关于数学原理的教材

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1、关于数学原理的“教学设计” 一、数学原理的相关概述 二、数学原理学习的形式 三、促进数学原理学习的教学建议 四、数学原理教学的教学策略 一、数学原理相关概述 1.数学原理内涵： 数学命题（指真命题），主要包括数学公理 、定理、公式、法则等和数学推理与证明 。 数学命题（除公理之外）都必需论证，只有 论证之后，才可作为证明的重要依据。 数学命题的意义和结构 对思维对象有所肯定或否定的思维形式叫 做判断。 正确地反映客观事物的判断称为真判断， 错误地反映客观事物的判断是假判断。 (其真假要由实践来检验，在数学中要进行 证明。) 在一个判断中，如果不包含其他的判断，叫做简单判断。 简单判断又可以分为

2、性质判断和关系判断。 性质判断是指断定事物具有或不具有某种性质的判断， 性质判断由四个部分组成： 主项，用来反映判断中对象； 谓项，用来反映判断中对象具有或不具有的性质； 联项，用来指明判断的主项和谓项之间所存在的联系词； 量项，用来反映主项的数量和范围，如“所有”、“一切”、“ 任何”等叫做全称量词，而“有些”、“有的”、“存在”等叫做 特称量词。 2. 数学推理与证明 形式逻辑的基本规律 思维形式使用是否正确，就看它是否符合思维形 式的规律。 在公元4世纪前，古希腊大哲学家亚里士多德发现 了正确思维必须遵循的三个规律：同一律、矛盾 律和排中律。 在17世纪末，德国的哲学家和数学家莱布尼茨又

3、 补充了一个充足理由律。 数学中的推理和论证必须遵守逻辑思维的基本规律 ，正确的思维应该是确定的、无矛盾的、前后一 贯的、论据充足的。 数学推理 推理是从一个或几个已知判断推出一新判断的思维形式。 推理的结构：任何推理都由前提和结论两部分组成。前提 是在推理过程中所依据的已有判断，它告诉人们已知的知 识是什么。 推理有内容方面的问题，也有形式方面的问题，前者就是 前提和结论的真假性，后者就是推理的结构问题。 形式逻辑不研究也不能解决推理内容方面的问题，即不能 解决推理的前提和结论的真假性。形式逻辑只研究推理形 式，指出哪些推理是正确的，哪些推理是不正确的。因此 ，逻辑思维对推理的要求是推理要合

4、乎逻辑。所谓推理合 乎逻辑，就是指在进行推理时要合乎推理形式，遵守推理 规则。 演绎推理，又叫演绎法，它是由一般到特殊的 推理。演绎推理的前提和结论之间有着必然的联 系，只要前提是真的，推理合乎逻辑，得到的结 论就一定正确 因此，演绎推理在理论上和实践上中有着重要 的作用：演绎推理的重要作用是用以判断命题的 正确性，可以作为数学中严格证明的工具。数学 知识只有经理论上的推理论证，才能心悦诚服地 被接受，才能脱离经验型而纳入学生的认知结构 ；演绎推理也是发现的重要方法， 众所周知，虚数，是十六世纪期间，卡尔丹在寻 找一元三次方程的求根公式的过程中开始引进的; 群论，是十八世纪末期，伽罗华在研究五

5、次或五 次以上的代数方程的求解过程中创立起来。数学 上的成就，显示演绎推理的巨大威力。 归纳推理又叫归纳法，它是由个别、特殊到一般 的推理。根据研究的对象所涉及的范围，归纳推 理可分为完全归纳推理和不完全归纳推理。 完全归纳推理是通过对某类事物中每一个对象的 情况或每一个子类的情况的研究，而概括出关于 该类事物的一般性结论的推理。完全归纳推理可 以作为数学证明的工具，在数学解题中有着广泛 的应用。 不完全归纳推理是通过对某类事物中的一部分对 象或一部分子类的考查而概括出该类事物的一般 性结论的推理。不完全归纳推理仅对某类事物中 的一部分对象进行考查，因此，前提和结论之间 未必有必然的联系。由不

6、完全归纳推理得到的结 论，具有或然性，结论不一定正确。结论的正确 与否，还需要经过严格的逻辑论证和实践的检验 。 类比推理 类比法是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似， 而推出它们的某种其它属性也相同或相似的思维形式，也 称为类比推理。 类比推理的客观基础在于相似事物之间的同一性。但任何 两个相似事物之间不仅有同一性的一面，也必然存在差异 性的一面。因而从两个或两类对象之间的某些属性的相同 或相似，并不能必然地得出它们在其它方面也相同或相似 的结论，一般来说，当类比推理的结论恰好是它们具有同 一性的属性时，这个结论就是正确的;而当推理的结论性 是它们呈现差异性属性时，就导致了结论的谬误，这

7、是类 比法的局限性。因此，与归纳法一样，类比推理的结论也 具有或然性，只能称之为类比猜想，其正确性是需要严格 论证的。 类比法是各种逻辑思维方法中最富于创造性的一种方法。 这是因为，类比法不像归纳法那样局限于同类事物，也不 像演绎法那样受到一般原理的严格制约。运用类比法可以 跨越各类事物的界限，进行不同事物的类比，而且既可以 比较事物的本质属性，也可以比较事物非本质属性。同时 ，类比法比归纳法更富于想象，因而也就更具有创造性。 著名哲学家康德说过:“每当理智缺乏可靠论证的思路时， 类比方法往往指引我们前进。” 类比方法的客观基础在于事物系统与过程间存在的普遍联 系以及这种联系的可比较性。例如，

8、三角形与四面体虽然 不是同种的事物，但可以进行类比，其原因在于这二者分 别是最简单的多边形与最简单的多面体，它们都以数量最 少的边界元素在平面内或空间中界定了一个区域。一般地 ，在数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相 等与不等、有限与无限、连续与离散之间都可以通过类比 作出预见和发现。 二、数学原理学习的综述 1.什么是原理的学习 原理有两个方面的含义： 作为言语符号信息，它是对概念之间关系的描述； 从心理意义上说，它是一种操作反应系统，即主体在特定 的情境中根据各种关系作出响应的反应。 原理描述了概念之间的关系，这种关系是稳定不变的，其 形式是“若则”。习得这种关系的主体能以一类操

9、 作行为对一类刺激情境作出反应，即学生习得了“若 则”这一产生式。例如，学生习得勾股定理这一原理 之后，一旦出现符合勾股定理条件的刺激情境，学生都会 作出“斜边的平方等于两条直角边的平方之和”的反应。 关于原理学习，有以下结论： （1）原理学习实际上是学习一些概念之间的关系。 （因此，概念学习是原理学习的基础。） （2）原理学习不是习得描述原理的言语信息，而是 习得原理的意义，它是一种有意义的学习。根据 奥苏贝尔的有意义言语学习理论，原理学习分下 位学习、上位学习和组合学习。 （3）原理学习实质上是习得产生式。只要条件信息 一满足，相应的行为反应就自然出现。学习者据 此指导自己的行为并解决遇到

10、的新问题。 （4）习得原理不是孤立地掌握一个原理，而是要在 原理之间建立联系，形成原理网络。 2.数学原理的心理实质 数学原理的心理实质，或称心理表征，是指该原理在心理活 动中表现和记载的方式。 数学原理的心理特点有如下几个方面： （1）数学原理在心理活动中以命题网络的层次结构存储， 以命题的形式表现。 （2）表征反映和代表了相应的数学对象，而且同一数学对 象可以有不同形式的表征，不同形式的表征反映了不同的 心理操作方式和过程。 （3）数学原理是较复杂的知识组块，是用图示表征的。数 学原理图示具有概括性、层次性，但以数学原理为主题加 以组织；含有原理所反映的数学对象的本质特征，也含有 非本质特

11、征。 （4）基础数学中的许多数学原理的表征具有情境性和语义 性共存的特点，但以语义表征方式为主。 （5）许多数学原理的表征既可以用表象代码表征，也可以 用言语代码表征，但以言语代码表征为主。 3.数学原理的获得机制 学说之一知识掌握过程的三阶段 学说之二知识掌握过程的三阶段 （1）增生阶段。由于数学学科的高度抽象性和系统 性的特点，而且数学抽象具有层次性，因此在增 生阶段，学生对所接触的数学材料的感觉并不一 定是“神秘感”，更多的是在学习过程中所自然产 生出的疑问，这种疑问会引导学生从一个层次走 向高一个层次。而就某一个层次的数学学习来说 ，在增生阶段首先需要学生自己的亲身实践。 例如，几何知

12、识的掌握过程中，学生首先是从具 体材料的操作活动（如搭积木、折纸、剪纸、粘 合、画图、测量等）中获得关于几何的直观感觉 ，借助于手、眼等感觉器官来发现空间形状，形 成关于空间形状的表象。 （2）重建阶段。数学学习中，重建阶段是增生阶段发展的 一个自然结果（有时这两个阶段的划分是非常困难的）。 例如，几何学习中，通过上述实验过程而获得的笼统印象 ，必然要进入到对几何元素（点、线、面）及几何图形的 相互关系的演绎推理层次，通过对图形关系的考察，获得 相应的理性认识，建立起几何空间结构。 （3）融会贯通阶段。在融会贯通阶段，主要是通过数学解 题活动，建立新学会的数学原理与相关数学知识之间的广 泛联系

13、，构建知识网络，并在这个过程中形成相应的数学 技能和数学思想方法，进而获得结构功能良好的数学认知 结构。 这里，联系的广泛性、清晰性、牢固性等是衡量数学原理 获得水平的基本标准。 在获得数学原理的融会贯通阶段，以数学知识的逻辑关系 为线索，引导学生通过运算性学习（主要是数学推理活动 ）而不断扩张数学原理的联系域限，是实现数学原理融会 贯通的主要手段。 4.从数学理解看数学原理的获得机制 数学原理理解性学习的含义 从认知心理学的观点看，所谓理解地学习一个数学原理，是指学 生通过建立该原理与已有认知结构的相关知识之间的联系，而将它纳 入到自己已有认知结构中的恰当位置。这里，理解的程度是由联系的 量

14、和强度决定的。一个数学原理被真正理解的标志是它与已有认知结 构中的知识建立了更多、更强的联系。 从数学知识之间联系的方式考察，可以区分为两种：一种是相似和差 异，另一种是包含。 相应地，数学原理的获得就有两种不同机制：如果新的数学原理与已 有认知结构中相关知识的联系是基于相似和差异的，那么它的理解机 制主要是顺应；如果新的数学原理与已有认知结构中相关知识的联系 是基于包含的关系，那么它的理解机制主要是同化。 基于相似和差异的联系的理解性学习例子，可以考察以实数及其运算为 基础的代数学习； 字母表示数及其运算字母是实数的“代表”，其加、减、乘、除运算的 定义及其运算律都与实数运算及其运算律相对应

15、，其差异主要是字母 的“任意性”引起的变化，例如在作除法时要注意“分母不为0” 5 数学推理的心理机制 推理的心理学研究是描述人们在实际演绎 推理活动中的认知过程,它是研究人们实际 上是如何进行演绎推理的描述性学科,旨在 揭示人们在实际演绎推理时的信息加工过 程以及所犯逻辑错误的特点和原因,并提供 合理解释。国内外在数学推理的心理机制 研究方面取得了一定成果，综述如下： （1）幼小的儿童常把假言推理当作合取推理，稍微大一点 的儿童把假言推理当作充分必要条件推理，青年和成人才 能正确地进行假言推理。儿童在10岁以后能把经验事实与 逻辑有效区分开来。研究表明，事实论据和信念在年幼儿 童的思维中可能

16、不是相互独立。青少年在完成需要根据逻 辑关系才能得出有效结论的题目时，受信念偏见的影响较 大，这些影响取决于推理题目的难度和推理者所具有的知 识结构。激活推理者已有的知识能促使他们对命题做进一 步的思考，从而提高推理成绩。假言推理能力在小学9岁 组到15岁组之间随着年龄的增长而增长，儿童熟悉的内容 促进了推理成绩的提高，并且在小学六年级到13岁组之间 出现加速现象。儿童对对充分条件假言推理规则的掌握没 有固定的难易顺序，这取决于课题任务的水平和主体思维 发展水平。 915岁儿童充分条件假言推理能力的发展可区分 出三种水平： 大部分9岁儿童，有关的推理能力己经开始发展 ，但水平较低，尚处于皮亚杰所称的具体运算阶 段，各种可能性的假设性思维仍有待于发展； 大部分12岁儿童，假言推理能力属于过渡阶段 ，他们的思维活动往往还不能使事物间的“关系” 从他们具体的或知觉的束缚中解放出来； 大部分15岁