现代物理基础10剖析

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1、一 近独立粒子的最概然分布 1.1 粒子运动状态的经典描述 一、粒子运动状态的描述 宏观物质系统是由大量微观粒子组成的； 物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现； 宏观观物理量是相应应微观观物理量的统计统计 平均值值。 粒子是指组成宏观物质系统的基本单元， 粒子运动动状态态是指它的力学运动状态。 如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述 称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述 称为量子描述。 原则上说：微观粒子是遵从量子力学的运动规律的，不过经 典理论在一定的极限条件下仍然具有意义。 二、经典描述 设粒子自由度为r，广义坐标 ，广义动量 粒子能量：

2、 （1.1.1） 构成一个2r维空间，称为分子相空间或 空间。粒子在某一时刻的力学运动状态 可以用空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的代表点。 当粒子的运动状态随时间改变时，代表点相应地在 空间中移 动，描画出一条轨道，称为子相轨道。 例1、自由粒子 自由粒子在三维空间中运动，自由度为3，坐标（x,y,z）,由 非相对论性，动量为： （1.1.2） 自由粒子的能量就是它的动能： 对于一维自由粒子， 构成二维 空间，一个运动状态 可用 空间间中一点代表；当粒子以一定的动动量 在 容器中运动时，轨道是平行x轴一直线。 例2、线性谐振子 质量为m粒子在弹性力 作用下作简谐振动，振动 圆频率 ，自

3、由度为1，动量 ，能量是动能和 势能之和： （1.1.3） （1.1.4） 这是一个二维空间，运动轨道是椭圆： 能量不同，椭圆不同。 对于三维的自由粒子， 空间是6维的，要复杂些，不过在概 念上是相同的。 （1.1.5） 1.2 粒子运动状态的量子描述 微观观粒子普遍具有波粒二象性，一方面是单单个实实体，另 一方面可观察到它的波动现象。 能量 ，动量 的自由粒子的德布罗意波为平面波，角 频率为 ，波矢 。根据德布罗意关系： （1.2.1） 实实物粒子波粒二象性的一个重要结果是：微观粒子不可 能同时具有确定的动量和坐标，即测不准关系。其最小方差 的乘积为： 若 ， ；若 ， 。这生动的说明 微观

4、粒子的运动不是轨道运动。由于h非常小，不确定关系在 任何意义上都不会跟宏观物理学发生矛盾。 量子力学中微观观粒子的运动动状态态称为为量子态。量子态由 一组量子数表征，量子数的数目等于粒子的自由度数。 （1.2.2） 一、自旋状态 一个质质量为为m，电荷为-e的粒子，具有自旋角动量 ， 自旋磁距 与自旋角动量S之比为： 外磁场方向沿z方向，磁感应强度为B，则自旋角动量在外磁 场方向的投影 有两个可能值 ，自旋磁距在外磁 场方向的投影为： 粒子在外磁场的势能为 ： 所以描述粒子的自旋状态只要一个量子数 （自旋磁量子 数），它只能取 。 二、线性谐振子 角频频率为为 的线线性谐谐振子，能量的可能值为

5、值为 ： （1.2.3 ） （1.2.4 ） n表征线性谐振子的运动状态和能量的量子数，分立的能 量称为能级，线性谐振子的能级是等间距的，相邻能级能量 差为 。 三、自由粒子 一维自由粒子在长度为L的一维容器中运动，周期性边界 条件要求：波长的整数倍等于容器长度： 波矢： 动量： （1.2.5） 就是表征一维维自由粒子的运动动状态态的量子数。一维维自 由粒子能量的可能值为 在量子力学的情景中，粒子的运动状态不能再由它的坐 标和动量描述，必须采用一套完备的量子数来描写，这些量 子数的数目与粒子的自由度数相同。 三维自由粒子处在边长为L的立方容器内，三个动量分量 为： （1.2.6） （1.2.7

6、） 粒子能量的可能值依赖于三个量子数 （1.2.8） 1、粒子在微观观大小的空间间范围围内运动动，动动量值值和能量值值是 分立的，粒子运动动状态态由三个量子数 表征，而 能级级只取决于 的数值，所以一个能级的量 子态态不止一个，所以该该能级级就称为简为简 并的，量子态态数就 是简并度。 2、粒子在微观大小的容器内运动，动量值和能量值是分立 的。因为为 和 是一一对应的，且 相邻差为1，所 以在 范围围内，可能的 数目为： 自由粒子的量子态数为 ： 由不确定关系来理解：用坐标q和动量p来描述粒子的运动 状态，一个状态对应于 空间中的一个体积，称之为相格 ，对于自由度为1的粒子，相格的大小为h，如

7、自由度为r， 各自由度的坐标和能量的不确定值 和 分别满足不确 定关系 ，相格的大小为： （1.2.9） （1.2.10） 因此式(1.2.9)可以理解为将 空间的体积 除以相格大小 而得到的三维自由粒子在 内的量子态数。 在某些问题问题 中，往往用动动量空间间的球极坐标标 来描写自由粒子的动量。 与 的关系为： 用球极坐标，动量空间的体积元为 ，所以 在体积V内，在动量 内的量子态数为： 对 和 积分， 由0积分到 ， 由0积分到2 ，得： （1.2.11） 可求得在 范围内可能的状态数为： 根据公式 ，可得体积V内，能量 内，粒子可能状态数为： 表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。

8、 以上计算没有考虑粒子的自旋，如果粒子自旋不等于零， 还要计及自旋的贡献。 （1.2.12 ） （1.2.13 ） 1.3 系统微观运动状态的描述 1、全同粒子：由完全相同的属性（质量、电荷、自旋等） 2、近独立粒子：粒子间相互作用可忽略，整个系统的能量可 表为单为单 个粒子能量之和 。 只是第i个粒子的坐 标标和动动量以及外场场参量的函数。 例如：理想气体：由近独立粒子组组成的气体。 一、经典描述 设设粒子自由度为为r，第i个粒子的广义坐标 广义动量 。系统共有N个粒子，有2Nr个变量 。 在经典物理中，全同粒子是可以分辨的，因为经典粒子是轨 道运动，是可跟踪的。因此如果第i个粒子 和第j个

9、粒子 的运动状态加以交换，交换 前后的力学运动状态是不同的， 如右图图所示： 二、量子描述 1、全同性原理：全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同 粒子的系统统中，将任何两个全同粒子加以对换对换 ，不改变变 整个系统统的微观观运动动状态态。 经经典和量子不同的原因：经经典粒子的运动动是轨轨道运动动， 可跟踪粒子的运动加以分辨；量子粒子具有波粒二象性，不 是轨道运动的，不可以跟踪，两个粒子由于波动迅速扩散而 相互重叠，下一时刻不能分辨出两个粒子。 如下图图所示： 2、粒子分类：自然界中微观粒子可分为两类，称为玻色子 和费米子。 费米子：自旋量子数为半整数的，如电子、 子、质子、 中子等。 玻色子：

10、自旋量子数为整数的，如光子、 介子、胶子等 。 偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子；奇数个费米 子构成的复合粒子是费米子。玻色子组成的复合粒子是玻 色子。费米子是构成物质的基石，玻色子是粘合剂。 费米系统：由费米子组成的系统，遵从泡利不相容原 理，即一个量子态最多能容纳一个费米子； 玻色系统：由玻色子组成的系统，不受泡利不相容原 理的约束，即同一个量子态的玻色子数目是不受限制的。 玻耳兹曼系统：由可分辨的经典全同近独立粒子组成 ，且同一量子态上的粒子数不受限制。 经典统计物理学：在经典力学基础上建立的统计物理学。 量子统计物理学：在量子力学基础上建立的统计物理学。 两者在统计原理上是相同的，区

11、别在于对微观运动状 态的描述。经典统计的结果是量子统计在一定条件下的极 限近似。 1.4 等概率原理 在确定的宏观状态下，系统可能的微观状态是大量的 ，且微观状态不断地发生着极其复杂的变化。 统计统计 物理学认为认为 ，宏观观物理系统统的特性是大量微观观 粒 子运动的集体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计 平均值。 一个宏观状态对应的微观状态数目越多，它出现的概 率就越大。一个宏观状态所对应的微观状态的数目称为热 力学概率。 要研究系统的宏观特性，只要知道其所对应的微观状态 的数目，就可以用统计方法来求微观量的统计平均值。因此 ，确定各个微观状态出现的概率是统计物理的根本问题。 等概率原理

12、：处于平衡状态的孤立系统，系统各个 可能的微观状态出现的概率是相等的。（或者）相空间中的 代表点出现在 大小相等的体积积元内的概率是相等的。 1.5 分布和微观观状态态 有一个系统，由大量的全同近独立粒子组成，具有确定 的粒子数 N、能量 E 和体积 V。 能 级级 简简并度 表示对应的 的简并度 粒子数 表示各个能级上的粒子数 因此对于具有确定的N,E,V的系统，分布 必须满足条件 （1.5.1） 上式也称为为约束条件。给定一个分布 （宏观状态） 只确定了每一个能级上的粒子数，要确定系统的微观状态， 要求确定出在每个量子态上的粒子数。 因此分布给给定后，要确定玻色（费费米）系统统的微观观状

13、态态，还必须对每一个能级确定 个粒子占据其 个量子态 的方式。对于玻耳兹曼系统，除了对每一个能级确定 个粒 子占据其 个量子态的方式，还要确定各能级上是哪些 粒子。 一、玻尔兹曼系统 粒子可分辨 每个量子态态上粒子数不受限制 个粒子占据 个量子态共有 种方式； 占据所有 的能级共有 种方式；N个粒子交换给出不同状态，总 交换数为N！再除以同一能级粒子交换数 ！，对于玻耳兹 曼系统，与分布 相应的微观状态数是： （1.5.2） 二、玻色系统 粒子不可分辨 每个量子态态上粒子数不受限制。 个粒子占据 个量子态的方式共有 种方式， 因为粒子是不可以分辨的，应除去粒子之间的交换数 ！， 和 量子态的交

14、换数 。所以玻色系统与分布 相应 的微观状态数是： （1.5.3） 三、费米系统 粒子不可分辨 每个量子态态上只能容纳纳一个粒子。 个粒子占据 个量子态，相当于从 个量子态中挑出 个粒子来占据，共有 种方式，对于分 布 相应的微观状态数是： （1.5.4 ） 若在玻色系统统和费费米系统统中满满足经典极限条件，也称 非简并条件： 则式(1.5.3)可近似为： （1.5.5 ） （1.5.6 ） 式(1.5.4)可近似为： 经经典极限条件表示，在所有的能级级，粒子数都远远小于 量 子态数，这意味着，平均而言处在每一个量子态上的粒子数 都远小于1。 （1.5.7 ） 1.6 玻尔兹兹曼分布 根据等概

15、率原理，微观观状态态数最多的分布出现现的概率 最 大，称为最概然分布。热力学平衡态是就是最概然分布。 玻耳兹曼系统粒子的最概然分布称为：玻耳兹曼分布。 Stirling公式是以后常用的一个公式： 最概然分布使 为极大的分布，要想讨论 可以等价 讨论 。 （1.6.1） （1.6.2 ） （1.6.3 ） 用Stirling公式，上式可化为： （1.6.4 ） 导数求极值： 不是独立的，他们们必须满须满 足： 引入拉格朗日未定乘子 和 ，得： 根据拉氏乘子法原理，每个 的系数都等于零，所以得: （1.6.5 ） 即: 此式给给出玻耳兹兹曼系统统中粒子的最概然分布，称为为 玻 耳兹曼分布。拉氏乘子 和 由条件(1.5.1)确定，即: （1.6.6 ） （1.6.8 ） （1.6.7 ） 处在能量为 的量子态s上的平均粒子数: 所以上面两式还可以表示为: （1.6.11） （1.6.10） （1.6.9 ） 几点说明: 1、上面只说明了玻耳兹曼分布使 的一级微分等于零， 即使 取极值值，要证证明是极大值还值还 要使 的二级级微 分小于零。 2、与最概然分布相应应的 的极大值值非常陡，使其它分布的 微观观状态态数与最概然分布的微观观状态态数相比几近于零。