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1、楚雄师范学院本科论文（设计） 编号：楚 雄 师 范 学 院本 科 生 毕 业 论 文 题 目 与积分上限函数相关的几类问题研究 专 业 数学与应用数学 年级、班级 2007级2班 学 号 20071021219 学 生 姓名 王娟 指导教师： 邓燕林 职称： 讲师 教 务 处 印 制目录摘要关键词AbstractKey Words1引言12积分上限函数的初等性质12.1积分上限函数的奇偶性12.2积分上限函数的周期性32.3积分上限函数的单调性、极值、凸性和拐点43积分上限函数的分析性质63.1积分上限函数的连续性73.2积分上限函数的极限83.3积分上限函数的导数93.4积分上限函数的积分1
2、2参考文献14致谢1515与积分上限函数相关的几类问题研究 摘要：本文通过对积分上限函数的初等性质与分析性质的讨论，以及不同性质在相应题型中的应用，进而得到积分上限函数的特殊性和解决一些问题的方法与技巧. 关键词：积分上限函数；初等性质；分析性质 Several research about integration with variable intervalAbstract ：The text discusses the elementary properties and analysic properities of integration with variable interval,a
3、nd they applicates in corresponding example,then some methods and skills about specificity and solving problems of integration with variable interval are obtained. KeyWords：integration with variable interval；elementary properties；analysis properties与积分上限函数相关的几类问题研究1 引言积分上限函数揭示了定积分与不定积分的内在联系，通过引入积分上限
4、函数，解决了原函数的存在性，并由此得到牛顿-莱布尼茨公式，解决了定积分的计算问题，从而为定积分的应用开辟了广阔前景，继而使原本各自独立的微分学和积分学成为一门影响深远的微积分学.设函数在区间上连续，是上的一点，则由所定义的函数称为积分上限函数.关于的可导性，我们有：定理 若函数在区间上连续，则积分上限函数 ，,在上可导，且, .微分(或导数)与定积分是两个毫不相干的定义，上述定理能够把它们联系在一起，因此称其为微积分基本定理.从上定理我们还可以知道，若函数在区间上连续，则在上存在原函数，并且就是的原函数.利用定理1得到著名的牛顿-莱布尼茨公式，利用这个公式可以很方便的计算定积分.关于积分上限函
5、数的连续性、可导性、周期性等问题，往往出现在大量考研题型中，下面我们就针对积分上限函数的初等性质和分析性质进行初步研究.2 积分上限函数的初等性质 积分上限函数是一类特殊的函数，因此与一般函数具有的奇偶性相比，它的奇偶性也具有特殊意义.2.1积分上限函数的奇偶性 定理 若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数. 证明 （1）因为为奇函数，所以，则.即为偶函数. （2）因为为偶函数，所以，则.即为奇函数. 例1 设函数在内为奇函数，且可导，则奇函数是（ ）. A. B. C. D. 分析 （1）因为为奇函数，所以是偶函数，从而是偶函数，故排除. （2）为偶函数，为奇函数，为奇函数. （3）
6、为奇函数，故是偶函数，故排除. （4）是奇函数，故是偶函数，故排除.综上知：应选B答案.通过这个例子我们可以看出奇函数的一切原函数皆为偶函数；而偶函数的原函数中不一定都为奇函数.例如：既是奇函数又是偶函数，而它的原函数为偶函数.上面所讨论的积分上限函数都是被积函数比较普通的，下面我们来看被积函数中含有自变量的积分上限函数的奇偶性. 例2 设为上的连续函数，且，试证：若为偶函数，则亦为偶函数；若为奇函数，则为奇函数. 证明 （1）因为为偶函数，所以， 则有：即亦为偶函数. （2）因为，所以有： 故为奇函数.这个例子指出，一般情况下，积分上限函数的奇偶性依赖于被积函数的奇偶性，但积分上限函数与一般
7、函数经混合运算后所得函数，它的奇偶性比较复杂，需要具体问题具体分析.2.2积分上限函数的周期性积分上限函数的周期性与一般函数的周期性也有所不同，它是否为周期函数还依赖于被积函数的奇偶性.此外，我们还可以利用周期函数的定积分性质证明积分上限函数的周期性.引理 设连续函数是一个以T为周期的周期函数，则对任意的常数a，有. 定理 设是内连续的奇函数，且是以2T为周期的周期函数，则也是以2T为周期的周期函数. 证明 因为，所以由引理1与奇函数的定积分性质得： 令，则.即是以2T为周期的周期函数.在这里我们要注意，如果周期函数不是奇函数，那么不一定是周期函数，例如：是偶函数，而却不是周期函数. 例 设是
8、内连续的以2T为周期的周期函数，则一般能表示成线性函数与以2T为周期的周期函数之和. 证明 对任意k有:，其中是线性函数，故只需证明当k取某一值时为以2T为周期的周期函数.由于则有:.在一般情况下，取便得: .故命题成立. 例4 设，证明：为正常数. 证明 因为是以为周期的函数，故由引理1知：.又因为 . 所以. 从而为正常数.2.3积分上限函数的单调性、极值、凸性和拐点在研究积分上限函数的单调性极值、凸性、拐点时往往利用函数的导数知识，而在求解过程中我们需要做到概念清楚明了，方法与公式正确无误，计算准确，结论明确.关于函数的单调性，我们看以下结论： 定理 设在区间I上可导，则在I上递增（减）
9、的充要条件是: .即要判断积分上限函数的单调性，只要判断一阶导数在相应区间内的正负，当一阶导数大于等于0时，单调递增，当一阶导数小于等于0时，单调递减.关于函数的凸性，我们看以下结论：定理 设为区间I上的二阶可导函数，则在I上为凸(凹)函数的充要条件是：. 即由二阶导数在相应区间内的正负，可以判断积分上限函数的凸性，当二阶导数大于等于0时，为凸函数，当二阶导数小于等于0时，为凹函数.例5 设为上的连续函数，,且，试证：若单调递减，则单调递增. 证明 .而由积分中值定理知： 使.因为在上单调递减，所以，则.故单调递增. 通过例5，我们可以看出，有时在判断积分上限函数的单调性时，不是仅仅利用它的导
10、数就可以，其中还有一些像积分中值定理之类的定理的应用. 例6 设为连续的正值函数，证明：当时，函数单调递增.证明 .因为为连续的正值函数 ， 所以.故，即单调递增. 例7 求函数在的最大值与最小值. 解 因为在上连续且可积，所以在上可导，且由，.知在上为递增函数，即的最小值为，最大值. 例 设且是连续的偶函数，又函数，试讨论 下类问题： （1）导数的单调性； （2）当x为何值时，取得最小值； （3）若函数的最小值作为a的函数，它等于，求函数； （4）函数的凸性. 解 （1）因为，所以.于是.而.故在区间内是单调增函数.（2）由得：的唯一驻点,由（1）知：，故当时，函数取最小值. （3）由（2）
11、知在上的最小值为：.又因为.所以有.所以.故.（4） 由（1）知，即在内单调递增，所以在内凸.3积分上限函数的分析性质积分上限函数除了初等性质外，还有独特的分析性质，如连续性、可微性、可积性，这些性质广泛应用于考研题型中.根据分析性质，相应地结合闭区间上连续函数性质，微分与积分中值定理等有关知识，一般可以使有关问题获得解决，下面我们具体来讨论一下.3.1积分上限函数的连续性定理 若在上可积，则在上连续. 证明 任意，当有增量，且时,有.因为可积，所以在上有界.即，使，于是.当时，即在点连续.由的任意性知：在上连续. 推论1 若在上连续，则也在上连续.注 若在上可积，则在上连续，但不一定可导.例
12、如，在上是可积的，但在处是不可导的. 例9 设函数具有连续的导数，且有，记函数,试确定常数k，使连续.解 因为可导，所以连续，于是当时必连续.要使连续，只要使 在连续即可.利用洛必达法则及的连续性知：.故取时，连续且.3.2积分上限函数的极限 定理 若在上连续，则对于任意的，有 . 证明 在上连续，由推论1，也在上连续，则对任意，有.类似的当收敛时有：.即当时的极限等于在区间上的广义积分.与一般函数的极限一样，积分上限函数也有特殊情形，即型或型，在遇到这两种情况的时候我们往往利用下面的求法求.（1） 一般方法是用洛必达法则；（2） 用积分中值定理；（3） 用等价无穷小代换.下面是一些特殊的等价代换，在求极限的时候能够很好的利用：当时有， ； 当时，若，则有, , (在内可导). 例10 设函数在内有连续的导数，求. 分析 先用积分中值定理，再用洛必达法则.解 由积分中值定理，在0与2之间，存在使：.于是 .(注：因时，有，且连续). 例11 求下列极限（1） . （2） . （1）分析 通过观察所求极限可以用等价无穷小代换法. 解 由于当 时， , .故. （2）分析 观察知此题是“”型，故可用洛必达法则. 解 .3.3积分上限函数的导数引理 设函数在点的某邻域内有定义且有界，对充分小的，与分别表示在上的上确界与下确界，且与存在(分别记为M、m)，则在点连续的充要条件
