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1、1、假定在国际市场上每年对我国某种 出口商品的需求量是随机变量 （单位吨）， 它服从2 000，4 000的均匀分布。设售出 这种商品1吨，可为国家挣得外汇3万元，但假 如销售不出而屯积于仓库，则每吨需保养费1 万元。问题是要确定应组织多少货源，才能使 国家的收益最大。 解 若以y为组织某年出口的此种商品量 （显然可以只考虑 的情况），则收 益（单位万元）为 因为 的概率密度为 于是收益的期望值为 此式当 是达到最大，因此组织3500吨 此种商品为最好的策略。 2、最佳预订票策略 一、 问题的提出 在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更 多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票 业务。公司承诺，
2、预先订购机票的乘客如果未 能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票， 无需附加任何费用。当然也可以订票时只订座 ，登机时才付款，这两种办法对于下面的讨论 是等价的。 设某种型号的飞机容量为n，若公司限制预 定n张机票，那么由于总会有一些订了机票的 乘客不按时来登机，致使飞机因不满员飞行而 利润降低，甚至亏本，如果不限制订票数量呢 那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容 量时，必然会引起那些不能登机飞走的乘客 （以下称被挤掉者）的抱怨,公司不管以什么 方式予以补救，也会导致受损和一定的经济 损失，如客员减少，挤掉以后班机乘客，公 司无偿供应食宿，付给一定的赔偿金等。这 样，综合考虑公司经济利益，必
3、然存在一个 恰当订票数量和限额。 假设飞机容量为300，乘客准时到达机场 而未乘上飞机赔偿费是机票价格的10%，飞 行费用与飞机容量、机票价格成正比（由统 计资料知，比例系数为0.6，乘客不按时前来 登机的概率为0.03），请你: 1）建立一个数学模型，给出衡量公司经 济利益和社会声誉的指标，对上述预定票 业务确定最佳的预定票数量。 2）考虑不同客源的不同需要，如商人喜 欢上述这种无约束的预定票业务，他们宁 愿接受较高的票价，而按时上下班的雇员 或游客，会愿意以若不能按时前来登机则 机票失效为代价，换取较低额的票价。公 司为降低风险，可以把后者作为基本客源 。根据这种实际情况，制定更好的预订票
4、 策略。 二、模型的假设及符号说明 （1）模型的假设 假设预订票的乘客是否按时前来登机是随机 的。 假设已预订票的乘客不能前来登机的乘客数 是一个随机变量。 假设飞机的飞行费用与乘客的多少无关。 （2）符号说明 n：飞机的座位数，即飞机的容量； g：机票的价格； f：飞行的费用； b：乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费 ； m：售出的机票数； k：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数， 即迟到的乘客数，它是一个随机变量； pk：已预订票的m个乘客中有k个乘客不能按 时前来登机的概率； p：每位乘客迟到的概率； Pj（m）：已预订票前来登机的乘客中至少挤 掉j人的概率，即社会声誉指标； S：公司
5、的利润； ES：公司的平均利润。 三、 问题的分析及数学模型 （1）问题的分析 通过上面引进的符号易知，赔偿费b=0.1g ，飞行费用f=0.6ng，每位乘客迟到的概率 p=0.03，已预订票的m个乘客中，恰有k个 乘客不能按时前来登机，即迟到的乘客数k 服从二项分布B（m，p），此时， 当m-kn时，说明m-k个乘客全部登机，此 时利润 S =（m - k）g - f 当m-kn时，说明有n个乘客登机，有m-k-n个 乘客没有登上飞机，即被挤掉了，此时利润 S = ng f - (m k - n) b 根据以上的分析，利润S可表示为： 迟到的乘客数k=0,1,2,m-n-1时，说明有m-k-
6、n 个乘客被挤掉；(因为迟到的乘客数不算在剂掉 者人数中） 迟到的乘客数k=m-n，m-n+1，m时，说明 已来的m-k个乘客全部登机了。 于是平均利润 因为 所以 由于 kB（m，p）， ， 随机变量k的数学期望E（k）=mp，此时， （2）数学模型 通过以上对问题的分析，可以在一定的社会 声誉指标Pj（m）范围内，寻求合适的m，根 据f=0.6Ng的关系，使得目标函数ES/f达到最 大，即 （1 ） 下面考虑社会声誉指标。 由于m=n+k+j，所以k=m-n-j，即当被挤掉的 乘客数为j时，等价的说法是恰有m-n-j个迟 到的乘客。 公司希望被挤掉的乘客人数不要太多，被挤 掉的概率不要太大
7、，可用至少挤掉j人的概率 作为声誉指标，相应地k的取值范围为 k=0,1,2,m-n-j，社会声誉指标 （2） 3.4.4 模型求解 为了对模型（1）进行求解，可以分别给 定m，比如m=305,306,350，计算ES/f，同 时，给定j，比如取j=5，计算社会声誉指标Pj （m），从中选取使ES/f最大，且社会声誉指 标Pj（m）小于等于某个（比如取=0.05）的 最佳订票数m。 下面给出MATLAB计算程序。 % 飞机最佳订票策略ch34 % 文件名：ch34.m % m 表示售出的票数；Es 表示平均利润；p表 示声誉指标； for m=305:325 sm=0; p=0; for k=
8、0:m-305 pp=(prod(m-k+1:m)/prod(1:k)*0.03k*0.97(m- k); p=p+pp; sm=sm+(m-k-300)*pp/prod(1:k); end Es=(1/180)*0.97*m-1.1*sm-1; m Es p end 执行后可输出以下结果： m ES p 305 0.6436 9.2338e-005 306 0.6490 9.3723e-004 307 0.6543 0.0048 308 309 310 311 312 313 314 315 0.6596 0.6649 0.6703 0.6756 0.6810 0.6864 0.6917 0
9、.6971 0.0167 0.0442 0.0952 0.1742 0.2796 0.4028 0.5314 0.6525 316 0.7024 0.7566 317 0.7078 0.8388 318 0.7132 0.8990 319 0.7185 0.9399 320 0.7239 0.9661 321 0.7293 0.9818 322 0.7347 0.9907 323 0.7400 0.9954 324 0.7454 0.9979 325 0.7508 0.9990 从计算结果易见，当m=309时，社会声誉 指标 ，当 m=310时，社会声誉指 标 ，所以为了使 ES/f尽量大，且要满足社会声誉指标 ，则最佳订票数可取m=309。 3.4.5 问题的进一步讨论 对于问题中的第二个问题，可将乘客分为两 类，一类如商人可采用较高的票价，另一类 乘客，比如上下班的雇员或游客，可设m张预 订票中有张折扣票，折扣票价为g(1）但 若不按时前来登机，责任自负，然后做出合 理的简化假设，可建立类似的模型，计算并 分析结果，注意这里多了两个参数和。
