《半线性抛物型泛函微分方程的周期解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《半线性抛物型泛函微分方程的周期解（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第卷 年 第期 元月 应用数学 半线性抛物型泛函微分方程的周期解 田 大钢 武汉工业大学数学物理系 , 武汉 提要本文应用上下解的概 念及 不动 点定理 , 在较广泛的条件下 , 解决 了半线性抛物型泛 函数微分方程周期解的存在性 问题所得结果推广了文献 的 定理 关键词泛函微分方程周期解上下解 美式分类号 文献用的结果 , 论述了非共振情况下抽象泛函数微分方程周期解的存在唯一性 其中的泛函项是线性的文在较广泛的条件下 , 用上下解的概念和发展算子的方法 , 讨论 了半线性抛物型微分方程的周期解 本文将的方法应用到泛函微分方程中去 , 在相应的 条件下 , 解决了半线性抛物泛函微分方程的周期解
2、的存在性问题 抽象泛函微分方程 设是实空间 , 任 。 , 是中的一族线性算子 , 满足中的条件 , , 对任意 任 ,“ 是的分数幂 ,“ 是 “ 的定义域 则 。一 , 】 】 。 是空 间 , 且 当镇月时 , ,一 。,“ ”表示连续嵌入 对 , 记 一 仁一 , , 川 。 一泄昊 。 口 。 记 一 夕 , 。 设 ,。 , 。一 , 且存在 , , 使 户 , 当 , , 少 任仁 , 。,。, 少 。毛夕 时 , , 一 “ , 夕 簇 川 一 “ 一 夕 。 , 这里 ,。 以及以后的 , 月 , 表示与相应的量有关的正数 , 任一 , 叼 考虑下列初值问题 下下 十八又 又
3、 , 石 。 笋 , 簇 , 笋任 。 口 的解是指古典解 用“ 。,记。, 户的范数用 , 记产生的唯一的发展算子 引理见如果 。毛 月 , 那么对任何的 任 月一 , 和毛 , 成 收稿日期 一一 吕应用数荤 日日 年 立 乙 , 。, 越 , 月 , 一 一, , 且当 。簇月 毛时 , , 、 , 夕 如果 。毛 卢镇则 , 一 , 落 , 尽 , 了一 这里 , 。镇 月一 , 、 西一汉 , 任 丫 , 镇 二簇,镇 飞 如果 。蕊口 , 蕊 。 , 任 三二 , 则 子, 一 , , , 镇一 , , 一 厅苍 成 , 这里 , 毛了 一 , , 镇 , , 镇 定 理设 占任
4、召任笋任 一 叼户 , 则等价于在 一 , , 。 中解积分方程 一 艺,。 , 。, 。 , , 一 一 笋 ,、 证明设是的解和推出 , 连续 再由 第 理推 出是的解反过来的情况 由第四章推论 推出 证毕 定理的解若存在 , 则唯一 证明设是的解 , 当一镇 毛。时 , 显然有 , 由 章定 一 。 毛 尸 一 了二万 一哭 毖 夕一夕 取 】, 使得 。 了 川 一了 , 一 若上式右边不为 。 , 则得出 奖 一 二 。 一 一 簇 矛 盾 所以在仁一了 , 上 , 有 一试 同理 , 在 , , 上 , 继而在 一 , 上 , 有 证毕 由定理 , 用厂中定理 , 引理 , 引理的
5、相应方法 , 必要时象本文定理那样 “ 分段处理 ” 可得下面一系列的定理 定理设夕任 , 笋任 一了 , 二, , 若存在 尸 , 使的可能的解有先验估 计 “ 。毛 对一切 一 , 成立 , 则有唯一解 定理设 月 , 势 , 必 , ,。 是的分别对应于初值笋 、 必的解 , 对任何 的 任 仁一了 , 二 , 有 。 。镇 和 二 。簇乃 则对任意 任一 , 口 有 一 飞 。 簇 , 月势 广协 , 定理用妇表的以笋为初值的解设存在空间 , 及 常数 只任巨 , “ 使得对任意妻和任意 , 刃任加 , 又 。, 当抓 。 毛时 , 有 , , 簇 。川 夕 。 又设对任意任仁一 二
6、, 有妇 , 毛尸 。, 则存在 夕 , 对任意 ,仑 一 , , 笋 镇 , 月 笋 二, 了 月 , 。 , 第期 田大钢半线性抛物型泛函微分方程明周期解 这里 。 一了 , 。 , 一 , , 半线性抛物型泛函微分方程 空间 夏 二 , “ 夏 二 , , 。 , 二 口 的意义是通 常的 见 , 这里 二 二习只 。 , 口是 , 中的有界域 , 其边界刃是 一 维 “ 流形 , 任 , 门局部地处 在刃的一边空间 一 宁 夏的定义见比 ,。任 。 , 、 , 。, 、 无 已一 一 , , 少 , 一二十乃又 , 刀 。 。 表示具 , 以又 , 一 , , 是一致抛物型算 子 。
7、这里 , 一 乙 。,走 二 ,才 , 万 ,。, ,。 及 俄走 一 。 , 刃 又 , 关于有 。周期 古粤是通常的边界算子 , 与 , 无关 刀 , 参 , 夕 , 常数 亡 刃又 又 连续 , 关于 , 有周期满足 , 帕刃 十 一是 一 砚 连续的对 ” 中的任一有界集有一致的 导数筹 , 篆 ,一, 一 存在且在“ “ ” 上连续 存在 十 一 , 二 , 十 一 , 使得对任意及 , 夸 , 帕任刃只 又只 ” , , 参 , 镇 夕 叩 委 万 户, 这里 , 川是中半径为的闭球 对任意 。 , 考虑初边值问题 五 一尸 , 一 甲 刃亡” 五一。 毛 。 价 , , 任口 ,
8、 , , 任 , 价任 升 匕 十叭 刃又 一 , 定义蕊任 。 刃又一 , 自 刃又 , 称为的上解 , 若 才 “三尸 ,“, 甲“ , 异 若还有云 。 云 。, 则称云为 的周期上解 类似定义周期下解可不等号反向 云 、丝 称为 相关的 , 若存在协任 “,“ , 刃 仁一 , , 使得 笋一 。 , 刀 任 刃 又 仁 一 , 且 。簇功 蕊云 。 取 二 , 门 , 任 二。 二 , 是 足够大 的正数则 八 蕊满足 八 , , 又令 , 。一, 一 , , 易知满足 、 式 这样 , 化为抽象方程 瓮 、 , 一 , 一 , 簇 , 。 一笋 应用数学 , 舀年 易证 , 当笋任
9、 十 气几又仁 一了 , 时 , 的解是的正则解正则性见仁这 样 , 由定理 、 定理可得 出 定 理设石 、 是的上下解 , 。簇石。 则对任何沪任 叭十魂 刃 一 , 。 , 必 。 , 且 。镇笋 镇石 。 的必 , 存在唯一解必 任了 十“ 阳 刃又一 , 叼 十“ , 川 刃又 , , 且满足峥镇石 , 周期解 对于边值问题 一尸 , 守 , 二 , 任口又 , 一 , 二 , 任 刃 , , 这里 , 满足上一节的条件 , “ , “气口, 对有 。周期 , 周期解问题可分两步解决 , 二 , 任日又 , 、产 、少 、 , 刃 丫 , 口 , 才 “一尸 , ”之 产 甲 ”子
10、甲 , , 任口只 , 习 , 方一 , 任习又 , 显然当 , 分别是 、 的周期解时 , 一十 是的周期解 定理设 汤 、 , 石 、 分别是 、 的周期上下解 , 它们各自是相关的 。 了 则 至少存在一个 。 周期解 , 满足 镇簇 十 这里 , 关于的上下解须将定义中的用 , 代替 , 相应用价一 二。 的 , 对任何夕 任一 , 成立 证明以为例记 从 二。, 。 。 一 笋任了 “, 心刃只仁一 , 二。毛梦 簇。 。, 且价一 。对任何口任仁一 , 叼成 立 必的意义如定理易证映射 笋 。 夕协丸 。,艺。 一 , 。, 艺 。 是紧的由不动点定理便推出有周期解的证法类似证毕
11、注令 一。 , 便知定理是中定理的推广 例针对仁 中考虑 的高炉自动控制模型 , 我们考虑如下问题 一 。 二 , , 。 , , 一二 霏 人一 一 撇一 贪 , , 一一 , , 、 这 里 , 占二 , 可微 , 有 。 周期对于 , 右 , 边值问题满足条件 、 、 , 三 , 三。为周期上下解 , 故存在周期解 , 满足 。镇 二 , 簇 , 十 第期 田大钢半线性抛物型泛函微分方程的周期解艺 本文是在 曹钟灵老师的指 导下完成的 , 何猛 省老 师审阅了本文 的 初稿 并提出了宝贵的 意见在此表示衷心的感谢 参考文献 何猛省 抽象泛函微分方程一泛函与周期解的存在性 , 数学学报 , 一 , , 一 , 一 著 , 夏宗伟译 , 抛物型编微分方程 , 北京 科学出版社 , , 一 , 。 叶其孝 , 李正元反应扩散方程引论 , 北京科学 出版社 , , 一 一, , , , 田大钢 舒 ,一 一 , 二 一
