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1、常见的二自由 度系统模型 注意：自由度 的概念 第三章 二自由度系统 运动微 分方程 模型单元体分离力平衡关系运动微分方程 设： 矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。如果将 数认为是一阶方阵和一维向量，二者在形式上就统一了 多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵一般均是对称矩阵 系统的动 能为 系统的势 能为 系统的能量 耗散函数 动能、势能和能量耗散函 数均是非负的。也就是说 ，对任意的位移，任意的 速度，必然有 由此可知，质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是正定或半正定矩阵。一般说来， 工程振动问题中遇到的质量矩阵一般都是正定矩阵。对于静定和超静定结构，刚度矩 阵也
2、是正定矩阵。 上面关于质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵情况的讨论完全可以推广到任意的二自 由度系统和n自由度系统。 将m1，m2联结联结 在一起的弹弹性元件k2和阻尼元件c2使得系统统的两个质质量的振动动相互 影响，并使刚刚度矩阵阵和阻尼矩阵阵不是对对角矩阵阵。一般来说说，多自由度系统统的运动动 微分方程中的质质量矩阵阵、阻尼矩阵阵和刚刚度矩阵阵都可能不是对对角矩阵阵，这样这样 微分方 程存在耦合。如果质质量矩阵阵是非对对角矩阵阵，称方程存在惯惯性耦合；如果阻尼矩阵阵 是非对对角矩阵阵，称方程存在阻尼耦合；如果刚刚度矩阵阵是非对对角矩阵阵，称方程存在 弹弹性耦合。 利用这三个函数可以分别求出三个
3、矩阵的各个元素 对任何 x 0 , 都有 f(x) 0 ；如果 定理 实二次型为正定的充分 必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。 证 设可逆变换 上页下页返回 如果质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都是对角矩阵，则系统的运动微分 方程没有任何耦合，变为两个彼此独立的单自由度方程，各个未知量可以单 独求解。因此，如何消除方程的耦合是求解多自由度系统运动微分方程的关 键。从数学上讲，就是怎样使系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵在某一 坐标系下同时成为对角矩阵。 不同坐标系下的运动微分方程 四个广义义坐标标yA，yB，yC，q， 示例： 系统的动能 和势能为： 1取广义坐标为yc，q yc和q下的
4、运动动 微分方程为为 时方程存在弹性耦合 对角矩阵, 解耦。系统垂直方向的运动与绕质心的转动独立。 这个方程不存在惯性耦合 yA和q下的运动动微分方程为为 这个方程存在弹性耦合和惯性耦合 2取广义坐标为yA，q 系统 的动 能和 势能 为： 3. 取广义义坐标为标为 yA，yB 时方程存在惯性耦合。 时，方程已经解耦。 系统 的动 能和 势能 为： yA和yB 下的运动动微分方程为为 yA，yB用yc 和q表示为为 令 以上说明： 即如果广义坐标改变，会导致矩阵的变化-规律 变换矩 阵为 在yA和yB下 的质量矩 阵为 yc和q可用yA和yB表示为为 即： 推导过程中，我们得出了不同广义坐标系
5、下刚度矩阵之间的关系 。即如果广义坐标x和y之间有变换关系 在x，y下的刚度矩阵分别为K和K1，则由于系统势能大小与广义坐 标的选取无关，因而有 从而得到 用与上面相同的方法可以得到两个坐标系的质量矩阵M、M1和阻 尼矩阵C、C1之间的关系 系统统的质质量矩阵阵和刚刚度矩阵阵(包括阻尼矩阵阵 )的具体形式与所选选取的描述系统统振动动的广义义 坐标标有关， 合适的广义义坐标标能够够解除方程的耦合。 由于不同广义义坐标标之间间存在着线线性变换变换 关 系，所以，方程解耦的问题问题 就归结为寻归结为寻 找一 个合适的线线性变换变换 矩阵阵u，使变换变换 后系统统 的质质量矩阵阵，阻尼矩阵阵和刚刚度矩
6、阵阵成为对为对 角 矩阵阵。 二自由度无阻尼自由振动 运动微分方程为 如果存在变换矩阵u使方程 解耦。即当x=uy时， 在y下的运动微分方程为 上式相当于如下两个彼此 独立的单自由度方程 如果初始条件为 则方程(3.6)的解为 由此可以得到 方程(3.5)的解 也就是说说，初 始条件为为 系统的自由振 动是简谐振动 ，即 x1(t)，x2(t) 的比值值 这说明，如果方程(3.5)能够解耦，则在特殊的初始条件下，系统的两个 自由度以相同的频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间 的相位差为零或p 。下面的例子表明确实存在这种情况。 如果初始条件为 图 34 设设m1m2=m。这这是个对
7、对称系统统 ，对对称点为为k1的中点。 我们讨论们讨论 几种特殊的初始条件下 的振动动。 1 2 系统统两个自由度以w2为频为频 率做简谐简谐 振动动。同时时 达到极值值，同时为时为 零。它们们之间间的相位差为为p 。 两个自由度以w1为频为频 率做简谐简谐 振动动。同时时达 到极值值，同时为时为 零。它们们之间间的相位为为零。 3 此时时与1.一样样，系统统两个自由度以w1为频为频 率做简谐简谐 振动动。同时时达 到极值值，同时为时为 零。它们们之间间的相位差为为零。 4 此时时与2.一样样，系统统两个自由度以w2为频为频 率做简谐简谐 振动动。同时时达到极值值， 同时为时为 零。它们们之间
8、间的相位差为为p 我们讨论的这四种情况得到两个固有频率，两个坐标比值。 对于任意的初始条件 可以分解为如下的四种初始条件之和 这四种初始条件与上面讨论的四种情况一一对应，因而解也相似： 根据叠加原理，图34(a)所示系统在任意初始条件下的自由振动响应为 或者写成 我们称这种振动为系统的固有振动。固有振动时的 频率称为系统的固有频率，坐标之比称为固有振型 ，简称振型， 二自由度无阻尼系统在某些特定的初始条件下的自 由振动是简谐振动。此时振动的特点是，系统的两个自 由度以相同的频率振动，同时达到极值，同时为零，它 们之间的相位差为零或p，它们的坐标之比是与系统的 物理参数有关而与时间无关的常数。
9、由例可以看到： 振型与固有频率是一一对应的。二自由度系统存在两种频率的固有振动，因此 有两个固有频率，两个固有振型。二自由度系统在任意初始条件下的无阻尼自 由振动是这两个固有振动的线性组合。 用图形直观显示固有振动时各个坐标之间的相互位置关系，称为振型图 。例3.3的振型图如图35所示。 图 35 任意的二自由度无阻尼系统的固有频率、振型和自由振动响应的求解方法 系统的响应形式 两边左乘振型的转置uT，并设 其中： 由于M，K均正定，所以m1，k1均大于零。因而上式是 一个单自由度系统无阻尼自由振动方程，它的解为 求矩阵 列方程 矩阵方程变换 得： 对变换方程的求解 在线性代数中称上式为广义特
10、征值问题，它是关于振型u的线性齐次代数方 程组。振型u有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式为零，即有 代入变换方程 解出w12，w22 式(3.11)称为式(3.8)和式(3.10)的特征方程或频率方程。将它展开可得到一个 关于w2的二次代数方程。 (3.11) (3.10) 获得特征方程 由 得 w12，w22 将w12，w22 代入(3.10)求振型u u1u1l，u2lT、 u2u12，u22T。 一组向量代 表一个振型 取ul为振型矩阵u的第 一列，u2为第二列，即 得到了wl，u1和w2，u2后，可以得到方程(3.8)的解的形式 根据初始条件求振幅与初相位 求方程(3.8)的解的
11、形式 已知条件 根据变 换关系 振幅与初相位的具体值尚不能确定 可以求 出右边 向量 令 即，x0以x0和x0为它的第一列向量和第二列向量。利用B和 x0，式(3.15)可以合起来写成矩阵形式 因 求得bij后由下式计算各个自由度的振幅A1，A2和初始相位j1，j2 将A1、A2、j1、j2代入式(3.14)，即可得到任意二自由度系统统无阻尼自由振动动的解 图 36 例3.4 耦合摆 两个完全一样的单摆以弹簧是相联。单 摆长L，质量为m ，分析其振动特征 能量 函数 质量矩 阵和刚 度矩阵 矩阵微分 方程 1 令 矩阵微分 方程2 微分方 程乘 代数微 分方程 代数微分方 程 的解 代入矩阵微
12、 分方程 1 特征方程 广义特征值问题 展开得到 将w1 ，w2代人广义特征值问题 取u11=u21=1， u12=-1， u22=1 求固有 频率 求振 型矩 阵 振型矩阵和它的逆矩阵为 由 令 若 振型图图？ 求振 幅与 相位 得到 令 由三角和差化积公式得 分析振动 特点 k很小时 图 36 由于k很小，这样Dw远小于w0，可以把cosDwt和sinDwt看成随时间变 化的振幅， 它们的变化周期为 响应如图37所示。从图中可以看出，t 0时，左边摆的振幅为q0，右边摆的振幅 为0，即静止不动。随着时间的增长，左边 摆的振幅越来越小，右边摆的振幅越来越大 。当t=Dt/2时，左边摆静止不动
13、，右边摆的 振幅为q0。时间继续 增长后，左边摆的振幅 将越来越大，右边摆的振幅将越来越小。当t DT时，两个摆又回到t0的运动状态，完 成了一个周期的振动。 n系统的 动能为 因为响应是系统振型的线性组合，我们来看每个振型对应的固有振动的 动能和势能，第一阶固有振动为 它的动能和 势能为 n系统的 势能为 系统的能量特点 第二阶固有振动为 它的动能和 势能为 因此有 系统的动能和势能分别是各阶固有振动的动能和势能之和。对于任意 的无阻尼系统，这个结论都成立 振动能量可以按振型分解，如同三维空间中的质点的运动和能量可以 按相互垂直的三个方向分解一样。这意味着在振动中系统的各阶固有 振动如同三维空间中的质点的运动一样，也是相互独立的，彼此没有 能量交换
