口截面积为a，水的密度为若不计水车与地面的摩 擦，求水车加于墙壁的水平压力 h 先求水从孔口射出的速度v 对处于孔口的一片水由动能定理: 对整个水车，水平方向受墙壁的压力F，在时间t内有质量为 的水获得速度 由动量定理: 水车加于墙壁的压力是该力的反作用力 ,大小为 逆风行船问题: 如图,帆船在逆风的情况下仍能 只依靠风力破浪航行设风向从B向A，位于A点处的帆船要想 在静水中最后驶达目标B点，应如何操纵帆船？要说明风对船帆的 作用力是如何使船逆风前进达到目标的 专题专题9-9-例例4 4 AB 风向
8、 设计如示航线 风向 F风对帆 F1 F2 航线 船帆 A B 航向与风向成角 风吹到帆面，与帆面发生弹性碰撞后以同样的反射 角折回风与帆的碰撞，对帆面施加了一个冲量， 使船受到了一个方向与帆面垂直的压力F，这个力 沿船身方向及垂直于船身方向的分力F1和F2，F2正 是船沿航线前进的动力，F1则有使船侧向漂移的作 用，可以认为被水对船的横向阻力平衡 风帆与船行方向成角 只要适时地改变 船身走向，同时 调整帆面的方位 ，船就可以依靠 风力沿锯齿形航 线从A驶向B 续解 mv 设设帆面受风风面积为积为 S，空气密度为为，风风速 为为v，在t时间时间 内到达帆面并被反弹弹的空气 质质量是F2 F1
9、F风对帆 mv p m 反弹弹空气动动量变变化量 由动动量定理,帆(船)对风对风 的冲力 帆(船)受到的前进动力F2为 将风即运动的空气与帆面的碰撞简化为弹性碰撞! 船沿航线方向的动力大小与扬帆方向有关，帆面与 船行方向的夹角适当，可使船获得尽大的动力 设风筝面与水平成角，风对 风筝的冲力为F，其中作为风 筝升力的分量为Fy，风筝面积 为S，右图给出各矢量间关系 放风筝时，风沿水平方向吹来，要使风筝得到最大上 升力，求风筝平面与水平面的夹角设风被风筝面反射后的方向遵 守反射定律 mv mv F Fy mv 风筝截面 根据基本不等式性质 由动量定理： 反冲模型 M m 系统总动量为零 平均动量守
10、恒 在系统各部分相互作用过程的各瞬间，总有 常以位移表示速度 须更多关注“同一性”与“同时性” “同一性”:取同一惯性参考系描述m1、m2的动量 “同时性”:同一时段系统的总动量守恒 O x S人 一条质量为M、长为L的小船静止在平静的 水面上，一个质量为m的人站立在船头如果不计水对 船运动的阻力，那么当人从船头向右走到船尾的时候 ，船的位移有多大？ 设船M对地位移为x，以向右方向为正，用 位移表速度，由 “”表示船的位移方向向左 人对船的位移 向右取正 船对地的位移 未知待求 运算法则 如图所示，质量为M、半径为R的光滑圆环静止 在光滑的水平面上，有一质量为m的小滑块从与O等高处 开始无初速
11、下滑，当到达最低点时，圆环产生的位移大 小为_ R 设圆环位移大小为x，并以向左为正 : m M O R x R “”表示环位移方向向右 气球质量为M，下面拖一条质量不计的软梯，质量为m 的人站在软梯上端距地面高为H，气球保持静止状态，求人能安全 到达地面，软梯的最小长度；若软梯长为H，则人从软梯下端到上 端时距地面多高？ H L-汽球相对人 上升高度即绳 梯至少长度 以向下为正，用位移表速度 H 人上升高度h 以向上为正，用位移表速度， 如图所示浮动起重机（浮吊）从岸上吊起m=2 t 的重物开始时起重杆OA与竖直方向成60角，当转到杆与竖直成 30角时，求起重机的沿水平方向的位移设起重机质量
12、为M=20 t ，起重杆长l=8 m，水的阻力与杆重均不计 专题专题9-9-例例5 5 水平方向动量守恒，设右为正，起重机位移x 重物对起重机水 平位移 设右为正，梯形木块位移x， 系统水平方向动量守恒： 如图所示，三个重物m1=20 kg， m2=15 kg，m3=10 kg，直角梯形物块M=100 kg三重物由一绕过两个定滑轮P和Q的绳 子相连当重物m1下降时，重物m2在梯形物块的上面向右移动，而 重物m3则沿斜面上升如忽略一切摩擦和绳子质量，求当重物m1下 降1m时，梯形物块的位移 m1 m2 m3 M P Q M 典型情景： vm m vm m M vM M mvm M F m F v
13、m - “一对力的功”用其中一个力的大小与两物体相对位移的乘积来计算 模型特征：由两个物体组成的系统，所受合外力为零而相互作用力为一对恒力 规律种种： 动力学规律 两物体的加速度大小与质量成反比 运动学规律 两个做匀变速运动物体的追及问题或相对运动问题 动量规律 系统的总动量守恒 能量规律 力对“子弹”做的功等于“子弹”动能的增量： 力对“木块”做功等于“木块”动能增量： 一对力的功等于系统动能增量： 图象1 图象2 图象描述 “子弹”穿出”木块”“子弹”迎击”木块”未穿出 vm vmt vMt d t v 0 t0 t v 0 vm vM d 图象描述 “子弹”未穿出”木块” “子弹”与”木
14、块”间作用一对恒力 vm d t v 0 t0 t v 0 vm sm t 0 v 如图所示，长为L的木板A右边固定着一个挡板，包括挡板在内的总质 量为1.5M，静止在光滑水平面上，有一质量为M的小木块B，从木板A的左端开始 以初速度v0在木板A上滑动，小木块B与木板A间的摩擦因数为小木块B滑到木板A 的右端与挡板发生碰撞已知碰撞过程时间极短，且碰后木板B恰好滑到木板A的 左端就停止滑动求：若 在小木块B与挡板碰撞后的运动过程中，摩擦力 对木板A做正功还是做负功？做多少功？讨论木板A和小木块B在整个运动过程中 ，是否有可能在某段时间里相对地面运动方向是向左的？如果不可能，说明理由； 如果可能，
15、求出能向左滑动，又能保证木板A和小木块B刚好不脱离的条件 专题专题9-9-例例6 6 这是典型的“子弹打木块”模型：A、B间相互作用着一对 等大、反向的摩擦力Ff=Mg而系统不受外力，它的变化在于 过程中发生一系统内部瞬时的相互碰撞小木块B与挡板碰撞 前、后及整个过程均遵从动量守恒规律；A、B两者加速度大 小与质量成反比；碰撞前木块“追”木板，碰撞后则成木板“追” 木块 . L B A v0 系统运动v-t图 t1 t1+ t2 v0 B A L A B L 由系统全过程动量守恒 续解 由图象求出B与挡板碰后时间t2:查阅 碰后板A的速度VA: v-t图 由动能定理,摩擦力在碰后过程中对木板A
16、做的功 B能有向左运动的阶段而又刚好不落下A板应满足两个条件： 一是B与挡板碰后B速度为负: 一是一对摩擦力在2L的相对位移上做的功不大于系统动能的增量，即 : 木块B可在与挡板碰撞后的一段时间内相对 地面向左运动并刚好相对静止在板A的左端 推证两光滑物体发生弹性碰撞时，接近速度与分离 速度大小相等，方向遵守“光反射定律”，即入射角等于反射角. 专题专题9-9-例例7 7 如图，设小球与平板均光滑，小球与平板发生完全弹性碰撞， 木板质量为M，小球质量为m，沿板的法向与切向建立坐标系， 设碰撞前，板的速度为V，球的速度为v，碰撞后，分别变为 x y 0 V v 两者发生完全弹性碰撞，系统同时满足动量与动能守恒： 两式相除 球与木板的接近速度与分离速度大小相等 方向
