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1、 ： 量 墨 墨 高中 数学变式探究 教学案例 韩翠翠 ( 山东省广饶县第一 中学 ， 山东 广饶2 5 7 3 0 0 ) 摘 要 ：直线和 圆锥 曲 线位 置 关 系的相 关 问题 是 考 查 学生数 学综合 能 力的 主要 载体 对 相 关 问题 的 变式探 究也 是 培养 学 生数 学基本 思 想方 法、 强化数 学能 力的重要 途 径 2 01 3年 全 国 高 中数 学 联 赛 的 一 道 关 于 抛 物 线 的 试 题 是 研 究与直 线与抛 物线位 置 关 系有 关 的度 量 问题及 轨迹 问题 的 好素材 关键词 ：高中数学抛物线 变式探究基本不等式 在我 国传统的数学教学
2、中十分重视变式教学 ，正是 因为 应用 了变式教学 。我 国中学生在基础知识 和基本技 能方面远 远超过 了西方学生 ，可 以说 变式教学是具有 中国特 色的教学 方法 ，但是我 国学生在解答 开放性问题及动手 能力 方面逊于 西方学生 我 国的专家学者 对变式教学 的理论研究 比较多 。 实 践研究 比较相对较少 ， 对理论 的研究 大都停 留在感性知识上 甚至在有些理论的认识上还模棱 两可 还有就是很少有 高中 教师 能在教学 实践 中深层 次地 剖析 变式 教学 ， 因此 ， 对变 式 教学 的实践探 究就有非 常重 要的理论 和实践意义下 面笔者 列举数学教学 案例就对变式 教学的实践
3、谈谈 体会 例如 与直 线和 圆锥 曲线位 置关 系有关 的 问题是 各级 竞赛 及 高考 的热 点问题 同时也是考查 学生数学综合能力的主要载体 对 相关 问题的变式 、 探究 是培养学生数学基本思想 方法 、 形成数 学能 力的重要途径本 文主要结合2 0 1 3 年全 国数学 联赛 的一 道试 题重点研究与直线和抛物线位置 关系有关 的度量 问题及 轨迹 问题 ，其基本的思想方法可 以类 比到直线与其他二次 曲线的 问 题 中 引例 ：在 平面 直角 坐标系x 。 y 中， A、 B 两 点在抛 物线y = 4 x 上， 且满足 魂 = 一 4 ， F 是抛物线的焦点 ， 则s A O
4、F A “ s 。 F B = 分析 ： 借 助几何直观 ， 学生不难 发现三角形O F A与三角形 O F B 同底 ， 所以它们 面积 的乘积 由A、 B 两点 的纵坐标乘积 的绝 对值决定 结合 已知条件 ， 可以利用 向量数量 积运算的坐标表 示及抛物线方程进行转化求解 ， I 解 ： 设A、 B 两点的坐标分别为A( x 。 ， Y 。 ) ， B( X E , Y 2 ) ， 则y = 4 x 。 ， y2 2 = =4 x 2 ， 所 以y y =1 6 x l x 2 3 L x x z + y l y 2 = 一 4， 所 以y y 2 2 +1 6 y 。 y 2 + 6
5、4 = 0， 所 以 Y lY 2“ - 8 ，所 以 s 0 F s 10 F Ily Jy I_ 2 【 评析 】 本题是2 0 1 3 全国高 中数学联赛一试 的一道填空 题 ， 题 目内容简洁清 晰 ， 以学生 比较熟悉 的抛物线及 向量 的数 学生 的认 知水平 ， 如果不 符合 ， 就必须修 改 ， 因 为这 是关 系到 我们所讲 的这节课是 否能引起 大部分学 生兴趣 的关键 所在 而学生 的学习兴趣正 是提高课 堂教学效 率 的一 个重要 因素 。 借助多媒体教学媒介 把课堂知识学 习与生 活情景联系起来 改变过去呆 板僵化 、 单调 老套的说教 形式 。 克服 教学 内容多
6、、 教学时 间少的 困难 ， 提高 了教学效 率 ， 增 强 了课 堂吸引 力 、 诱 惑力 ， 使课堂充满 了乐趣 。 三 、 数 学 教 师 要重 新 构 建课 堂结 构 、 知 识 结 构 1 课 上让每 个学生都动起 来。首先 ， 课 堂语 言要 充满活力 和感染力 ， 抑扬顿挫 ， 风趣幽默。 这需要数学教师投入感情 。 要 进入角色 ， 眼 睛有神 ， 动作有力。 其次 ， 课 堂教学时要像 相声演 员那样 设计一些“ 包袱 ” ， 让学生在张弛有度 的环境下学 习。 如 果仅用某一种教学方法 ，则容易造 成学生听觉 、视觉上 的疲 劳 ， 从而分散学生 的注意力 ， 降低课堂教学
7、效率。 2 课 堂节奏要 随着学 生学习节奏 变化 而变化。合理地讲 练 ， 每节课都要有 比较 深入的信息反馈与调整 确保每节课 中 目标的达成度或生成度。 另外 ， 作业 的布置要科 学 、 有层次 ， 要 有 大局 意识 ( 应该在作业 中设计 “ 必修 ” ， “ 选修 ” 题 目) 。 这样就 比较有 弹性 。 能满足不 同层次学生的学习需求 。 3 课 堂要 面 向全体 学生。数学 教师应该认识 到培优补差 不是课 后的工作 ， 而是课 堂教学的重要任务 。因此 ， 加强课 堂 教学中的培优补差工作 ， 尤 其是补差工作值得 重视 。补差 ， 首 先是“ 治懒” ， “ 懒” 包括
8、思维上 的懒和练 习中的懒 。 思 维上 的懒 常常表现为学习过程中的心不在焉 、 注意力不集 中 ： 练 习中的 懒表现为练习速度慢 ， 作业完成不及时或是抄袭作业等 。 针对 以上情况 分别要 施之有效措施 。 在课堂 教学 中加 强“ 快速提 问” ， 增大提 问的密度 ， 把一些 略简单 的问题 让程度较 差 的学 生 回答 ， 让他们树立 自信心 ， 同时 ， 尽量 给他们板演 的机会 ， 让 他们养成 良好的练习习惯 ， 还有课堂作业要 “ 堂堂清” ， 教师要 严格监督 ， 不 给他 们拖拉的机会 ， 再者 ， 还 不能让他们 有抄袭 作业的机会 一经发现及时批评 。 并严格处理
9、。 4 课 堂 教 学 要 坚持 “ 三 为 主 ” 。 即 以 学 为 主 ， 以练 为 主 ， 以 赛 为主 。以学为主 ， 就是 以学生 的 自主学 习为主 培养学生独 立完成学习任务的能力 ， 强化学 习的整体效果 。以练为主 ， 课 堂上学生 的练习是主线 ， 练 习的形式多种多 样 。 生生互动 。 师 生互动。 教师仅起主持人的作用 ， 环节的导入 、 时间的控制 、 争 议的评价等都可能是调动学生主观能动性的一种途径 。以赛 为主 ， 单位时间 内要给学生 以积极参 与的动力 与适 当的压力 ， 生生之 间( 组组之 间) 可 以引入恰 当的竞争机制 ， 调动 学生的 学习热情
10、 。 5 高效课堂 的实施 离不开 学生 的有 效合 作。我们可以根 据学生的学习成 绩按照不 同的层次搭配划分学习小组 让学 生结成学习对子“ 一帮一” 、 “ 一促一” ， 共同学习 ， 共同进步。 总之 ， 高效课堂无论是学 习还是借鉴 ， 都在于领会先行学 校的精 神 ，而不 在于形式 。高效课堂虽然不是一种具体的模 式 ， 但它的 目标是明确 的， 是对传统教学模式的改革。虽然与 传 统教学模式 的 目的有一 致的地方 ，但它的具体要求已经超 越传统 。 作为教学主导者 的教师必须首先改变 自己 才能真正 打造高效课 堂。 参考文献： 1 陶行知 陶行知教育全集 江苏教育 出版社 2
11、 苏霍姆林斯基 给教师的建议 教育科学出版社 3 林 崇德 教育 的智 慧 开 明出版社 7 5 蟹 鐾 一 量积运算 为背景 ， 主要考查学生综合运用坐标法和函数与方程 的思想进行分析问题、 解决 问题 的能力 ， 题 目本身容易上手 。 解 题思路 自然流畅 通过深入思考发现 ， 本题内涵丰富 ， 对相关问 题 的变式分析更是培养学生探究能力的一个很好 的素材 变式 1 ： 求S o F A + S 0 n 的最小值 分析 1 ：利 用基本不 等式及引 例的结论可 以确定三 角形 0 F A 与三角形0 F B 面积和的最小值 ， 并 能指出取到最值时A、 B 两点的坐标， 解 1 ： 由
12、引 例 可知 S 0 F A S a o r B = 2 ，所 以S A O F A + S 。 F B 2 = 2 当S A O F A = S A O F B 即ly I = Iy 2 l_ 2 、 2时 取等号 ，不 妨取A( 2 ， 2 ) ， B( 2， 一 2 ) 时 “ =” 成 立 分析2 ： 将 面积和的 问题利用 公式转化为与A、 B 两点纵坐 标有关 的函数关系式 ， 再结合基本不等式进行求解 解 2 ： 因 为 (s + s 。 FR ) = ( I y l y I) = ( y 2+ y ：2+ l6 ) = 丢 ( y + 6 4 + 1 6 ) I8， 所 以s
13、。 F A + s 。 F B 2 V 2 -， 当且仅 当y ： 即 ： “ ： ” 2 Y 8 n ? I R y， 变式2 ： 求S 。 的最小值 分析 1 ： 利用三角形 的面积公式将 三角形A O B的面积用直 线A B 的斜率表示 ， 进而解决其最小值 问题 解 1 ： 设直线A B的斜率为k ( k O ) ， 其 方程 为y = k x + b 代 人y = 4 x q ： k - y - 4 y + 4 b = 0 ，设A( x l ， Y 1 ) ， B ( x 2 ， Y 2 ) ， 则y 1 + y 2 4 4 b 一 k y1 y 2 ， N P2 S = 1 lAB
14、 1 d = 2 l b l ， 一 Vk + 1 S L y l y= = 4 b =一8 ， 所 以 S A A O B = I b l V ( Y t+ Y 2) 2+ 3 2 = 若直 线A B 没有 斜率 ， 则所 A、 B 两 点关 于x 轴 对称 易 知 l y I I = l y 2 I = 2 、 2， 若取A( 2 ， 2 、 ) ， B( 2 ， 一 2 V ) ， 则s =4 、 2， 所MS 0 B I 4 、 2， 即S A A O 的最小值为4 、 分析2 ： 由A、 B 两点纵坐标之 间的关 系及韦达定理可 知直 线A B 恒过定点 ，由此可将三角形AO B 分
15、割为两个同底的小三 角形 ，进而将面积 的最值 问题转化为 与基本不 等式有关 的最 值 问题得 以解决 7 6 解2 ： 由y 。 y ： 一 8 得b ： 一 2 k ， 所 以直 线A B的方程 可化为 K y = k( x 一 2 这说明直线AB 有斜率 时恒过定点C( 2 ， 0 ) 若直线A B 没有 斜率 ，由y Y 2 = - 8 I A、 B 两点 的坐标 可取A ( 2 ， 2 V ) ， B( 2 ，2 ) ， 此 时， 直线A B 也过定点c( 2 ， 0 ) 所 = lO C I “ IlY ll+ ly = l= 、 + + l 6 V y ， 4 、 2 当且仅当Iy l I = l y 2 1 = 2 V 时取等号 ， 不妨取A( 2 ， 2 V ) ，B ( 2 ， 一 2 N 2 ) 时“ = ” 成立 变式3 ： 求坐标原点在直线AB I- 3 投影的轨迹 分 析 ： 联想到直线A B 恒 过定点C( 2 ， 0 ) ， 则 容易 判断 坐标 原 点在直 线A B 上的投 影 的轨 迹是 以线段0 C为直径 的 圆 同 时， 可以利用坐标运算推得其轨迹方程 解 ： 设 坐标 原点在直 线A B 上的投 影为M( x 。 ， Y 。 ) ， 直线A B 的斜率为k ( k
