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1、浅谈导数在研究函数性态中的作用摘要：导数在解决函数问题上提供了有力的工具，对导数在解决函数问题中的作用进行阐述：可导函数的单调性、函数的极值与最值、函数的凹凸性、函数的渐近线和描绘函数的图像并研究函数的单调性、极值与最值、凹凸性和渐近线，并附上例题说明关键字：导数 单调性 极值与最值 凹凸性 0引言 历史上数学思想的突破点是数学历史发展的重大转史的发展历程，因此在教学中，学生自然会提出的一系列问题：“导数”概念是怎样得出的？“趋近于”怎样理解?要弄清这些问题，只有翻开数学史，从哲学的角度认识导数，这样不仅能帮助我们搞清楚导数的概念，有助于建立正确的数学观念. 1 主要内容(1）函数的单调性 高
2、中阶段，我们对函数单调性的定义如下：定义：已知函数，定义域为，如果,那么且那么(1) 当，就称函数在区间上为单调递减函数；(2) 当，就称函数在区间上为单调递增函数（1.1）单调性的判别方法定理1 如果函数在上连续，内可导，那么（1） 若在内，则函数在上单调递增；（2） 若在内，则函数在上单调递减.定理2 若函数在内可导，则函数在内单调（1） 在内，则函数在上单调递增；（2）函数在内严格递减，那么，有；在内的任何子区间上不恒等于零推论 设函数在内可导，若（），则在内严格递增（严格递减）注意：本推论只是严格单调的充分条件。如在R上是严格单调的，但并不是在R上不恒大于零的，有因此允许个别离散型的点
3、时的满足方程的点为函数的稳定点（又称驻点）（1.2） 单调区间的划分（1）函数单调区间的分界点可能是：驻点或者不可导点（2）求单调区间的步骤：先求出函数的定义域；再求出可能的分界点：驻点或不可导点；用上面的分界点将定义域分成若干小区间；最后判断在每个小区间上的符号来判断单调区间（1.3）例题例1 判定函数的单调性分析：先判断函数的定义域，再判定一阶导为0 的点或导数不存在的点将定义域划为几个区间，然后分别确定在这些区间上的单调性解法一：（用定义求）由题可知函数的定义域为，令 且 有 又1，且，有，.由 结合函数和函数在同一坐标下的图像得知，当时，即函数在上单调递增；当时，即函数在上单调递减 解
4、法二： 函数的定义域为，在定义域上连续，可导，且令，即因为在0，所以函数在上单调递增相比较而言，用导数求函数的单调性就能更加的简便和通用.（2） 函数的极值、最值（2.1） 极值的概念：设函数在区间上有定义若，且存在的某领域，有则称为的极大值点（极小值点）为的极大值（极小值）极大值点和极小值点统称为函数的极值点极大值与极小值统称为极值 若函数的最大（小）值点在区间内，则必定为的极大（小）值点又若在可导，在还是一个稳定点所以我们只需比较在所有稳定点、不可导点和区间断电上的函数值，就能从中找到在上的最大值与最小值最大值与最小值统称为函数的最值（2.2） 极值存在的条件费马定理 若函数在可导，且为的
5、极值点，则=0定理3 （极值的第一充分条件） 设在点连续，在某领域内可导（i） 若当则在点取得极小值（ii) ,则在点取极大值定理4（极值的第二充分条件） 设在点的某领域内一阶可导，在处二阶可导，且（i) 若0，则在取极大值（ii）若0，则在取得极小值定理5 （极值的第三充分条件） 设在点的某领域内存在知道阶导函数，在 处阶可导，且 ，则：（i) 当为偶数时，在取极值，且0时取极小值（ii） 当为奇数时，在处不取极值（2.3） 闭区间上连续函数的最值求法闭区间上连续函数的最值求法：将闭区间上连续函数的最值的求法推广为开区间、半开区间(包括无穷区间)即任意区间的连续函数最值的判定和求法。其方法就
6、是把函数的驻点、不可导的点、闭端点的函数值中的最大(最小)值与开端点的单侧极限值比较,达到最大(最小),就是函数的最大(最小)值;否则函数就没有最大(最小)值（2.4）例题例2 求函数在闭区间上的最大值与最小值解 函数在闭区间上连续，故存在最大最小值由于 ， ， ；因此 ， ， ；求出导数的不稳定点以及端点的函数值所以函数在处取得最小值，在处取得最大值132（3）函数的凹凸性（3.1） 概念：定义1 设函数在区间内有定义，且连续。如果对于区间内任意两点，总有 ，那么，称函数在区间上的图像是（向上）凸的（或凸弧）注 若是曲线的一个拐点，在点的导数不一定存在，如在的情形定义2 设函数在区间内有定义
7、，若对上的任意两点和任意实数总有 则称为上的凸函数。反之，如果总有则称为上的凹函数定义 连续的曲线上凸弧段与凹弧段的分界点称为该曲线的拐点(3.2) 函数凹凸性判定定理定理6 设函数在区间I内可导，如果在区间I内单调增加（或单调减少），那么函数在区间上的图像是凹的（或凸的）定理7 设函数在区间内二阶可导，那么（1） 若在内，0，则函数在区间上的图像是凹的；（2） 若在内，0，则函数在区间上的图像是凸的(3.3)解题步骤若函数在区间内二阶可导，讨论函数的凹凸性可按以下步骤进行：（1） 求出函数的二阶导函数；（2） 令=0，求解其解将函数的定义域分成若干个开区间；（3） 判断在每个小区间内的符号，
8、设，可按照下表来判断函数的凹凸性： (曲线上的点 +（严凸） 0 （严凹） 拐点 （严凹） 0 +（严凸） 拐点 +（严凸） 0 +（严凸） 非拐点 （严凹） 0 （严凹） 非拐点(3.4)例题例3 求曲线的拐点及凹、凸的区间解 （1） 函数的定义域为R（2） 解方程，得，；（3）及将函数的定义域R分成3个部分区间：，及下面列表考察的符号：的范围 0 的符号 0 0 严凹 拐点 严凸 拐点 严凹因此，该曲线在，上是凹的，在上是凸的，点都是该曲线的拐点(4) 求函数的渐进性定义 在平面内，当曲线C上的动点M沿着曲线C向无限远处移动时，当动点M到一直线的距离无线接近0时，我们就称直线为曲线C的一条
9、渐近线注：渐近线的条数不唯一，一条曲线可以有多条渐近线曲线有三种渐近线：斜渐近线、水平渐近线、垂直渐近线(4.1) 斜渐近线 如果直线是曲线的一条渐近线是，在这里也可以改为(4.2) 水平渐近线 若直线为曲线的一条水平渐近线是当斜渐近线中的时，为水平渐近线(4.3) 垂直渐近线 若直线为曲线的一条垂直渐近线是（或） 注：这样的一般是由观察法得到，一般为分母为零或对数的真数为零处 (4.4)例题 例4 求函数的渐进性 解 已知，则是曲线的垂直渐进性 又有 故 直线是曲线的斜渐近线(5) 描绘函数图象(5.1) 步骤在描绘函数图象的时候，如果事先能够知道图形上的医学关键点（如“峰”、“谷”及拐点等
10、）的位置，又能掌握图形在各个部分区间上的主要形态（如单调性、周期性、凹凸性等），那么只需要描出少数几个点就可以比较准确地画出函数的图像利用函数的一阶导数，可以确定函数的图形在哪个区间上上升/下降，在哪里有“峰”“谷”点；利用函数的二阶导数，可以确定函数的图形在哪个区间上位凹/凸，在哪里有拐点因此利用导数描绘函数的图形的一般步骤如下： 确定函数的定义域，了解函数是否具有某些简单的特性（如奇偶性、周期性等），求出函数的一阶导数和二阶导数 求出一阶导数和二阶导数在定义域内的全部的零点及不存在的点，并求出函数的间断点用这些点将函数定义域分成若干部分区间 确定函数的一阶导数和二阶导数在这些部分区间内的符
11、号，由此确定图形的单调性、凹凸性、极值点和拐点（通常制作成表格形式） 确定函数图形是否有渐近线及其他变化趋势 算出函数的一阶导数和二阶导数的零点及不存在的点所对应的函数值，定出函数图形上相应的点为了把图形描绘的准确一些，有时候需要补充求出图形的一些点（特别可以考虑的是图形与坐标轴的交点）最后，结合第三四步中得到的结果，连接这些点画出函数的图形(5.2) 例题例5 作出函数的图形解（1）所给函数的定义域为，且函数在上是连续的而（2）令,得稳定点；,得此外，函数在R上无间断点，并且也无使和不存在的点。因此，可将定义域划分为4个区间：，（3） 讨论函数图形在各个部分区间内的形态等，并将所得结论列为下
12、表：123000的图形凸极大值凸拐点凹极小值凹这里，箭头表示图像的单调性（4） 当；当，所以，函数的图像无水平渐近线。又因为函数不存在无穷间断点，所以函数的图形无垂直渐近线（5）算出从而得到函数图形上的三个点：点是极大值点，点是拐点，点是极小值点算出因此，又得到三个点：将上面6个点描绘在坐标平面上，然后，根据（3）中的结果，就可以作出函数的图形如下： （1，7/3）（4，7/3）1（2，5/3）（3，1） -1 0 1 234 （-1，-13/3） 参考文献：1 华东师范大学数学系编数学分析（上册）M.高等教育出版社2001年6月2胡端平熊德之.高等数学机器应用（上册）M.北京：科学出版社20073同
