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1、东恩中学 莫蓉丹 给你一张白纸，你能通过 折叠，将左下方的直角准 确地三等分吗？ B C A D E F 小小的翻折，带来大大的几何道理。 在一张长方形ABCD纸片 中，AD25cm, AB 20cm 点E，F分别为CD ，AB的中点，现将这张 纸片按图示方式折叠， 求EG的长。 20 10 20 练习： 将矩形ABCD纸对纸对 折,设设折痕为为EF,再把B点折 到折痕线线EF上（见图见图 点B）,若 则则 EB=_. B A B G D C E F A B C D F E 透过现象看本质: 折 叠 轴 对 称 实质 轴对称性质： A D E F 1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角
2、相等. 2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分. 由折叠可得： 1.AFEADE 2.AE是DF的中垂 线 图形的翻折是图形的运动形式之一 一 认识翻折问题 二 解决翻折问题 今天我们要来共同探讨在矩形中 的“依点翻折”和“依线翻折”。由特殊 图形矩形，来感受翻折这一图形变 换。 例1：有一个数学活动，其具体操作过程是： 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕 EF，把纸片展开（如图1）； 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过 点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2） 请请解答以下问题问题 ： （1）如图图2，若延长长MN交BC于P，BMP
3、是什么三角形？请证请证 明你的结论结论 （2）在图2中，若ABa，BCb，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片 ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？ 图1图2 请请解答以下问题问题 ：（1）如图图2，若延长长MN交BC于P，BMP是什么三角形 ？请证请证 明你的结论结论 图1图2 P （1）解：BMP是等边三角形 理由如下：由折叠知 :AB BN , ABM NBM ,BNM A 90 EF垂直平分AB NEB= 90 , ABN 60 PBN 30 又ABM NBM 30，BNM A 90 BPN 60,MBP MBN PBN 60 MBP BMP BPM 60 BMP为等边三
4、角形 （2）在图2中，若ABa，BCb，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片 ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？ 图1 图2 p a b A/ H 2 （3）设矩形ABCD的边AB2，BC4， 并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线 BM/为y=kx，当M/BC60时，求k的值 .此时，将ABM沿BM折叠，点A是否落 在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为 什么？ 练习： 如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F 处，已知AB=8cm, BC=10cm ,求EC的长 分析： 法一：设设EC=x,则则EF=DE=8-x . 在RtABF中，AF=AD=10， AB=8
5、，BF=6，FC=4 由勾股可知：FC2+EC2=EF2 解得EC=3(cm) A B C D F E 8 10 10 64 法二：RtABFRtFCE 解得EC=3(cm) 3 例2：（2007年台州市）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系 中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边 OA的点D处已知折痕 ， 且 (1)判断OCD与ADE是否相似？请说明理由； (2)求直线CE与x轴交点P的坐标； P 6X 8X 4X 3X 10X 5X 5X P(16，0) 例3. 直线线 分别与x轴、y轴交于B、A两点. 把AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C
6、处，再把 BOC以直线BC为轴翻折得BCE，求点E的坐标. 解：A(0，1),B( ,0) OA1， OB ， OBA30. ABC和ABO关于AB成轴对称， BCBO ，CBA=OBA30. CBO60. 过点E作EFx轴于F，如图，则在RtEBF中， E F 练一练 ：1. 2. C 例4 . (08湖州)已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3分别以OB,OA所在 直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是边BC上的一个动 点（不与B,C重合），过F点的反比例函数 的图象与AC边交于 点E请探索：是否存在这样的点F，使得将CEF沿EF对折后，C点恰好 落在OB上？若存在，求出点
7、F的坐标；若不存在，请说明理由 （ ,3） (4, ) 3 M 易证EMCCBF 例5: （07湖北荆门荆门 ）如图图1，在平面直角坐标标系中，有一张张矩形纸纸片OABC， 已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边边上的动动点(与点O、A不重合)现现 将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边边上选选取适当的点E，将POE沿PE 翻折，得到PFE，并使直线线PD、PF重合 (1)设设P(x，0)，E(0，y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值值； 图1 x y 4-x 3 y= 解：(1)由已知PB平分APD，PE平分 OPF，且PD、PF重合， 则BPE=90OPE+
8、APB=90 又APBABP=90， OPE=PBA RtPOERtBPA (0x4) 即 (2)如图图2，若翻折后点D落在BC边边上，求过过点P、B、E的抛 物线线的函数关系式； 图2 (2)解：由已知，PAB、POE均为等腰直角 三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3) 则 y= 图形翻折实际上是轴对称变换， 变换前后的对应线段相等、对应角相等。 常常与角平分线、中线、线段中垂线、等 腰三角形的高相联系。解决翻折的动态几 何问题关键是结合直角三角形或全等三角 形或相似三角形的有关知识，全面寻找图 形运动过程中的不变量。 1.在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为6，两边OA
9、、OC分别落在坐 标轴上，点E在射线BC上，且BE=2CE，将ABE沿直线AE翻转，点B落在 点B1处。 （1）请在图中作出点B1及翻转后图形. x 0C B A y （2）对于图1，若E在BC上，求点B1的坐标。 两种情况 E 0C B A y B1 x y 0C B A E B1 图1 图2 6 4 a6-a 4 6 FM ABCD 2.（08山东东营）：将一正方形纸片按下列顺序折 叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三 角形将纸片展开，得到的图形是（ ） C 3.将正方形纸纸片两次对对折，并剪出一个菱形小 洞后展开铺铺平，得到的图图形是（ ）C 4.如图,有一矩形纸片ABCD,AB
10、=10,AD=6,将纸片折 叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将AED以 DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CEF的 面积为（ ） E D C BAD C BA F EDC BA A4 B6 C8D10 C 图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究 之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况 的讨论中可以得到以下几点经验： 1图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不 变，是全等形； 2 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕 成轴对称； 3解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关 系，从而 进一步发现其中的数量关系； 4充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关 系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时 常用的方法之一。 谢谢大家！
