现代通信原理与技术第09章差错控制编码教材

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1、第九章 差错控制编码 9.1 引言 9.2 纠错编码的基本原理 9.3 常用的简单编码 9.4 线性分组码 9.5 循环码 9.1 引言 由于数字信号在传输过程中受到干扰的影 响，使信号码元波形变坏，故传输到接收 端后可能发生错误判决。 由信道中乘性干扰引起的码间干扰，通常 可以采用均衡的办法纠正，而加性干扰的 影响则要从其它途径解决。 差错控制编码即是减少加性干扰造成错误 判决的措施之一。 信道编码的主要原理：在传输信息的同时 加入信息冗余，通过信息冗余来达到信道 差错控制的目的。 基本思路：在发送端将被传输的信息附加 上一些监督码元，多余的码元与信息码元 之间以某种确定的规则相互关联（约束

2、） 。接收端按照既定的规则校验信息码元与 监督码元之间的关系，一旦传输发生差错 ，则信息码元与监督码元的关系就受到破 坏，从而接收端可以发现错误乃至纠正错 误。 错误的类型 随机错误：发生的位置是随机的，而且数字 序列中前后之间是否发生错误，彼此无关。 多数情况下是独立的单个数据发生错误。以 随机错误为主的信道称为随机信道 。 突发错误：在一些短促的时间区间内错误突 发出现，密集成群，而在这些短促的时间区 间之间却又存在较长的无错码区间。 以这种突发错误为主要错误形式的信道称为 突发信道。产生突发错码的主要原因之一是 脉冲干扰，而信道中的衰落现象也是产生突 发错码的另一主要原因。 差错控制方法

3、 检错重发法：接收端在收到的信码中检测 出（发现）错码时，即设法通知发送端重 发，直到正确收到为止。 前向纠错法：接收端不仅能在收到的信码 中发现有错码，还能够解定错码的位置， 纠正错码。 反馈校验法：接收端将收到的信码原封不 动地转发回发送端，发送端将其与原发送 信码比较，如果发现错误，则重发。 自动要求重发系统ARQ系统 （ Automatic Report reQuest） ARQ系统的三种工作过程 差错控制编码分类 在信息码元序列中加入监督码元就称为差 错控制编码，也称为纠错编码。不同的编 码方法，有不同的检错或纠错能力。一般 地，编码中增加的监督码元越多，检（纠 ）错的能力就越强。

4、差错控制编码原则上是以降低信息传输速 率为代价来换取传输可靠性的提高。 分 类： 功能不同分：检错码、纠错码、和纠删码； 信息码元和附加的监督码元之间的检验关系 分：线性码和非线性码； 信息码元和监督码元之间的约束方式分：分 组码和卷积码； 信息码元在编码后是否保持原来的形式不变 分：系统码和非系统码； 纠正错误的类型分：纠正随机错误码和纠正 突发错误码； 编码的数学方法分：代数码、几何码和算术 码； 实例一： “明天14：0016：00开会” “明天10：0016：00开会” 改：“明天下午14：0016：00开会” “明天下午10：0016：00开会” 改：“明天下午14：0016：00两

5、个小时开会 ” 9.2 纠错编码的基本原理 实例二： 000(晴) 001(云) 010(阴) 011(雨) 100(雪) 101(霜) 110(雾) 111(雹) 000(晴) 011(云) 101(阴) 110(雨) 000(晴) 111(雨) 二 纠错码的基本概念 分组码 将输入的信息分成不同的组，对各组信息分 别独立编码，附加若干监督码的编码集合， 为分组码。 分组码一般用符号(n,k)表示，其中k是每组 二进信息码元的数目，n是编码组的总位数， 又称为码组长度（码长），n-k=r为每码组中 的监督码元数目，或称监督位数目。 分组码是对每段k位长的信息组以一定的规 则增加r个监督元，组

6、成长n的码字。在二进 制情况下，共有2k个不同的信息组，相应地 可得到2k个不同的码字，称为许用码组；其 余2n-2k个码字未被选用，称为禁用码组。 an-1 an-2 ar ar-1 a0 k个信息位r个监督位 码长n=k+r 在分组码中，码组（码字或码矢）中码元 的数目，称为码组的长度（简称码长）； 码组中把“1”的数目（即非0的数目）称为码 组的重量（简称码重）； 码长、码重和码距 码长、码重和码距 在分组码中，把“1”的 数目称为码组的重量 ，而把两个码组对应 位上数字不同的位数 称为码组的距离，简 称码距，又称汉明 (Hamming)距离。 某种编码中各个码组 间距离的最小值称为 最

7、小码距（d0）。 三 检错、纠错能力 任一(n,k)分组码，若要在码字内： 检测e个随机错误，则要求码的最小距离 ； 纠正t个随机错误，则要求码的最小距离 ； 纠正t个同时检测e( )个随机错误，则 要求码的最小距离 ； 码距与检错和纠错能力的关系 四 编码效率 编码效率R来衡量有效性： 对纠错码的要求：检错和纠错能力尽量强 ；编码效率尽量高；编码规律尽量简单。 9.3 常用的几种简单分组码 奇偶监督码 二维奇偶监督码 恒比码 正反码 9.3.1 奇偶监督码 奇偶监督码可分为奇监督码和偶监督码两 种，两者的原理相同。 在偶(奇)数监督码中，无论信息位有多少 ，监督位只有一位，它使码组中“1”的

8、个 数为偶(奇)数，即满足 an-1 an-2 a0=0(1) 式中a0为监督位，其它为信息位。 在接收端，将码组中各码元模2加，若结果 为“1”(“0”)就说明存在错码，为 “0”(“1”)就认为无错。 9.3.2 二维奇偶监督码 二维奇偶监督码又称方阵码。它是把奇偶 监督码的若干码组排列成矩阵，每一码组 写成一行，然后再按列的方向增加第二维 监督位。 9.3.3 恒比码（等重码或定1码） 在恒比码中，每个码组均含有相同数目的 “1”（和“0”）。由于“1”的数目和 “0”的数目之比保持恒定，故得此名。 这种码在检测时，只要计算接收码组中 “1”的数目是否对，就知道有无错误。 恒比码的主要优

9、点是简单和适于用来传输电 传机或其它键盘设备产生的字母和符号。对 于信源来的二进随机数字序列，这种码就不 适合使用了。 “5中取3”恒比码：（我国电传通 信中用） 阿拉伯 数字 保护电 码 国际电 码 阿拉伯 数字 保护电 码 国际电 码 1 2 3 4 5 01011 11001 10110 11010 00111 11101 11001 10000 01010 00001 6 7 8 9 0 10101 11100 01110 10011 01101 10101 11100 01100 00011 01101 9.3.4 正反码 正反码是一种简单的能够纠正错码的编码。 其监督位数目与信息位

10、数目相同，监督码元 与信息码元相同（是信息码的重复）或者相 反（是信息码的反码），则由信息码中“1”的 个数而定。 长度为10的正反码具得纠正一位错码的能力 ，并能检测全部两位以下的错码和大部分两 位以上的错码。 9.3.5 ISBN国际统一图书编号 国内外出版的图书封底右下角印有诸如 ISBN 0-1315-2447-X形式的国际统一图书编 号，这种编号也是一种检错码。第一位数 字是国家代码，“0”美国及其他英语国 家出版物；“7”中国；“1315”代表 出版公司；“2447”代表书名编号；“X （罗马字）”校验位。 9.4 线性分组码 线性分组码，是指信息位和监督位满足一 组线性方程，即其

11、编码规则可用一组线性 方程来描述的分组码。 线性码有一个重要性质，就是它具有封闭 性。即线性码中的任意两个码组之各仍为 该码中的一个码组。 线性码又称群码。 一 基本概念 在(n,k)线性分组码中，每一个监督元都是码 组中某些信息元按模2和而得到。例（7，4 ）分组码，设其码字为A=a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 ，其中前4位是信息元，后3位是监督元，可 用下列线性方程组描述该分组码，产生监督 元。 经计算可得（7，4）码的全部码字 。 表91 （7，4）码的码字表 序 号 码 字序 号 码 字 信 息 元监 督 元信 息 元 监 督 元 00 0 0 00 0 081 0 0 01

12、 1 1 10 0 0 10 1 191 0 0 11 0 0 20 0 1 01 0 1101 0 1 00 1 0 30 0 1 11 1 0111 0 1 10 0 1 40 1 0 01 1 0121 1 0 00 0 1 50 1 0 11 0 1131 1 0 10 1 0 60 1 1 00 1 1141 1 1 01 0 0 70 1 1 10 0 0151 1 1 11 1 1 二 监督矩阵H和生成矩阵G 1 监督矩阵H： 设（7，4）汉明码的码字 它有三个监督元，可建立三个互相独立的 监督关系式： 矩阵形式： 简记为 ： 或： 其中 是A的转置， 是 的转置， 是H的转置；

13、 称为（7，4）汉明码的监督矩阵。(n,k)线性 分组码的监督矩阵H由r行n列组成，这r行是 线性无关的。 系统码的监督矩阵可写成如下形式： 称为典型监督矩阵。是r*r的单位矩阵，p是 r*k的矩阵。上监督矩阵H有： 2 生成矩阵G： 若将监督方程补充为下列方程： 其中， 变换为： G = 称为生成矩阵。由生成矩阵及信息组可产 生出全部码字。G由K行n列组成，每一行是 一个码字，K行线性无关。系统码的生成矩 阵可写成： 称为典型生成矩阵。由典型生成矩阵得出 的码组A中，信息位不变，监督位附加于其 后，这种码称为系统码。 三 伴随式（校正子）S 设发送码组 接收码组 则发送码组和接收码组之差为：

14、 它是传输中产生的错码行矩阵： 其中： 可写成： 。令 ，称为 伴随式或校正子。 由于E为1*n，为n*r矩阵，所以S为1*r的矩 阵，即r列的行矩阵： 按照上述方法构造的纠正单个错误的 线性分组码称为汉明码。其特点： 码长： 信息码位： 监督码位：r=n-k=m；最小码距： d0=3；纠错能力：t=1。 汉明码的编码效率： 汉明码能纠正一个错码，则要求： 2r-1 n 或2r k+r+1 汉明码的编码效率等于： K/n=(2r-1-r)/(2r-1)=1-r/(2r-1)=1- r/n 可见，汉明码是一种高效码。 四 系统码与非系统码 设信息位为 ，若编码后的 码组为： ，其中 ， 是监督位

15、，则称这种码为 系统码。即系统码经过编码后的码组 中前k个是信息位，后n-k是监督位。若 不存在上述关系，则称为非系统码。 只有系统码 才有关系： 系统码 和非系统码 均有： 。 9.5 循 环 码 一 定义及特点 循环码是一类特殊的线性分组码，特点 是循环性。所谓循环码（Cyclic Code）就 是任何一个码字循环右移一位后所得到的 仍是一个合法码字，也就是说这个码在循 环位移运算下具有封闭性。 在代数理论中，常用码多项式表示码字。 (n,k)循环码的码字，其码多项式（以降幂顺 序排列）： 例1 （7，3）循环码： 序 号 码 字 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 例2 （7，3）循环码 码组编 号 信息位 监督位 码组编 号 信息位 监督位 a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a0 1000000051001011 2001011161011100 3010111071100101 4011100181