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1、2013-2014 第一学期 张福俊 Flash tracking the key points of last lecture 简谐振动的特征：某个物理量存在空间的重复性和 时间的周期性。 简谐振动方程的推导：胡克定律和牛顿第二定律 简谐振动的特征参量：振幅 周期 相位 简谐振动的旋转矢量表示法 要点: 1：矢量逆时针旋转 2：矢量 与X轴正向夹角为简谐振动的初相位 3：矢量 转动角速度 为简谐振动的角速度 4： 1. 弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总 机械能的一半。 2. 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比。 3. 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映 了振动系统总能量的
2、大小及振动的强度。 简谐运动的能量 例1 : 设杆的质量可忽略不计，杆的一端用铰链连接， 使杆可绕垂直纸面的轴在铅垂面内摆动，杆的另一端固 定有质量为m的摆球。当摆在铅垂位置时，与摆连接的 两根水平放置的轻弹簧都处于没有变形的状态，假定摆 在小角度摆动时， 角按余弦函数规律随时间变化。试 求摆在小摆角摆动时的固有频率。两根弹簧的劲度系数 均为k。 mg M N kk a l 解：用机械能守恒定律 取水平面MN为重力零势能面 ，摆在最低位置时: 摆在最大偏离位置时 按题意设小角度摆动为谐振动，以表示其振动频率 。 (2)式代入(1)式 kk a l 或写出系统任意时刻的能量 对此式求导 例题2：
3、一个做简谐振动的物体，振幅为A，弹簧的劲度 系数为k，当物体偏离平衡位置的位移为A，并向 平衡位置运动 时，物体的动能是多少？ 根据机械能守恒定律：EEkEp 解：首先计算此时的势能： 系统总能量： 此时动能： 14-2 谐振动的合成 14-2-1 同方向同频率简谐振动的合成 14-2-2 同方向不同频率简谐振动的合成 拍 14-2-3 两个垂直方向上的简谐振动的合成 本节内容： 14-2-1 同方向同频率简谐振动的合成 合成振动仍为简谐振动。 利用三角函数公式 当A1、A2同时以的角速度转 动时，A同样以的角速度转动。 合矢量与x轴正反向的夹角为合振 动的初相。合矢量的模为振幅。 用旋转矢量
4、法描述合振动 思 考 题 ： 多个同方向、同频率谐振动合成多个同方向、同频率谐振动合成 做法：将多个旋转矢量 合成，求得合矢量。 讨论两个特例 (1)两个振动同相 由 x t o T2T 合成振动 由 (2)两个振动反相 如果 则 A=0 t o T2T 合成振动 一般情况为其他任意值， 上述结果说明两个振动的相位差对合振动的振幅 起着重要作用。 合成振动 t T 2T o 例1：求两同方向、同频率谐振动X2= 2cos(3t+/3 )、 X1=4cos(3t) 的合成谐振动方程。 解：合成后不变， X=Acos(3t+) A1=4、A2=2 、1=0 、2 = /3 合振动方程 O 例2:
5、两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振 动合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来 两个振动的相位差。 解： 着重研究相近且很大 14-2-2 同方向不同频率简谐 振动的合成 拍 可以近似地将合振动看成按蓝色项为振幅缓慢变 化，角频率为 的准简谐振动，称为拍。 如图拍现象 t o 合振幅在单位时间内加强或减弱的次数称为拍频 。其周期是合振幅变化周期的一半。 （beat） 重要的应用：已知频率的音叉测出其它音叉的频率 。 手风琴的中音簧： 键盘式手风琴（键盘式手风琴（Accordion)Accordion)的两排中音簧的频率大 概相差6到8个赫兹，其作用就是产生“拍”频。而俄罗 斯的“巴扬
6、”-纽扣式手风琴纽扣式手风琴则是单簧片的，因此没有 拍频造成的颤音效果。 利用拍频测速 从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效应要 发生微小的变化，通过测量反射波与入射波所形成的 拍频，可以算出物体的运动速度。这种方法广泛应用 于对卫星、各种交通工具的雷达测速装置中。 &拍现象是一种很重要的物理现象。 消去t 得到轨道方程 (椭圆方程) 14-2-3 两个垂直方向上的简谐振动的合成 &两个互相垂直同频率简谐振动的合成 x 轨迹为圆 y Y方向的振动 超前方向，得 到的是顺时针方 向的圆。 当两个振动的频率差异很小时 12: &两个互相垂直不个互相垂直不同频率同频率简谐简谐振动的合成振动的合成
7、 当两个振动的频率差异很大但有简单的整数比 利萨如图形 14-3 阻尼振动 受迫振动与共振 14-3-1 阻尼振动 14-3-2 受迫振动与共振 本节内容： 无阻尼自由振动阻尼振动( 摩擦阻尼，辐射阻尼 ) 由牛顿第二定律 令 ( 称为阻尼因子) ( 称为阻尼系数) 对于摩擦阻尼,当 不太大时 14-3-1 阻尼振动 称为阻尼振动振幅 O t x 此常系数线性齐次微分方程的解为 在阻尼较小时， 0， 曲线3为 过阻尼振动 曲线2为 临界阻尼 图中曲线1为 阻尼振动 设 为物体相继两次通过极大(或极小)位置所经时间 1 2 3 在生产实际中根据不同要求，控制阻尼大小。 生产技术中通常用改变阻尼大
8、小的方法来控制系 统的振动情况： 1、在机床上安装阻尼装置，作为减震器使机床运转 时冲击引起的振动迅速衰减，保护机件。 2、精密天平和灵敏电流计也配备了阻尼装置，使指 针尽快停止摆动，以便及时读数。 这种加大阻尼使振动尽快停下来的最好办法是将 阻尼加大到临界阻尼。 驱动力 运动方程 稳态振动后，方程的解为 对于一定的振动系统，当 一定时，位移振幅A随频率 而改变。 注意:稳态时的受迫振动与无阻尼自由振动实质有所不 同。 令 14-3-2 受迫振动与共振 共振现象极为普遍，有其有利的一面，也 可引起损害。 稳定受迫振动的频率相应曲线 共振时，振动速度与驱动 力同相位，从而驱动力作正 功，使振幅急剧增大。最后 当阻力功率与驱动力功率相 抵时，振幅急剧增大。 长850米、宽12米的美国华盛顿州Tacoma Narrows 桥，于1940年，在通车几个月后，由凌晨的 风引起大幅摆动因共振而垮塌. 小号发出的声波足以使酒杯破碎 我国古代对“共振”的认识： 蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣， 公元五世纪天中记： 问张华。 张华曰：此盘与宫中钟相谐， 故声相应， 可改变其薄厚。 14.14，14.17，14.19 第4次交 作业情况 应交作业 人数 实交作业 人数 未交作业 人数 交作业率 148136120.92
