北师大版必修1第1期-1-4章节.FIT

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1、高一第期1高一B第1期数学长廊适用于B1广告经营许可证号：2301004000015育才报社地址：哈尔滨市道里区田地街100号邮编：150010印刷：北京世纪华彩印务有限责任公司本学期总定价：13.00元编辑部质量反馈热线：0431-81041508刘老师投诉电话：0791-86855729张老师新学期寄语岁月代序，万物迁流.送走了紧张而愉快的初三下，同学们又迎来了新的学期新奇而充实的高一上，在此之际，育才报全体编辑向给予本报支持的老师、同学们致以最亲切的问候！育才报新课标人教A版在编辑过程中本着以考试大纲为指导的原则，注重基础知识与基本技能的传授与训练，同时又将所学知识进行拓展延伸，以期使同

2、学们更深刻地理解知识，达到更佳的学习效果.同学们，在这个充满收获的学期里，希望育才报能陪伴你成长！高一编辑部集合语言作为现代数学的基本语言，已经贯穿于整个高中数学，那么如何准确恰当地将集合表示出来也成为我们需要探讨的重点.集合常见的表示法有列举法与描述法，这两种方法是我们学习集合知识的基础，为正确解决集合问题提供了保障援我们从两个方面来探讨：一、知识细化1援列举法（1）含义：将集合中的元素一一列举出来，并写在花括号“”内，它的书写形式为a1，a2，a3，an援（2）注意事项：淤元素与元素间必须用“，”隔开；于不必考虑元素的先后顺序，但不能重复，也不能遗漏；盂元素可以是人、物、数字、符号等等，切

3、不可认为只是数字援（3）适用类型：淤集合中元素的个数较少的情况，如1，2；于对于元素个数较多，且元素间有明显规律的集合，也可运用列举法，中间元素省略用“”来表示，但要注意一定要把元素间的规律显示清楚，如不大于1000的正偶数组成的集合可表示为2，4，6，998，1000.2援描述法（1）含义：用集合元素的共同特征表示集合的方法，即用确定的条件表示某些对象是否属于集合的方法；它的书写形式为P|P满足的条件援（2）注意事项：淤写清集合的代表元素，即掌握集合的本质；于说明该集合中元素的性质，即该集合中元素所具有的共同特征；盂多层描述时，要正确使用“且”或者“或”援（3）适用类型：元素满足的性质容易被

4、概括的集合.3.综合认识通过以上的归纳，我们可以看出，有些情况下，这两种表示方法也可以同时使用的，如表示大于5且小于10的所有整数组成的集合，可以表示为6，7，8，9，也可以表示为x沂Z|5x10.不过在解决具体问题时，要注意结合各自的适用条件，根据需要而选择恰当的表示方法.二、典型例题例1选择适当的方法表示下列集合：（1）由标点符号“？”、运算符号“+”、数字“0”与空集符号“”所组成的集合；（2）面积为1的矩形组成的集合；（3）绝对值不大于2的所有整数组成的集合.解：（1）列举法：？，+，0，援（2）描述法：x|x是面积为1的矩形.（3）列举法：-2，-1，0，1，2，描述法：x沂Z|x|

5、臆2.【点评】解答此类问题的关键是掌握集合的表示方法所适用的范围，从集合元素的个数和集合的属性特征入手.例2（1）已知集合A=x沂N126-x沂N嗓瑟，用列举法表示集合A；（2）已知集合M=1，12，13，14嗓瑟，用描述法表示集合M援解：（1）由题意知，x只能取0，2，3，4，5，可得126-x分别为2，3，4，6，12.其他x沂N的数均不能使126-x沂N，所以用列举法表示集合A=0，2，3，4，5.（2）M=xx=1n，n臆4且n沂N+嗓瑟援【点评】在解决集合表示法互化的例子时，要注意在用列举法表示集合时，要做到不重不漏；在用描述法表示集合时，答案可能不惟一，如第（2）小问也可以表示为M

7、样使得集合的运算显得清晰明了.解：如图1，首先在数轴上表示出集合M，N.集合M=x|0臆x约2，集合N=x|x2-2x-3约0=x|原1约3x约3，所以M疑N=x|0臆x约2.故选B.二、借助Venn图对于涉及的信息较多或对于未给元素的抽象集合，研究其关系或运算时，常可考虑用Venn图求解援将集合问题图形化，有助于准确地显示出各集合之间的关系，捕捉有用的信息援例2设全集U=不大于20的质数，M，P是U的两个子集，且满足M疑（UP）=3，5，（UM）疑P=7，19，（UM）疑（UP）=2，17，求集合M，P.分析：此题是一个有关元素为整数的集合运算，与常规集合的交、并、补运算相反，属逆向运算.求

8、解的方法是从补集、交集等运算结果，找出满足条件的M，P，解题的关键是弄清已知条件中几个集合及其关系.具体运算时要分类讨论，运算量较大，但若采用Venn图法，将其关系形象、直观地表示出来，则可避免讨论，快速求解.解：根据题意，易知全集U=不大于20的质数=2，3，5，7，11，13，17，19，由M疑（UP）=3，5可知，3沂M，5沂M，且3埸P，5埸P.由（UM）疑P=7，19可知，7沂P，19沂P，且7埸M，19埸M.又由（UM）疑（UP）=2，17可知，2埸M，17埸M，2埸P，17埸P.根据这样的关系，画出如图2所示的Venn图，易知11，13在这两个集合的交集内，故集合M=3，5，11

9、，13，集合P=7，11，13，19.三、借助函数图象对于点集的问题，通常将其转化为平面直角坐标系上图形的问题来加以研究，直观形象，简捷明了援例3设哉越（x，y）|x沂R，y沂R，粤越（x，y）y-3x-2=1嗓瑟，月越（x，y）|y越x垣1，求（UA）疑月援分析：本题给出的两个集合比较特殊，都是点集，因此利用前面的数轴和Venn图都无法解决，此时，考虑平面直角坐标系，在坐标系中考虑点之间的关系.解：粤越（x，y）|y越x垣1，曾屹2，它表示直线y越x垣1上去掉点（圆，猿）的全体点，则UA代表点（圆，猿）及直线y越x垣1外的所有点，而集合月表示直线y越x垣1上的全体点的集合，如图3，易得（UA

10、）疑月越（圆，猿）援通过以上学习，你是否有种豁然开朗的感觉？相信你对此种解法已胸有成竹，但理论需要实践的检验，希望你能够把握这种数形结合的思想，在运用中一展风采援概念解读一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.如果集合A哿B，但存在元素x沂B，且x埸A，我们称集合A是集合B的真子集.题组展示1援写出集合a，b的所有子集，并指出哪些是它的真子集；2援写出集合a，b，c的所有子集，并指出哪些是它的非空真子集；3援写出集合a，b，c，d的所有子集.规范解答1援集合a，b的所有子集为，a，b，a，b，其中，真子集为，

11、a，b.2.集合a，b，c的所有子集为，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c，非空真子集为a，b，c，a，b，a，c，b，c.3.集合a，b，c，d的所有子集为，a，b，c，d，a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d，a，b，c，a，b，d，a，c，d，b，c，d，a，b，c，d.观察探究从题1我们看到集合a，b中含有2个元素，其子集个数是4；从题2看到集合a，b，c中含有3个元素，其子集个数是8；从题3看到集合a，b，c，d中含有4个元素，其子集个数是16.那么，如果一个集合含有n个元素，它的子集，真子集，非空子集和非空真子集的个数又分别是多少呢？通过上述集合中的元素个数与

12、对应子集个数的关系，我们不难发现：22=4，23=8，24=16，于是，若一个集合含有n个元素，则其子集的个数是2n.提升总结若集合M=a1，a2，an，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n-1，非空子集的个数为2n-1，非空真子集的个数为2n-2.综合应用例1已知A=1，2，3，B=4，a，若A疑B=3，则A胰B的真子集的个数是（）A援8B援15C援16D援31解：因为A疑B=3，所以a=3.所以A胰B=1，2，3，4.故A胰B的真子集的个数是15.故选B.【点评】本题容易产生的错误是对于并集概念掌握不清，认为并集是两个集合元素的简单相加，忽视了两个集合中有相同元素3，错误地认为含有5个

13、元素.例2已知集合A=1，2，3，4，满足集合B=A疑B的集合B的个数为m，满足1，2芴C哿1，2，3，4的集合C的个数为n，则m+n=.解：由B=A疑B，可得B哿A.因为集合A含有4个元素，所以满足条件的集合B有24=16（个），即m=16.又由1，2芴C哿1，2，3，4，可知集合C为1，2，3，1，2，4，1，2，3，4，n=3.所以m+n=19.【点评】解决本题的关键是对B=A疑B和1，2芴C哿1，2，3，4进行合理的转化，即集合B是A的子集，集合C是至少包含3个元素且其中两个元素为1，2的集合A的子集，根据结论，易得出所求结果.成功体验已知集合A=0，1，B=x|x哿A，则集合B的子集

14、个数是（）A援2B援4C援8D援16【答案】依题意，易知集合A=0，1的子集有，0，1，0，1，因此B=，0，1，0，1.所以集合B的子集有24=16（个）.故选D.S数学思想湖南肖迎春F非常讲解江西刘兴荣-1O23（2，3）xy图37，192，173，51113PMU图2我们平时上体育课时，经常听到老师喊“集合”，可见，对于“集合”这个词我们并不陌生.那么，到底什么是集合？我们高中所要研究的集合又有什么意义呢？其实，“集合”的思想最早是由德国数学家康托提出来的，他当时是这样定义的：把若干确定的，有区别的（不论是具体的，或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合

15、的元素直到今天，集合已经渗透到数学的各个领域，在数学的发展中起着非常重要的作用.因此，高中数学体系也是以集合为基础建立起来的.学好高中数学，从集合打基础，下面举例剖析.一、集合中的符号1.元素与集合之间的关系用“沂”或“埸”表示，元素在前，集合在后.强调“沂”或“埸”只能用于元素与集合之间表示元素和集合的从属关系，除此之外，“沂”或“埸”没有其他用途；2.集合与集合之间的关系用“哿（芴）”，“勐（芡）”或“=”表示，注意符号开口方向相反时，两个集合顺序也随之倒换.例1下列命题中真命题的个数是（）淤0沂；于3姨哿Q；盂3姨埸Q；榆N=Z.A.1B.2C.3D.4解：是不含有任何元素的集合，因此淤错误；又根据上述符号，于应为3姨埸Q，因此于错误、盂正确；榆应为N哿Z，因此榆错误.即真命题只有盂.故选A.思考1：用恰当的符号填空：仔；5姨R；3x|x=n2+1，n沂N；-2x|x2-4=0.二、集合中的性质集合中元素必须满足确定性，互异性和无序性（即“一定二异三无序”）.如：淤“我们班所有学习好的同学”就不能组成一个集合，因为“学习好”没有一个固定的标准，即不满足集合元素的确定性；于张强和李红两位同学组成的集合可以写成张强，李红或李红，张强，但是不能写成张强，张强，李红或张强，李红，

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