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1、1浅析函数概念教学1 要把握函数的实质 17 世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在 1734 年首次用 f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说” 、 “对应说” 、 “集合说”等。变量说的定义是：设 x、y 是两个变量，如果当变量 x 在实数的某一范围内变化时，变量 y 按一定规律随 x 的变化而变化。我们称 x 为自变量，变量 y 叫变量 x 的函数，记作 y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量 x、y，并且对于x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y 都有唯一确定的值与之对应，那么 y
2、 就是 x 的函数， x 叫自变量，x 的取值范围叫函数的定义域，和 x 的值对应的 y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是 x、 y 双方变化的总体，却把 y 定义成 x 的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指 f，还是 f(x)，还是 y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。 迪里赫莱（P.G.Dirichlet）注意到了“对应关系” ，于 1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的 x 值，y 都有一个或多个确定的值与之对应，那么 y 叫 x 的一个函数。
3、 19 世纪 70 年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切2非空集合到数集的映射称为函数” ，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：它抓住了函数的实质对应，是一种对应法则。它以集合为基础，更具普遍性。它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。 函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。 2 加强数形结合 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在 712
4、年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数 y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0 时，x=-3 或 x=4，知 t 函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为 x=?与 x 轴的交点是 x=-3 或x=4 并开口向上，其 x(-3 ，4)的部分由
5、x 轴下方翻转到 x 轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程 3x2+6x=1x 的实数根3的个数，该方程实根个数就是两个函数 y=3x2+6x 与 y=1x 图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。 3 将映射概念下放 就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说” ，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学
6、生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当时不也有人得出反对意见吗？可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。 4 区分函数与方程 尽管函数和方程都是反映量与量之间的关系，可函数反映的是变量和变量之间的关系，强调的是一个变量随另一个变量的变化情况，从函数的角度来看，考虑的是 x 和 y 在各自取值范围内，彼此间怎样相互变化。而方程反映的是未知量和已知量之间的关系，4等式 F（x，y）=0 是一个方程，只有在一定条件下才能确定为一个函数，从方程的角度来看，考虑的是 x 和 y 选取哪些数值时才能使等式成立，另一方面，如果变量 x 和 y 的函数关系可以用解析式y=f(x)表示，那就得到一个方程 y-f(x)=0，它们是可以互相转化的，有时用方程知识去研究函数，也常用函数知识去研究方程
