《概率论与数理统计_第七章_参数估计_第二节_点估计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计_第七章_参数估计_第二节_点估计（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、概率论与数理统计_第七章_参数估计_第二节_点估计参 数 估 计第二节 参数的点估计一、引例随机抽查100个婴儿 ,得100个体重数据 10,7,6,6.5,5,5.2, 呢 ?据此,我们应如何估计和而全部信息就由这100个数组成 .例如 已知某地区新生婴儿的体重 ,未知一、引例 为估计 :我们需要构造出适当的样本的函数 U(X1,X2,Xn) ， 每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为 的估计值 .U(X1,X2,Xn) 称为参数的点估计量，把样本值代入 U(X1,X2,Xn) 中，估计值 .得到 的一个点一、引例由大数定律, 自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一个估计.
2、样本体重的平均值我们知道,若 ,则 .用样本体重的均值 估计 . 类似地，用样本体重的方差 估计 .一、引例可以用样本均值;也可以用样本中位数;还可以用别的统计量 .使用什么样的统计量去估计 ？问题是: 1. 顺序统计量估计法2. 矩估计法3. 极大似然估计4.最小二乘法这里我们主要介绍前面三种方法 .点估计常用方法：二、顺序统计量法1、用中位数估计均值二、顺序统计量法二、顺序统计量法二、顺序统计量法2、用极差估计标准差二、顺序统计量法二、顺序统计量法二、顺序统计量法二、顺序统计量法二、顺序统计量法三、矩估计法 矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出来的 .由辛钦大数定理 ,若总体 的数学期
3、望 有限,则有其中 为连续函数 .三、矩估计法 这表明 , 当样本容量很大时 , 在统计上 , 可以用 用样本矩去估计总体矩 . 这一事实导出矩估计法.定义用样本原点矩估计相应的总体原点矩 , 又用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 . 理论依据: 大数定律矩估计法的具体做法如下：那么它的前k阶矩 , 一般都是这 k 个参数 设总体的分布函数中含有k个未知参数 , 那么用诸 的估计量 Ai 分别代替上式中的诸 , 即可得诸 的矩估计量 ：三、矩估计法i=1,2, ,k从这 k 个方程中解出j=1,2,kj=1,2,k矩估计量的观察值称为矩估计值
4、.的函数,记为：三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法 矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布 . 缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息 . 一般场合下,矩估计量不具有唯一性 . 其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性 . 练习1 设总体 X 在 a , b 上服从均匀分布 , a , b 未知 . 是来自 X 的样本 , 试求 a , b 的矩估计量 .解 三、矩估计法即 解得于是 a , b 的矩估计量为 样本矩总体矩三、矩估计法解 练习2 设总体 X 的均值 和方
5、差 都存在 , 未知 . 是来自 X 的样本 , 试求 的矩估计量 .三、矩估计法解得于是 的矩估计量为 样本矩总体矩三、矩估计法解: 由矩法,样本矩总体矩从中解得的矩估计.即为数学期望是一阶原点矩 练习3 设总体X的概率密度为是未知参数,其中X1,X2,Xn是取自X的样本,求参 的矩估计.三、矩估计法四、极大似然估计 它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的 . GaussFisher 然而,这个方法常归功于英国统计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质 .四、极大似然估计极大似然估计法的思想 极
6、大似然估计法，是建立在最大似然原理的基础上的求点估计量的方法。最大似然原理的直观想法是：在试验中概率最大的事件最有可能出现。因此，一个试验如有若干个可能的结果A,B,C, , 若在一次试验中，结果A出现，则一般认为A出现的概率最大。四、极大似然估计 极大似然估计定义： 当给定样本X1,X2,Xn时，定义似然函数为： 设X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本，样本 的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为 f (x1, x2 , xn; )这里 x1, x2 , xn 是样本的观察值 .四、极大似然估计 似然函数：f (x1, x2 , xn; ) 极大似然估计法就是用使 达到最大值的 去
7、估计 . 即 称 为 的极大似然估计值 .而相应的统计量称为 的极大似然估计量 . 看作参数 的函数，它可作为 将以多大可能产生样本值 x1, x2, ,xn 的一种度量 .四、极大似然估计求最大似然估计量的一般步骤为： （1）求似然函数（2）一般地，求出 及似然方程 （3）解似然方程得到最大似然估计值 （4）最后得到最大似然估计量 四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计解似然函数练习四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计解 似然函数为对数似然函数为练习 设X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本 求 的最大似然估计值.其中 &
8、gt;0,四、极大似然估计求导并令其为0=0从中解得即为 的最大似然估计值 .对数似然函数为四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计五、评价估计量的标准这就需要讨论以下问题:问题的提出 从前面可以看到, 对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的估计量可能不相同, 而且, 很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么?五、评价估计量的标准 常用的几条标准是：1无偏性2有效性3一致性这里我们重点介绍前面两个标准 .五、评价估计量的标准1、无偏性五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准证推广五、评价估计量的标准特别的:不论总体 X 服从什么分布,只要它的数学期望存在,五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准 所以无偏估计以方差小者为好, 这就引进了有效性这一概念 .都是参数 的无偏估计量，的大小来决定二者谁更优 .和一个参数往往有不止一个无偏估计, 若和我们可以比较由于五、评价估计量的标准2、有效性五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准3、一致性五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准
