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1、第二章 LTI连续系统的时域分析 21 系统的微分算子方程与传输算子 一、微分算子、积分算子与微分算子方程: 引入如下算子： 微分算子: 积分算子: 则： 对于微分方程 算子形式 微分算子方程： 它是微分方程的一种表示，含义是在等式两边 分别对变量y(t)和f(t)进行相应的微分运算。形式上 是代数方程的表示方法。可用来在时域中建立与变 换域相一致的分析方法。 微分算子的运算性质： 性质1 以p的正幂多项式出现的运算式，在形式 上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。 性质2 设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则 如： 性质3 微分算子方程等号两边p的公因式不能 随便消去。 例如：p y
2、(t)= p f(t) y(t)= f(t)+c(c为常数) y(t)= f(t) 性质4 设A(p)、B(p) 和D(p)都是p的正幂多项式 但是 ： 例如： 函数乘、除算子p的顺序不能随意颠倒，对函 数进行“先除后乘”算子p的运算时，分式的分子 与分母中公共p算子(或p算式)才允许消去。 二、LTI连续系统的算子方程与系统的传输算子 电路元件伏安关系(VAR)的微分算子形式称为 算子模型，电压、电流比为算子感抗和算子容抗 元件名称 电路符号 ui关系 (VAR) VAR的算子 形式 算子模型 电阻 电感 电容 电路元件的算子模型 i(t) Ri(t) R i(t)L i(t) 1/pC i
3、(t) C i(t)pL 电路系统微分算子方程的建立方法: LpL;C 1/pC画出算子模型，按照电路理论 中的列写方程方法列写。 例1：电路如图(a)所示，激励为f(t)，响应为 i2(t)。试列写其微分算子方程。 (a) 1 + f(t) - i1 53F i2 2H4H 1 + f(t) - i1 5 1 3p i2 2p4p (b) i1i2 解：画出其算子模型电路如图(b)所示。由回路 法可列出方程为 ： 化简微分方程组时要考察电路的阶数以便确定 公共因子是否可消去。 化简后所求微分算子方程为： 对于激励为f(t)，响应为y(t)的n阶LTI连续系统， 其微分算子方程为： 将其在形式
4、改写为 式中： 它代表了系统将激励转变为响应的作用，或 系统对输入的传输作用，故将H(p)称为响应y(t) 对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子 系统传输算子与系统微分算子方程是对系统 的等价表示。它们之间可以可以转化。 22 LTI连续系统的零输入响 应 LTI的全响应可作如下分解： y(t) = 零输入响应yx(t) + 零状态响应yf (t) 一、系统初始条件 (2) 求系统的0-状态值uC(0-)、iL(0-)； (3) 由换路定律得到uC(0+)、iL(0+)，结合系统 0+瞬时的等效电路求得电路的各个电气量的初 始值。 (1) 若所给电路结构和参数在换路前后不发 生变化(即没有
5、开关时)，则由系统的0-状态值 与0-瞬时的零输入系统求得初始条件yx(j )(0-), j=0, 1, 2, , n-1，否则由(2)(3)两步进行求解 。 二、通过系统微分算子方程求零输入响应 零输入下LTI连续系统的微分算子方程为: 要使上式成立，需满足D(p)=0（特征方程） 针对特征根两种情况来求yx(t) 1特征根为n个单根p1 , p2 , , pn (可为实根、虚 根或复根) 将yx(0-)、yx (0-)、yx(n-1)(0-)代入上式，确定 积分常数A1、A2、An 。 共轭复根时欧拉公式cos t = 0.5(ejt + e jt )及 sint = j0.5(e jt
6、ejt )化简为三角实函数 2特征根含有重根 设特征根p1为r重根，其余特征根为单根， 则yx(t)的通解表达式为： 确定积分常数的方法同前。 3求解零输入响应yx(t)的基本步骤： (1)通过微分算子方程得D(p)求系统的特征根; (2)写出yx(t)的通解表达式; (3)由系统的0-状态值与0-瞬时的零输入系统求得 初始条件yx(j )(0-), j=0, 1, 2, , n-1。 (4) 将0-初始条件代入yx(t)的通解表达式,求得积分 常数A1, A2, , An 。 (5) 写出所得的解yx(t)，画出yx(t)的波形。 例2 电路如图(a)所示，已知uC (0-) = 1V，iL
7、(0-) = - 1A，求t0时的零输入响应uCx(t)。 1H 1 2 F 解 (1)画出算子模型电路,由节点法列出方程为 uC x (t), V 0 t, s 4 1 3 0.5 1 化简可得 : 解得特征根: p1=-2，p2=-3 (2)0-瞬时的等效电路 代入初始条件 23 LTI连续系统的零状态响应 一、零状态响应 零状态LTI连续系统H(p) 非齐次微分方程的解由通解和特解组成，f(t)的 形式简单（直流、交流）特解还易确定，如形式 复杂，则特解很难确定。一般情况下零状态响应 可通过将f(t)分解为更为简单的单元信号，将各单 元激励下的响应进行叠加来求解。 信号的时域分解： 将f
8、(t)分解为无穷多个宽度为的矩形脉冲信 号之和fa(t) 任意信号可分解为无穷多个不同时刻出现的 冲激强度为该时刻函数值的冲激信号之和 零状态响应的求解过程 零状态LTI 零状态LTI 零状态LTI 零状态LTI 冲激响应 时不变性 齐次性 叠加性 由上述过程可看出求解零状态响应可通过下列 两步完成： （1）求单位冲激响应h(t) （2）求卷积积分 二、冲激响应h(t) h(t)定义： 零状态LTI H(p) 通过多项式的长除法，H(p)可以化为某个多项 式与一个有理真分式之和。 据D(p)的根的不同有理真分式H(p)可展开为不 同的部分分式 1当D(p) 有n个单特征根p1 , p2 , ,
9、 pn (可为实 根、虚根或复根) 令第j项为 （一阶微分方程） 冲激响应h(t)为 2当D(p)特征根有重根时： 设p1为r重根，其余(n-r)个为单根pj(j=r+1, r+2, , n)，则有理真分式H(p)可展开为： 重根相关的部分分式项的冲激响应 3、H(p)为某个关于pj多项式时： 求解单位冲激的步骤： （1）据算子微分方程求出转移算子H(p) （2）长除法化为多项式与有理真分式之和。 （3）有理真分式部分分式展开； （4）据D(p)根的不同确定分式中的系数； （5）对照不同情况写出单位冲激响应。表2-2 例：求系统的单位冲激响应： 注：当 D(p)有共 轭复数根 时： 三 卷积积
10、分 (1)将f(t),h(t)的自变量t换为 ， f(),h()波形不变； (2)将h()折叠，得到h(-)； (3)将h(-)沿轴平移t， t为参变量，h(t-), t 0右 移， t 3) （1）卷积的运算规律 据卷积的定义和积分的性质，可推知卷积有如下 的运算规律 : 1交换律: 2分配律: 0123 1 3 y(t) t 3结合律 （2）卷积的主要性质 1f(t)与奇异信号的卷积 (1) f(t)*(t)=f(t),即f(t)与(t)卷积等于f(t)本 身 (2) f(t)*(t)=f(t) ,即f(t)与(t)卷积等于f(t)导数 。 (3 ) 2卷积的微分和积分： (1) 积分 f
11、1(t)*f2(t) -1 = f1-1(t)*f2(t)= f1(t)*f2-1(t) (3) 微分-积分: f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2-1(t)=f1-1(t)*f2(t) 则(2) 微分 f1(t)*f2(t) = f1(t)*f2(t)= f1(t)*f2(t) 若f1(t)，f2(t)左收敛， 3卷积时移： 设f1(t)*f2(t)=y(t)，则： f1(t)*f2(t-t0)=f1(t-t0)*f2(t)=y(t-t0) f1(t-t1)*f2(t-t2)=y(t-t1-t2); 推论：f(t-t1)*(t-t2)=f(t-t1- t2) (t-t1)*(t-t2)=
12、(t-t1 -t2); 利用卷积性质求解较复杂的卷积 （表2-3） 例7:例3已知 : 解： 卷积时的(t)的存在只是确定被积信号的起始位 置，卷积结果要考虑起始位置,即加(上限-下限) 0123 1 3 y(t) t 若f1(t)，f2(t)左收敛，将被卷积的一个信号尽 量化为冲激信号以及其延时，可使计算简化。 例8 试计算常数K与信号f(t)的卷积积分 解 直接按卷积定义，可得 ： 用微分-积分性质来求解将导致错误结果 常数K 不收敛且任意信号f(t)也并非一定收敛。 例9 已知某系统的冲激响应h(t)=sint(t)，激 励f(t)的波形如图所示，试求系统的零状态响 应yf(t)。 可用
13、微分-积分性来求 解： 系统的零状态响应求解 f(t) 0t24 2 f”(t) 0 t 2 4 （1） （2） （1） + - f(t) i(t) uc(t) + - p 1/p 例10:图示电路,激励 求:零状态响应uc(t) 解：列方程 + - f(t) i(t) uc(t) + - 1H 1F 图示电路，其输入电压us(t)波形如图 示，试用卷积积分法求零状态响应 uc(t) 0.1M 10F + uc(t) - + us(t) - 解： us(t)(V) t(s) 321 0 1 us(t)(V) t(s) 321 0 1 h( )h() h() 1 h 321 0 t 3210 1
14、 t 3210 1 t 3210 1 t 解法2、利用卷积的性质 四、系统全响应的求解方法： （1）求单位冲激响应h(t) （2）求卷积积分 （3）求零输入响应yX (t) 零状态响应yf (t) （4）全响应： 例11 图示电路已知i1(0-) = i2(0-) =1A， f1(t) = t (t)，f2(t) = (t) -(t-1)，求全响应y(t) 。 1 i1(t) + f1(t) - + f2(t) - 1 1 + y(t) - i2(t) 1H1H 解：1)先求系统的传输算子及冲激响应。 2）卷积积分求零状态响应yf (t) 3 ) 求零输入响应yX (t)： p1 =1，p2 = 3 4 ) 求全响应y (t)： 例12：已知某系统的微分方程为 当激励 试求零输入响应与零状态响应、 时，系统的全响应 自由响应与强迫相应、暂态响应与稳态响应。 解： 零输入响应 零状态响应 自由响应 强迫响应 暂态响应 稳态响应 本章要求 算子形式的微分方程列写(包括给 定电路图和系统框图两种形式); 冲 激响应的求解; 卷积积分的图解法和 解析法求解.
