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1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 多元复合函数的求导法则 第八章 目录 上页 下页 返回 结束 一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 证: 设 t 取增量t , 则相应中间变量 且有链式法则 有增量u ,v , 目录 上页 下页 返回 结束 ( 全导数公式 ) (t0 时,根式前加“” 号) 目录 上页 下页 返回 结束 若定理中 说明: 例如: 易知: 但复合函数 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 则定理结论不一定成立. 目录 上页
2、下页 返回 结束 推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 设下面所涉及的函数都可微 . 2) 中间变量是多元函数的情形. 例如, 例如, 目录 上页 下页 返回 结束 又如, 当它们都具有可微条件时, 有 解释第一个公式和第二个公式的原理 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 设 解: 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 解: 解释此公式的由来 解释此公式的由来 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设 求全导数 解: 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 解释此公式的第三项 ,Z是U，V，t三个
3、变 量的函数 目录 上页 下页 返回 结束 为简便起见 , 引入记号 例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 解: 令则 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性. 目录 上页 下页 返回 结束 例1 . 例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: 所以 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, 2. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是中间变量, 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 已知 求 解: 由两边对 x 求导, 得 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求 在点处可微 , 且设函数 解: 由题设 (2001考研) 注：
