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1、 第 1 2期 2 0 0 9年 1 2月 中小学教 学研 究 T e a c h in g R e s e a r c h f o r Pr i ma 吖 a n d Mid d lo Sc h o o ls 巧思妙构突破难点 例谈高中数学概念教学中的难点突破 宋明新 ( 辽宁省基础教育教研培训中心 ， 辽宁沈阳 1 1 0 0 3 2 ) 教 学 难 点 是指 学 生 在学 习 中感 到 困难 的地 方 ， 一 般表 现 于 超 出学 生 已有 发展 水平 的教 学 月标 和要 求 。 在数学 教 学 中如何 突破 难点 是 摆在 每个 数学 教 师面 前 的重要 课题 。如果不 能突 破
2、这些 难点 ， 会 直接 影响 学生 掌握数 学 知识 ， 造 成教学 上难 以弥补 的损失 。要突 破教 学 难 点 ， 应 该 先 了解 难 点 形 成 的 原 因 ， 这 样 才 能 对 症 下 药 ， 化 难 为 易 。 从 学 生 的 角 度 分 析 。首 先 ， 在 学 习过 程 中 新 知 识 的 输入 、 同化 和操 作取 决 于 原有 的认知 结 构 ， 即原 有 的认 知结 构对 新知 识 的学 习具 有制 约作 用 。如果 学 生 原有 的认 知结 构不 完善 ， 对 新知识 的学 习缺 乏必 要 的基 础 ， 就会 使新 知识 难 以纳 入到 原有 的认 知结 构 之
3、中 ，形 成 教学 的难 点 。其次 ， 高 中学生抽 象思维 水平 尚处 于起步 阶段 ， 而数学 知识 的本 质 往往 被形式 化 的表 达所 掩 盖 ， 学生 的抽 象概 括 能力 未达 到一 定程 度 ，就 很难 从 表象 中认 识 到 数 学 的 本 质 。 从教 师 的角度分 析 。首先 ， 由于教 育理论 水平 的 限 制 ，一些 教 师意识 不 到数 学概 念 的抽 象 给学生 带 来哪 些认 知上 的 困惑 ， 在教 学 中照本 宣科 、 盲 同灌 输 成 分较 多 ， 分 析 引 导 、 激 发 思 考 成 分 较 少 ， 从 而 影 响 了 学 生 抽 象 思 维 能 力
4、 的 发 展 。 其 次 ， 由 于 专 业 水 平 的 限 制 ， 一 些 教 师 对 教 材 理 解 不 深 不 透 ， 处 理 不 当 ， 甚 至 出 现 偏 差 ， 造 成学生 接受 知识 的困难 。 从数 学 教材 内 容的呈 现方 式 分析 。 为 了体 现 系统 性 、 完整性 及 简 约性 等特 点 ， 数 学 教材 一般 按 照演 绎方 式展 开 ，往往 掩 盖 了知识 的来 龙 去脉及 原 始 的思 考过 程 ， 从而使 学 习内容显 得突 兀和抽 象 。现行课 标教 材 的 编 排 尽 可 能 解 决 这 一 问 题 ，但 对 一 些 具 有 高 度 抽 象 性 和概括
5、性 的数学概 念 ， 学生 的学 习仍 存在 困难 。 因 此 ， 在 吃 透 教 材 、 深 入 研 究 学 生 思 维 水 平 的 基 础 上 ，采 用 适 的 教 学 策 略 ，把 抽 象 的 数 学 概 念 加 以 处 理 ， 充 分 暴 露 概 念 的 形 成 过 程 ， 让 学 生 经 历提 炼 和 完 善 定义 的抽 象归纳 过程 。在 突破教 学难 点的 同时 ， 培养学 生 的 抽 象 思 维 能 力 ， 是 数 学 教 师 用 好 课 标 教 材 的 必 南 之路 。笔者在优 秀教 学设计 案 例中摘 录两则 ， 和 大家共 同商榷 “ 用好 ” 教材 、 巧思 妙构 、
6、突破 教学难 点之 “ 道 ” 。 案例 1 巧设 疑 问 ， 布 设 台阶 ， 有 效剖 析 难点 知 识 的元素 。( 人教 B版课 标教 材选修 2 3 “ 条件概 率 ” 教学 设 计摘 录 ) 导语 ： 生活 中存 在 着很 多优 美而 又奇 特 的数 学 ， 而 数 学里 同样 也蕴含 荇很 多生活 中 的哲 理和 启示 。今 天 ， 让 我们 一 同进入 数学殿 堂 ， 体 会身边 的数 学 。 巧设 疑 问 ， 布设 台阶 【 实例 l 】 3张奖券 中只有 l 张 能 中奖 ，现分 别 由 3 名 同 学 无 放 回 地 抽 取 ，最 后 一 名 同 学 抽 到 中 奖 奖
7、券 的 概 率是 多少 ?若 第一 个 同学没有 抽到 中奖奖 券 ， 则 最后 学 科 教 学 一 名 同学 抽到 中奖 奖券 的概率 是多少 ? 为让 学 生充 分感 受 条件 概率 的特 征 ，教者 以学 生 熟悉 的生 活背景 为载 体编 拟实例 1 ，通 过浅 的例 子 ， 反 映生 活 中 的条 件概 率 ， 与后 面 实例 2 ( 教科 书 中 的引 例 ) 形 成 由浅 入 深 ， 层 层 递 进 的探 究 情 境 的创 设 。 【 实例 2】 抛 掷 红 、 蓝两 颗 骰 子 的实 验 。记 事件 A： “ 蓝 骰 子 的 点 数 为 3或 6 ” ， 事 件 B =“两 颗
8、 骰 子 点 数 之 和 大 于 8 ” ， 当 蓝 骰 子 的 点 数 为 3或 6时 ， 两 颗 骰 子 点 数 之 和大 于 8的概率 是多少 ? 学 生将 抛掷 红 蓝两 颗骰 子 的所 有结 果 用数 对 一一 枚 举 ， 在 教 师 引 导下 适 排 列 ， 借 助 图示 的直 观性 ， 探 求 基本事 件 空间下 事件 A、 B发 生的概 率 。 ( 剖 析难 点知 识 的 元 素 ) 问 题 1 ：在 小 组 范 围 讨 论 事 件 B 在“ 事 件 A 发 生 ”这个 附加 条件 下 的概率 与 没有 这个 附加条 件 的概 率之 间的 区别 和联 系 。 学 生 通 过 相
9、 互 交 流 ， 得 出 “ 事 件 A 发 生 的 条 件 下 事 件 B发生 的概率 等价 于局限在 事件 A发 生 的范 同内考 虑 事件 A和事 件 B同时发 生 的概 率 ” 这 一 结论 ， 从而将 条 件概 率 问题 与古 典概 型 的概 率 问题 相 联 系 ，为 用古 典 概 型 的 概 率 公 式 推 导 条 件 概 率 的计 算 公 式 设 下 伏 笔 。在 剖 析 条 件 概 率 内 涵 的 基 础 ， 师 生 共 同 归 纳 条 什 概 率 定 义 。 以上过 程 ， 学生 在研 究 实例 l的基 石 l l ； 上 ， 进 一 步认 识条 件概 率 所涉 及 的知识
10、 元 素 P( A) 、 P( AnB) 、 P( B l A) 的 意 义 ， 亲 历 概 念 发 生 过 程 。 归 纳 定 义 ： 对 于 任 何 两 个 事 件 A 和 B， 在 知 事 件 A发 生 的条件 下 ， 事件 B发 生 的概率 叫 做条 件概 率 ， 用 符 号 ” P( B I A) “ 来 表 示 。 【 练习 】 判 断下 列概 率问题 是 否为条件 概率 。( 略 ) 判 断 事 件 的 类 型 对 选 择 概 牢 公 式 起 着 决 定 性 作 用 ， 在 引 入 定 义 后 让 学 生 完 成 一 组 判 断 练 习 ， 对 巩 同 概 念 的珊 解 十分必
11、要 。 问题 2 ： 条 件概率 和我 们学 过 的古典 概 型有怎 样 的 区 别 与 联 系 ?请 就 实 例 2的 研 究 过 程 给 出 条 什 概 率 算 方 法 ( l , 组 讨 论 ) 教 者提 出进 一 步 的合作 探 究任 务 ，引导学 生 深入 研 究条 件 概率 的结 构特 征 。学 生在 得 出 条件概 率 汁算 公 式 P ( B l A) ：旦 的 同时 ，义 总结 出 ： 条 件 概 上 ， A 牢 相 当于 随机试 验 及 随机 试验 的 基本事 件 空 日 J 发 生 了 变化 ，事 件 A发 生的条 件下事 件 B发 生的 概率 l 以看 成 在 事 件
12、A 发 生 情 形 下 的 基 本 事 件 构 成 基 本 事 件 空 b 】 时 。 事 件 B发 生 的 概 率 ” ， 从 而 得 到 求 条 什 概 率 的 另 一 种 方 法 缩 减 基 本 事 件 空 间法 。 学 生通 过 对 条 件概 率 的结 构 特 征 的 深 入探 索 ， 进 7 第 1 2期 2 0 0 9年 1 2月 中小学教 学研 究 Te a c h in g Re s e a r c h f o r Pr i ma r y a n d Mid d le Sc h o ols 一 步 完 善 了对概 念 的那 解 ，使新 知识 水 到 渠成 地 纳 入 原 有 认
13、 知 结 构 。 案 例 2 类 比 迁 移 ， 分 散 难 点 ， 巧 妙 揭 示 形 式 化 表 述 下 的知 识 内涵 ( 人 教 B版课 标 教材 选修 2 1 曲线 与 方 程 的概 念 ” 教 学 设 计 摘 录 ) 新 课 导入 问题 1 、 圆是 如何定 义 的?说 出 圆的标 准 方 程 。 学 生 回 顾 相 关 知 识 ，教 师 分 析 的 定 义 所 反 映 “ 形 ” 与“ 数 ”的两 个 方 而 ， 在 引导 学 生研 究 概 念 内涵 与 外 延 的 同 时 ， 为 导 入 曲线 方 程 的 概 念 做 好 铺 垫 。 J y 、 7 x 方秸 x ： + y =
14、 1 类 比迁 移问 题 2、 试 将 以 卜讨论 扪 象 到 一 般 情 形 。 线 ： 满 足 某 种 条 件 的 动 点 的轨 迹 ； 方 程 ： “X ， Y ) - - o 。 教 者 选 择 学 生 最 为熟 悉 的 曲线 圆 作 为 特 例 ， 从 数 J 形 角 度 的分析 ， 引发 曲线 与方 程概 念 的思考 。合 理 利用 学生 已有数 学 知识 及 学 习经 验 ，准 确 把握 新 知 识 的 生 长 点 。 分散 难 点 ， 南 特殊 到一 般 ， 逐 步 抽 象 概 括 定 义问 题 3、 求 直 角 坐标 系下 一 三 象 限 的角 平分 线 方 程 ， 下 列
15、方 法 是 否 正 确 ? 方法 1 ：设 一 i象 限 的角平 分线 上 的点 为 P( x ， Y ) ， 根据 角平 分线 的性 质得 ： =1 ， 凶此一 三 象 限角平 分线 的 方 程 为 ： 上一 ： 1 。 X 方 法 2 ： 设 一象 限 的 角 分 线 的 点 为 P ( X ， Y ) ， 根 据 角 平 分 线 的 性 质 得 ： l y l = l x l ， 因 此 一 三 象 限 角 平 分 线 的 力 程 为 ： l y l = l x l 。 方法 3： 设 一 三象 限 的角 分 线 上 的点 为 P( x ， Y ) ， 根 据角 平 分线 的性 质 得
16、： l y l = lx l c ： y = x ，因此一 三象 限角平 分 线 的 方 程 为 ： y = x y 0 x 图 1 y 0 x 8 图 3 l x+y：() 图 2 浅 显 的 问题 中 ， 蕴 含 着 深 刻 的思 辨 性 ， 反 映 出 设 计 的科 学 、 合 理 。 通 过 对 上 述 三 种 方 法 的研 究 ， 学 生 亲 历 了 曲线 与 方 程 概 念 的 发 生 过 程 ， 感 悟 了 曲线 的完备 性 学 科 教 学 与纯 粹性 之本 质 。接 下 来 ， 教 者 义通 过下 而 的 分析 ， 采 用 严谨 的数学 表 述 ， 规 范学 生 的表 达 ， 让 学 生 的数 学表 达 水 平 上 升 到 新 的 层 面 。 问题 分 析 ： 集 合 A=f P l P为 曲线 一 t - 任 一 点 l ， 集 合 B： ( x
