一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨_毕业论文综述

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1、 本本科科毕毕业业论论 文文（设设计计） 题题目目 一些特殊一些特殊类类型的一型的一阶阶微分方程微分方程 的解法探的解法探讨讨 学生姓名学生姓名 学学 号号 系系 名名数学与数学与计计算机信息工程系算机信息工程系 专业专业年年级级数学与数学与应应用数学用数学 2008 级级 指指导导教教师师 职职 称称 单单 位位 辅导辅导教教师师 职职 称称 单单 位位 完成日期完成日期20122012年年5 5月月2020日日 材材 料料 目目 录录 XX 大学本科毕业论文（设计）任务书大学本科毕业论文（设计）任务书（指导教师用） XX 大学大学本科毕业论文（设计）开题报告本科毕业论文（设计）开题报告（学

2、生用） XX 大学本科毕业论文（设计）中期自查表大学本科毕业论文（设计）中期自查表（学生用） 论文正文：论文正文：一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨 XX 大学大学本科毕业论文本科毕业论文（设计设计）诚信保证书诚信保证书 XX 大学大学本科毕业论文（设计）任务书本科毕业论文（设计）任务书（指导教师用） 题目名称 一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨 学生姓名 所学专业数学与应用数学班 级 指导教师姓名 所学专业 职 称 完成期限2011 年 12 月 10 日至 2012 年 5 月 10 日 1.毕业论文（设计）主要内容或主要技术指标 一般的微分方程没有

3、普遍的解法，即使对于一阶微分方程也是如此.在数学史上，数学家 Leibnitz 和 Euler 分别试图利用变量替换和积分因子法来统一解决一阶微分方程的求解问题， 但始终没有如愿.不过这并不意味着人们就对此束手无策，处理问题的基本原则是具体问题具体 分析，对一些具有某种特殊形式的一阶微分方程，可采取特定方法求解.作者可从以下几个方面 作深入研究： （1）一阶微分方程（含特殊形式）及其通解的概念； （2）求解特殊一阶微分方程通解的理论价值和实际意义； （3）一阶微分方程解的存在唯一性分析； （4）分析、归纳诸如变量分离方程、齐次方程、Bemoulli 方程、一阶线性微分方程等经典微 分方程的方程

4、特点及其求解的数学思想方法； （5）考察、分析某些特殊类型的一阶微分方程的本质特点，探究其转换与求解的方法和技巧. 2.毕业论文（设计）基本要求 （1）根据自己所学专业的理论知识，结合社会实践，恰当选题，旨在理论联系实际，初步培 养科研能力，运用所学的理论知识分析问题和解决问题； （2）根据所选论题，全面收集文献资料，并对所收集的资料进行合理的分析、整理； （3）根据拥有的资料，结合自己对论题的理解和研究，做好开题报告； （4）全面构思论文设计的主体框架，编写详细的写作提纲； （5）按论文设计的主体构想和具体的写作提纲撰写论文初稿； （6）在初步完成论文初稿的基础上，进一步与指导老师交流和勾通

5、，吸取合理的建议，不断 完善结构、补充材料、丰富内容、严谨逻辑、规范格式，提高论文的学术水平与实用价值； （7）严格按照 XX 大学毕业论文设计的规范来撰写与编辑，确保论文的规范性； （8）在整个毕业论文设计的过程中，严格按照大学的工作要求来开展研究工作，端正态度， 严明纪律，讲究科学，提高效率，按质按量完成毕业论文研究工作. 3.毕业论文（设计）进度安排 （1）2011 年 12 月 1 日2011 年 12 月 9 日：结合专业，完成选题； （2）2011 年 12 月 10 日2012 年 1 月 10 日：收集资料，学习相关理论和专著，实地调研； （3）2012 年 1 月 11 日2

6、012 年 1 月 31 日：分析、整理文献资料，筛选出有价值的东西； （4）2012 年 2 月 1 日2012 年 2 月 10 日：与导师讨论和交流，完成论文开题报告； （5）2012 年 2 月 11 日2012 年 3 月 31 日：撰写论文并完成初稿； （6）2012 年 4 月 1 日2012 年 4 月 25 日：反复与导师交流，修改初稿，完成论文第二稿； （7）2012 年 4 月 26 日2012 年 5 月 5 日：进一步修改论文，严格按论文规范编辑，定稿； （8）2012 年 5 月 6 日2012 年 5 月 10 日：编写毕业论文答辩提纲，完成最后的扫尾工作. 指导

7、教师签名： 2011 年 1 2 月 10 日 XX 大学大学本科毕业论文（设计）开题报告本科毕业论文（设计）开题报告（学生用） 学号 学生姓名 系 名 数学与计算 机信息工程 系 专业 年级 数学与应用数学指导教师 职称 论文（设计）题目 一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨 1.本论题国内外研究动态及研究意义： 微分方程与微积分同时诞生，目前数学家掌握了一些可以用初等积分法求解的一阶微分方程类 型, 也发现有许多无法用初等积分法求解，所以,探讨一阶微分方程是微分方程领域的一个基本研究 内容. 随着时代的不断进步和科技的迅速发展，一阶常微分方程在很多学科领域内有重要的应用，如 飞机和导弹飞行

8、的稳定性的研究、自动控制、各种电子学装置的设计等.这些问题都可以化为求常微 分方程的解，或者化为研究解的性质的问题. 在国外，当代数学家 Leibnitz 和 Euler 对一阶微分方程解法的研究活动，有十分重要的学术意 义.1691 年，他们提出了常微分方程的分离变量法，解决了可化为变量分离型方程的求解问题；同 年还提出了求解一次齐次方程的方法；1694 年，Leibnitz 证明了使用了变量替换能把一阶线性常微 分方程化成积分方程；1694 年，Leibnitz 引进了找等交曲线或曲线族的问题，求出了一些特殊问题 的解；1696 年，他又证明了利用变量替换将伯努利方程变换，并将一些微分方程

9、进行简化.通过求 解微分方程，这两位科学家解决了研究活动中的许多具体问题. 这些年来，一阶线性、非线性微分方程、可分离变量微分方程、齐次微分方程、全微分方程、 一阶隐方程等问题已得以解决.然而一部分一阶微分方程还未能转化为经典类型的方程，它们是没有 统一的初等解法.目前,关于这一部分一阶微分方程的特殊解法,还在探索中.而本文的主要目的，就 在于总结四种特殊类型的微分方程（变量分离方程、齐次微分方程、线性方程、伯努利微分方程） 的解法特点.通过对其进行分析和研究，从中总结经验、解题思想进而对一阶高次微分方程及其新类 型的解法进行探讨.因此，通过探讨新的一阶微分方程，从而培养我们的机智性和灵活性，

10、以及思维 能力. 2.毕业论文（设计)研究内容、拟解决的主要问题： （1）研究内容 本论文首先对经典类型的一阶微分方程的解法总结归纳，进一步对一阶常系数高次微分方程的 一般形式的解法总结，通过对经典一阶微分方程的解法运用，进一步扩展到对一阶常系数高次微分 方程新类型的解法探讨. （2）拟解决的主要问题 通过总结及研究，找出几类常见的一阶微分方程并对其解法进行探讨. 每类特殊的一阶微分方程通过案例寻找合适的解法对问题进行分析. 总结常见的几类微分方程的解法规律，进一步对常系数高次微分方程及其新类型的解法进行 探讨. 3.毕业论文（设计)研究方法、步骤及措施： （1）拟采取的研究方法 文献资料法：

11、主要通过查阅关于本课题新文献和新成果，时刻关注所研究问题的新动向，对 国内外有关特殊类型的一阶微分方程的解法的资料进行收集和研究，更深层次的了解特殊一阶微分 方程解法.使所立论文研究的内涵和外延更丰富，方向更明确，方法更科学，以保证论文的研究质量. 举例法：通过列举相关的事实，更具体的特殊一阶微分方程应用. 积极与导师交流学习有关文献、研究心得以及课题的研究进展情况，对研究工作中所遇到的 难题和关键问题相互讨论、交流，而且不断完善研究目标. 分析法：结合以上方法来提出问题、分析问题和解决问题. 探究法: 深入学习，积极探究. （2）毕业论文的具体步骤 2011 年 12 月 1 日2011 年

12、 12 月 9 日：结合专业，完成选题； 2011 年 12 月 10 日2012 年 1 月 10 日：收集资料，学习相关理论和专著，实地调研； 2012 年 1 月 11 日2012 年 1 月 31 日：分析、整理文献资料，筛选出有价值的东西； 2012 年 2 月 1 日2012 年 2 月 10 日：与导师讨论和交流，完成论文开题报告； 2012 年 2 月 11 日2012 年 3 月 31 日：撰写论文并完成初稿； 2012 年 4 月 1 日2012 年 4 月 25 日：反复与导师交流，修改初稿，完成论文第二稿； 2012 年 4 月 26 日2012 年 5 月 5 日：进

13、一步修改论文，严格按论文规范编辑，定稿； 2012 年 5 月 6 日2012 年 5 月 10 日：编写毕业论文答辩提纲，完成最后的扫尾工作. （3）论文框架 1 摘要 Abstract 2 正文 第一章 绪论 1.1 研究动态 1.2 研究意义 第二章 常见的具有特殊形式的一阶微分方程及可化为此类型的微分方程 2.1 变量分离方程与离变变换 2.1.1 变量分离方程 2.1.2 常见的可化为变量分离方程的类型 2.2 线性微分方程 2.3 伯努利微分方程 第三章 常系数高次微分方程 3.1 一阶常系数高次微分方程 3.2 一阶常系数高次微分方程新类型解法的探讨 3 结束语 4 致谢 5 参

14、考文献 4.主要参考文献： 1 王高雄,周之铭，朱思铭,王寿松.常微分方程(第三版)M.高等教育社,2006.7 2 东北师范大学数学系微分方程教研室. 常微分方程M.北京:高等教育出版社,1986. 3 中山大学数学力学系.常微分方程M.人民出版社,1978. 4同济大学数学系.高等数学(下)M.北京:高等教育出版社,2008:276281. 5四川大学数学系高等数学教研室.高等数学（第三册）M.北京:高等教育出版社,1990. 6戴中林.一类一阶高次微分方程的解法J.大学数学，2006. 7 钱祥征. 常微分方程解题研究M.湖南科技出版社.1987年. 8邹豪思，冯尚.高等数学下册（第二版

15、）M.内蒙古大学出版社,2008. 9同济大学应用数学系.高等数学(下册)(第五版)M.北京:高等教育出社,2002. 10刘颖.一类特殊的一阶微分方程的初等积分法J.沈阳航空工业学院学报2004，21（5）：90- 91. 11张小慧.解一阶微分方程J.商丘职业技术学院学报,2006,5(2):11-12. 12李裕民.谈谈几种可积型一阶微分方程的解法J.湖南数学讯,1994,2:27-28. 13王高雄,周之铭.常微分方程M.北京:高等教育出版社出版,2001. 14伍卓群,李勇.常微分方程M.北京:高等教育出版社,2003. 15 蔡燧林. 常微分方程.M. 武汉:武汉大学出版社,200

16、3. 16王柔怀.常微分方程讲义M.人民教育出版社,1979,2. 是否可以进入论文（设计）研究： 指导教师签名： 年 月 日 是否可以进入论文（设计）研究： 系主任签名： 年 月 日 XX 大学大学本科毕业论文（设计）中期自查表本科毕业论文（设计）中期自查表（学生用） 系 名 数学与计算机信息工 程系 年 级2008 级专 业 数学与应 用数学 本人投入 的时间和 精力 每周平均工作 28 小时，出勤情况：较好（ ） 、一般（ ） 、差（ ）. 影响时间投入的原因： 找工作（ ） 、自身水平（ ） 、其他原因 . 指导教师 的投入 指导教师每周指导 1 次，大约 0.5 小时； 指导形式：网络（ ） 、电话（ ） 、面对面（ ） 、其他 ； 指导效果： 好（ ） 、