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1、7.3基本不等式及不等式的应用高考理数(课标专用)A组统一命题课标卷题组考点不等式的综合应用(2015课标125分0.317)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a其中a.令g(x)=则g(x)=.当x时g(x)0g(x)为增函数要满足题意则x0=2此时需满足g(2)04ab+2=4当且仅当4ab=时“=”成立故当且仅当时的最小值为4.规律方法利用基本不等式求最值若需多次应用基本不等式则要注意等号成立的条件必须一致.3.(2014福建135分)要制作一个容积为4m3高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元侧面造价是每平方米10元则该容器的最低总造价是(单位:元).答案
2、160解析设底面的相邻两边长分别为xmym总造价为T元则V=xy1=4xy=4.T=420+(2x+2y)110=80+20(x+y)80+202=80+204=160(当且仅当x=y时取等号).故该容器的最低总造价是160元.4.(2017江苏105分)某公司一年购买某种货物600吨每次购买x吨运费为6万元次一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小则x的值是.答案30解析本题考查基本不等式及其应用.设总费用为y万元则y=6+4x=4240.当且仅当x=即x=30时等号成立.易错警示1.a+b2(a0b0)中“=”成立的条件是a=b.2.本题是求取最值时变量x的值不要混
3、同于求最值.考点二不等式的综合应用(2017天津85分)已知函数f(x)=设aR若关于x的不等式f(x)在R上恒成立则a的取值范围是()A.B.C.-22D.答案A本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题.当x1时关于x的不等式f(x)在R上恒成立等价于-x2+x-3+ax2-x+3在R上恒成立即有-x2+x-3ax2-x+3在R上恒成立.由y=-x2+x-3图象的对称轴为x=可得在x=处取得最大值-由y=x2-x+3图象的对称轴为x=可得在x=处取得最小值则-a.当x1时关于x的不等式f(x)在R上恒成立等价于-+ax+在R上恒成立即有-a+在R上恒成立由于x1所以-2=-2当且仅当x=时取
4、得最大值-2因为x1所以x+2=2当且仅当x=2时取得最小值2则-2a2.由可得-a2故选A.思路分析讨论当x1时运用绝对值不等式的解法和分离参数可得-x2+x-3ax2-x+3再由二次函数的最值求法可得a的取值范围讨论当x1时同样可得-a+再利用基本不等式可得最值从而可得a的取值范围求交集即可得到所求范围.考点一基本不等式1.(2013山东125分)设正实数xyz满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时+-的最大值为()A.0B.1C.D.3C组教师专用题组答案B由x2-3xy+4y2-z=0得z=x2-3xy+4y2又x、y、z为正实数=1.当且仅当x=2y时取等号此时z=2y2
5、.+-=+-=-+=-+1当=1即y=1时上式有最大值1故选B.2.(2014上海54分)若实数xy满足xy=1则x2+2y2的最小值为.答案2解析x2+2y22=2xy=2当且仅当x=y时取“=”x2+2y2的最小值为2.3.(2013天津145分)设a+b=2b0则当a=时+取得最小值.答案-2解析a+b=2+=+=+=+2=+1.当且仅当=且a0tanB+tanC0tanBtanC1tanAtanBtanC=tanBtanC=令tanBtanC-1=t则t0tanAtanBtanC=22(2+2)=8当且仅当t=即tanBtanC=2时取“=”.tanAtanBtanC的最小值为8.考点
6、二不等式的综合应用1.(2013课标115分0.561)已知函数f(x)=若|f(x)|ax则a的取值范围是()A.(-0B.(-1C.-21D.-20答案D由题意作出y=|f(x)|的图象:由图象易知当a0时y=ax与y=ln(x+1)的图象在x0时必有交点所以a0.当x0时|f(x)|ax显然成立当xC.a0a恒成立所以对x(0+)a而对x(0+)=当且仅当x=时等号成立a.2.(2018河南洛阳一模13)若实数ab满足+=则ab的最小值为.答案2解析依题意知a0b0则+2=当且仅当=即b=2a时“=”成立.因为+=所以即ab2所以ab的最小值为2.3.(2018河南中原名校3月联考14)
7、已知直线ax-2by=2(a0b0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心则+的最小值为.答案解析圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心坐标为(2-1).由于直线ax-2by=2(a0b0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心故有a+b=1.+=(a+2+b+1)=5+2=当且仅当a=2b=时取等号故+的最小值为.4.(2017河南百校联盟模拟15)已知正实数ab满足a+b=4则+的最小值为.答案解析a+b=4a+1+b+3=8+=(a+1)+(b+3)=(2+2)=当且仅当a+1=b+3即a=3b=1时取等号+的最小值为.考点二不等式的综合应用1.(2018湖北孝感模拟12)设f(x)
8、满足f(-x)=-f(x)且在-11上是增函数且f(-1)=-1若函数f(x)t2-2at+1对所有的x-11当a-11时都成立则t的取值范围是()A.-tB.t2或t=0或t-2C.t2或t-或t=0D.-2t2答案B由已知易得f(x)在-11上的最大值是1故由题意可知t2-2at+11对a-11恒成立即2at-t20对a-11恒成立.设g(a)=2at-t2(-1a1)欲满足题意则t2或t=0或t-2.2.(2018山西太原一模12)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)且当x0时f(x)=若对任意的xmm+1不等式f(1-x)f(x+m)恒成立则实数m的最大值是()A.-1B.
9、-C.-D.答案C由f(-x)=f(x)可得f(x)为偶函数.当x0时f(x)=可得0x0有解则m的取值范围为()A.m-4B.m-5D.m0在区间(12)上有解需满足f(1)0或f(2)0即m+50或2m+80解得m-5.故选C.1.(2017广东清远一中一模10)若正数ab满足:+=1则+的最小值为()A.16B.9C.6D.1B组20162018年高考模拟综合题组(时间:15分钟分值:25分)一、选择题(每题5分共10分)答案C正数ab满足+=1a+b=ab=1-0=1-0b1a1则+2=2=6当且仅当a=b=4时等号成立+的最小值为6故选C.2.(2017江西赣州十四县联考12)若存在
10、x01使不等式(x0+1)lnx01使不等式(x0+1)lnx01使不等式lnx0-1)则g(1)=0g(x)=-=.当a2时x2+2(1-a)x+10(x1)从而g(x)0得g(x)在(1+)上为增函数故g(x)g(1)=0不合题意当a2时令g(x)=0得x1=a-1-x2=a-1+由x21和x1x2=1得00是8a与2b的等比中项则+的最小值是.答案5+2解析实数a0b0是8a与2b的等比中项8a2b=223a+b=2则3a+b=1.则+=(3a+b)=5+5+2=5+2当且仅当b=a=-2时取等号.+的最小值为5+2.解题关键本题的解题关键是得出3a+b=1利用“1”的代换求最值.5.(2018山东济宁一模16)如图所示已知RtABC中ABBCD是线段AB上的一点满足AD=CD=2则ABC面积的最大值为.解析根据题意设DB=x(0 x0当且仅当a=b=c=d时取等)”求解.
