象棋残局中的数学文化剖析

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1、象棋残局中的数学文化 1 第一章 概 述 第四节 数学的语言及数学的应用 2 一、数学的语言 语言是表达思想的， 是人类相互交流的工具。 数学语言则是人们进行数学表达 和数学交流的工具。 3 1自然语言与数学语言 1） 自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的 语言 中国人说汉语，美国人说英语，这些是自然语言；上海人 说上海话，四川人说四川话，广东人说广东话，这些也是 自然语言。 如同生物界有“濒危物种”一样，自然语言中也有“濒危语言 ”。下面的一个自然段，摘自新华社的一则报道。 国际自然及自然资源保护联盟为衡量濒危物种灭绝的危险程度， 制定了一套国际通用的评判标准。英国东英吉利亚大学的威廉萨

2、沙 兰德教授别出心裁地用这套标准，对世界上共约6800种语言进行了分 类，发现其中1676种有灭绝的危险。 4 这些让我们形象地了解到，自然语言是具体的语言， 随民族、地域而有所不同。 数学语言虽然要以自然语言作为载体，但它是形式化 的语言，在形式化的方面，不随民族、地域的不同而 不同。数学语言是一种由数学符号、数学术语和经过 改造的自然语言构成的科学语言。 语言都是用来描述事物的。自然语言可以用来描述事 物的各个方面，数学语言则主要用来描述事物的数量 关系、空间形式，以及事物的结构、逻辑关系等等。 5 例如一个工厂有四种产品，要向北京、天津、上海、重 庆、武汉、沈阳六地发货。如果采用自然语言

3、，需要具 体说上很长一段话，每种产品向每个城市各发货多少。 但如果采用数学语言，只要写出一个4行6列的矩阵，每 行表示一种产品，每列表示一个城市，交叉点填上相应 的发货数量（比如以吨为单位）。 所以说，自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的 语言。 6 2）数学语言使科学精确化 以下三段名言，是关于这个小标题很好 的注释： “数学进入一门科学的程度，反映了这门科学成 熟的程度。” “世界这本大书，是用数学的语言写成的。” “要是没有数学语言，宇宙几乎是不可描述的！ ” 7 事实上，牛顿用数学语言展示了他的三大定律； 爱因斯坦用黎曼几何的语言阐述了他的广义相对论； 数学家用群论的语言解决了晶体

4、分类的问题； 经济学家用数学语言表述了经济运行的规律。 物理中的布朗运动成为概率论中的语言， 生物中的遗传基因DNA，原来是数学中的双螺旋线， 医学上已经出现“数字化人体”的概念。 现在，任何一个科学工作者要使自己的工 作精确化，都必须借助于数学语言。 8 2. 数学语言是人类文明、 宇宙文明的共同语言 1）数学语言是人类文明的共同语言 由于数学语言往往需要依靠符号来表达，而世界各国又 采用相同的数学符号，这就使得数学语言成为人类文明 的共同语言。 例如，对于数学语言 （a + b）2 = a 2 + b 2 + 2ab 和 Sinx2 + Cosx2 = 1 表达的意思，任何一个民族、任何一

5、个地域的人都能明白 。 9 2）数学语言是宇宙文明的共同语言 地球上不同地域的人类文明发展到某一阶段时，都各自 独立地发现了“圆周长与直径的比是一个常数”，各自独 立地发现了“直角三角形斜边的平方等于两条直角边的 平方和”。 地球文明如此，宇宙文明也一定如此；于是自然地想到 ，数学语言能够成为宇宙文明的共同语言。 10 上个世纪70年代，美国曾经发射过一艘宇宙飞船，目的 是与可能存在的“外星人”取得联系。为了让星外文明了 解地球文明，这艘宇宙飞船带去了地球上山川、河流、 白云、海洋的照片，地球上各种动物、植物、微生物的 照片，以及各种年龄、性别、民族的人类照片；还带去 了地球上的许多声音，如狂

6、风暴雨的声音、森林中的鸟 鸣声、大海的浪涛声，以及不同民族的人类叫“妈妈”的 声音；同时还带去了刻有下面图形的黄金制作（以防锈 蚀损毁）的图板。 11 3数学语言的特点 1）明晰 这含有两个方面的意思，一是数学语言是明确 的，一是数学语言是有条理的。 数学语言是精确的，是从不含糊的， “大于”与“大于等于”的涵义，是明确不同的； “都属于集合A”与“有的属于集合A”也是明确不同的； “存在左极限”与“存在极限”也是明确不同的。 12 数学语言又是有条理的。 一段话的叙述中，先说哪个层次，后说哪个层次，是 有讲究的； 一个层次中，先说哪句话，后说哪句话，也是有讲究 的。 数学语言中必须有“因”有

7、“果”，“因”“果”分明，不能 把“因”说成“果”，也不能把此“因”说成彼“因”。 13 2）严谨 严谨，是指逻辑推理的严格和谨慎。它是数学的 特点之一，也是数学语言的特点之一。 首先是定理的叙述是严谨的。 例如算术基本定理叙述为：任一个大于1的自然数 ，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积， 并且如果不计次序的话，表法是唯一的。 这里，“大于1”的条件不可少，少了就欠严谨； “有限个”三字不可少，少了就欠严谨； “（可以重复）”的注解也不可少，少了就欠严谨； “如果不计次序”的假设也不可少，少了就欠严谨。 14 其次是推理的过程是严谨的。 推理的步骤如何，应该表达清楚；每一步的理由是

8、什么，也应该表达充分。 许多数学教师在教学中强调，学生推理时应该 注意“步骤完整，理由充足”八个字，是击中要害的。 例如，一个推理本来应该由六步完成，你只写出了五 步，缺一步，就欠严谨； 某一步本来应该依据三个理由，你只写出了两个理由 ，缺一个，就欠严谨。 如果某位学生有语言上的这种不严谨，其实是反映了 他思维上的不严谨。 15 3）简洁 数学语言要求简单干净。数学语言和自然语言不同。自然 语言允许同义反复，为了描述某一事物的美，往往用一大串意义 相近的词汇或并列的语句；为了形容一个人的聪明智慧，也常常 用一大串意义相近的词汇或并列的语句。 但数学语言则要求用词最少、不允许同义反复。 在数学表

9、达中，当一个语句被另一些语句蕴含着的时 候，它就是多余的，一定要去掉这个语句。 如果可以用三句话把意思表达清楚，就最好不要用四 句话。 如果可以有甲、乙两种方式叙述同一个意思，那么就 最好选择用语较少的那种方式。 16 4）规范 自然语言当然也有约定俗成的规范性；而数学语 言则更加鲜明地表现出“规范”的特点。 一句话说出来，不能有任何歧义。 一个词作为一个概念被定义以后，这个定义就要随 着这个词贯彻始终，不能再有任何改变。 17 一些数学语言中常用的词语，都有其特定的涵义，长 期以来形成了规范。 例如“任一个”，“有一个”，“没有”表达的是三种不同的 意思； “最多”、“至少”、“全都”表达的

10、也是三种不同的意思； “必定”，“可能”、“不可能”表达的也是三种不同的意思 ； “开区间”、“闭区间”、“左开右闭的区间” 表达的也是 三种不同的意思。 再例如，“包含”是用来说明两个集合之间的关系，“属 于”是用来说明元素与集合之间的关系，“包含”与“属于 ”不能混用。 18 4“”语言、集合论语言、公理化语 言 “”语言、集合论语言、公理化语言都是在不同历 史时期产生的数学语言，他们在数学发展史上都发挥 了很大的作用。 这三种数学语言，我们在“数学发展简史”那一节中已 经提及；在以后的章节中还会详细介绍。 特别是集合论语言、公理化语言，现在已经成为数学 语言的核心部分和公用形式，尤其值得

11、重视。 19 5重视数学语言的训练 语言是思维的反映。数学语言的发展反映了人类理性 思维的发展，它也是数学对人类文明的重大贡献之一 。 作为一个大学生，不但应该重视数学知识、数学方法 、数学思想的学习，同时也应该重视数学语言的学习 和训练。 现在的大学生，在作业中习惯性地写出“等号成立”、 “问题得证”等词语的大有人在；其实，相应的规范数 学语言应该是“等式成立”和“命题得证”。 20 语言的功夫，依赖仔细的推敲及反复的训练。 数学语言的训练，包括口头表达和书面表达两种形式 ，希望大家自觉地加强训练数学语言的意识。 口头表达的训练，可以通过同学间讨论问题、课堂发 言、课堂报告来进行； 书面表达

12、的训练，主要通过认真完成数学作业来进行 ，也可以通过撰写读书报告和撰写小论文来进行。 善于熟练地用明晰、严谨、简洁、规范的数学语言进 行正确的口头表达和书面表达，是数学能力的重要方 面，也是数学素养的重要方面。 21 二、数学的应用 我们在第一节中谈到“数学的特点”时，曾 经说到数学“应用的广泛性”。 现在，将以更多的篇幅来谈“数学的应用”。 关于这个话题，既有过正面的经验，也有过反 面的教训。 22 1.功利主义和实用主义的教训 关于数学“用处”的讨论，曾经有过许多曲折和反复。 有人讨论数学到底有多大的“用处”， 有人讨论哪些数学“真正”有“用处”， 有人讨论哪些数学没有“用处”， 有人曾因

13、说“我们目前研究的这个数学分支可能200年 内没有实际应用”而受到严厉的批判， 有人以“理论来源于实际”为武器对研究纯粹数学的数 学家横加指责。 23 数学确实是解决许多实际问题的工具，但是，数学之 作为工具，与斧子可以用来砍柴之作为工具是不同的 。 在制造斧子的时候，就是以砍柴的功用为目的的，因 此，生产斧子能够获利。 可是，在研究数学的时候，未必知道这种数学的实际 作用何在。 在不重视基础数学的时代，有些曾经被列为“没有实际 用处”的数学，当突然被发现能够解决重大问题时，才 被从“冷宫”中解放出来。 “早知如此，何必当初”，那时有些人总在吃后悔药。 24 其实，如果完全从实用主义的角度看待

14、数学，那么根 本不需要研究无理数；因为有理数在生活实践中就已 经够用了。 你可能会去买二斤饼干或者半斤饼干；你恐怕不会要 求售货员给你称 斤饼干。体检中给你测量身高时， 记录的也总是一个有理数。 但是现在我们知道，无理数的发现，导致了数学史上 的重大进步。 关于“哪些数学有用”及数学如何“理论联系实际” 的讨论，最近这些年虽然不那么激烈了，但是，历史 的经验值得注意，难保历史不会有类似的重演。 25 2介绍一些说法 近些年，人们越来越深刻地认识到数学 的“有用”。 下面摘录的，是有关“数学有用”的一些 说法。这些说法，都不是某一个人的说法， 而是许多学者讨论的结果。 26 上个世纪90年代初，

15、中国科学院数学物理学部有一 个“今日数学及其应用”的课题报告，其中说： “数学的贡献在于 对整个科学技术（尤其是高新技术）水平的推进与提高 ， 对科技人才的培养和滋润， 对经济建设的繁荣， 对全体人民的科学思维与文化素质的哺育。 这四方面的作用是极为巨大的，也是其他学科所不 能比拟的。” 27 本世纪初的2006年，教育部高等学校“数学与统计学教学指导委员 会”在“数学学科专业发展战略研究报告”中写道： 恩格斯曾说过：“数学的应用：在刚体力学中是绝对的，在气体力 学中是近似的，在液体力学中就已经比较困难了；在物理学中多 半是尝试性的和相对的；在化学中是最简单的一次方程式；在生 物学中等于零”。

16、 但是，在当今高科技时代，自然科学和社会科学各领域的研究进 入到了更深的层次和更广的范围；在这些研究中数学的运用是十 分普遍的，并且往往是实质性的，数学与自然科学和社会科学的 关系从来没有像今天这样密切。 许多一度被认为没有应用价值的抽象的数学概念和理论，出人意 料地找到了它们的应用。恩格斯当年描述的状况早已成为历史。 我们略举若干事实，说明数学在多方面的渗透和应用。 28 数学的许多高深理论与方法正广泛深入地渗透到 自然科学的各个领域中去。美国自然科学基金会最近 指出：当代自然科学的研究正在日益呈现出数学化的 趋势。 无论是电子计算机的发明还是它的广泛使用，都 是以数学为基础的。在电子计算机的发明史上，里程 碑式的人物图灵（ATuring，19121954）和冯诺 依曼（Johuvon Neumann，19031957）都是数 学家；而在当今计算机的重大应用中也无不包含着