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1、振 动 习 题 x o k m f mg 1. 2. 物理摆如图所示, 设刚体对轴的转 动惯量 为J. 设 t = 0 时摆角向右最大为 0. 求 振动周期和振动方程. 解 振动方程 一弹簧振子放在一斜面上，如图所示 求 振动周期 解 设t 时刻，右边液面的位移为y ，左边液面 的位移为-y ，系统的势能为 y - y 截面为s 的U 形管中有适量液体,总长为l, 质量为 m, 密度为 , 求液面上下振动的频率(不计摩擦) y3. 解（一） 机械能为 求导 （二）设 t 时刻，右边液面的位移为y ，左边液面的位移为-y 系统的合外力为 4. 如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长 为 l ，质
2、量为 m ，竖直部分杆长为 2l ，质量 为 2m ，细杆可绕直角顶点处的固定轴 O 无 摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为 k 的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。 求 杆作微小摆动时的周期。 解 能量的方法(t 时刻系统的能量) （其它步骤同上） 如图所示, 质量为M盘和弹簧构成称，称质量为m 的物体，物体从离盘 底高 h 处静止下落，以盘 和物体 相碰瞬间为计时零点(t=0) ,令碰后平衡 位置为原点, 求振动方程。 k m h M o x 任意x 位置处受力有 只静止时,弹簧伸长为l0 有 碰后平衡位置处,弹簧伸长为l1 有 将(2)代入(3)得 令振动方程为x=Acos( t+
3、) 解 系统固有特性 5. 小结: 2) 由力的表示和能量关系求振动频率 3) 由初始条件确定振幅和初相 k m h M o x 1) 由以下三种等效形式都可确定为谐振动: 思考:碰后运动只有保守力做功,用机械能 如何解此题 ? 有三个同方向、同频率的简谐振动，振动方程分别为: 求 合振动的振动方程 6. xO A A1 A2 A3 合振动方程 合振动初相位 为 合振动振幅为： 解 7. 在图示系统中以系统的平衡位置算起的 物块的向下位移当作广义坐标。求系统的 固有频率。 题7图 题8图 题7解答 8.一小球重P，系在完全弹性的钢丝AB的 中部，AB的长度为2l。设钢丝张拉得很 紧，其张力的大
4、小为F，当球作侧向微 幅振动时，F保持不变。试求小球振动 的频率 题8解答 解: 9.在图(a)中，一重mg的物块悬挂于一 与悬臂梁端处相连接的弹簧上，在图 (b)中有同样重的物块连接在梁端处， 并由两弹簧悬挂着，数据如图示。求两 种情况下的频率。 题9解答 10.图示系统中，四个弹簧均未受力， 已知 试问：（1）若将支承缓 慢撤去，质量块将下落多少距离？（2 ）若将支承突然撤去，质量块又将下 落多少距离？ 题10解答 11.均质杆AB，质量为M，长为3l，B端 刚性连接一质量为m的物体，其大小可 略去不计。AB杆在O处用铰链连接，并 用弹簧刚度系数均为k的两弹簧加以约 束，如图示。试求系统自
5、由振动的频率 。 题11解答 解: 12.如图所示，质量为 的均质圆盘在 水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴 的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质 量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固 有频率。 题12解答 解: 13.在图示系统中以系统的平衡位置开始 算起,盘的中央的位移当作广义坐标。 假定盘很薄，并且做纯滚动。求系统 的固有频率 题13解答 解: 14.建立图示系统运动的微分方程。以 作为广义坐标，并假定很小，试求系 统的固有频率。 题14解答 解: 15.以作为广义坐标，建立图示系统的微 分方程。假定很小。 题15图题16图 题15解答 解: 16.质量为M30kg的电机，其转子有偏 心质量
6、 0.2kg，偏心距e1.3cm。 电机放置在不计质量、弹性刚度系数k 294N/m的水平梁上。当电机转子以 角速度90rad/s转动时，求系统受迫 振动的振幅及电机的临界转速 题16解答 解: 20. 弹簧悬挂的物体，质量为m，自由振 动的周期为。设在物体m上附加 一个 质量 ，则弹簧的静伸长增加 ，求 当地的重力加速度 题20解： 21. 半径为r的均质圆盘,在地面上滚动 而无滑动, 圆盘与弹簧相联, 求系统 的固有频率 题21解： 22.求图示系统微幅扭振的周期。两个摩擦轮可分别 绕水平 与 转动，互相吻合，不能相对滑动 ，在图示位置（半径 A与 B在同一水平线上 ），弹簧不受力，弹簧系
7、数为 与 ，摩擦轮 可看为等厚均质圆盘，质量为 与 。 题22解： 23. 轮子可绕水平轴转动,对转轴的转动惯量为J0，轮 缘绕有软绳，下端挂有重是P的物体，绳与轮缘之 间无滑动。在图示位置，由水平弹簧k维持平衡。 半径R与a都是已知的。求微幅振动的周期。 题23解： 24. 半径为r的均质圆柱,可以在半径为R的圆 筒内滚动而无滑动。圆柱与圆筒的轴线都 成水平，试求圆柱在静平衡位置附近振动 的频率 题24解： 25. 求图示两个弹簧在点O的等值弹簧系数k0 ，刚杆AB可以在图示平面内绕点O偏转。 题25解： 26. 图示系统，设质量m可以略去不计，试求 在有初始位移后的运动。 题26解： 27
8、.求图示系统的运动方程并求临界阻尼系数 与有阻尼固有频率. 题27解： 28.求图示系统的固有频率.(杆质量不计) 题28解： 29. 图示系统。设轮子无侧向摆动 ，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和 弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R ，质量为M，重物质量 m ，试列出系统 微幅振动微分方程，求出其固有频率。 题29解：以 x 为广义坐标（静平衡位置为 坐标原点） 则任意位置x 时： 静平衡时： 应用动量矩定理： 由 ， 有 振动微分方程： 固有频率： 30 .鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑 ，大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度 ，重物质量为m, 不 计轮D和弹簧质量，且绳
9、索不可伸长。求系统微振动的固有频率 。 解：取静平衡位置O为坐标原 点，取C偏离平衡位置x为广义 坐标。系统的最大动能为： 系统的最大势能为： 设 则有 根据Tmax=Umax , 解得 31. 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系数c 。 解： 由于 很小， 32. 已知P=mg=3500N，k=20000N/m , Q=100N, f=2.5Hz , c=1600Ns/m , 求B, , 强迫振动方程。 解： 33. 试用m的坐标 与2m的坐标 写出振系 的运动微分方程。刚杆AB的重量可以不计 。 题33解： 34. 试求图示两
10、个物体沿铅垂方向振动的固有 频率及主振型的振幅比,设 滑 轮、弹簧与软绳的质量以及阻力都可以不 计。 题34解： 35. 设有图所示弹性结构模型，假设悬臂梁是 均匀的，其截面弯曲刚度为EI，梁本身质 量可略去不计。求系统的柔度矩阵与刚度 矩阵。 悬臂梁在单位力作用下的挠度为 题35解： 36.设有图所示系统，在光滑水平面上，由刚杆连 结的三个质量 ， ， 所组成 ,其中 与 分别用弹簧 与 连于固定支点。刚杆本身的质 量可略去不计。再设三个质量都只能沿 x方向运 动。求系统的质量矩阵。 题36解： 37. 设在光滑水平面上有质点m，分别由三个 刚度各为k的弹簧连结于三个固定点，静平 衡时各弹簧
11、无变形。试考察系统的主振型 振动。 题37解： 38. 三个质量由二根弹性梁对称地连结在一起 ，可粗略地作为飞机的简化模型。设中间 的质量为M，二端的质量各为m，梁的刚度 系数为 ，梁本身质量可略去不计。只考 虑各个质量沿铅垂方向的运动，求系统的 固有频率和主振型。 题38解： 39. 图所示系统中，质量为M用弹簧 连结于活动支点 0 ，质量M与点 都限于在同一水平方向作直线运动设点 0 的运动规律已知为 。在质量M上悬挂一物理摆 ，摆重为 ，其重心C至悬挂点的距离为 ，摆绕其重 心轴的迴转半径为 。求系统的运动方程. 题39解： 40.一辆汽车重17640N,拉着一个重15092N的拖车,
12、若挂钩的弹簧常数为171500N/m.,试求系统的固 有频率与模态向量. 题40解： 41. 试求系统固有频率,假定两圆盘直径相等. 题41解： 42. 一卡车简化为 系统,停放在地上时 受到以等速v行驶的另一辆车m的撞击,设撞 击后车辆m不动,地面光滑,求撞击后卡车的 响应. 题42解： 43.求图示系统的稳态响应. 题43解： 44.求图示系统的固有频率,不计滑轮质量 题44解： 45. 求图示系统的固有频率与振型 题45解： 46. 质量可以不计的刚杆,可绕点转动,中点支 以弹簧,求振系的固有频率 题46解： 47. 求图示系统的稳态响应 题47解： 48. 求系统自由振动通解 题48解： 49.求图示系统的振动响应,设 正则振型矩阵为: 题49解：
