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1、0 技法 点 拨 平面向量基本定理 白 I) 教学难点 析 杨 西广 一 、问题 的提 出 向量是近代数学的产物，具有极强的形式推理 和运算功能以及广泛的应用性， 已成为沟通几何、 代 数与三角函数的有力桥梁 ，这也是向量知识被纳入 高中数学课程的重要原因。而“ 平面向量基本定理” ( 以下称“ 定理” ) 是平面向量中的核心内容， 学生对 该定理的理解关系到对整个平面向量内容的把握 。 然而在实际教学过程中， “ 定理”的教学效果还存在 一 些难尽人意的地方，甚至一定程度上构成了学生 学习的障碍。 1 “ 定理 ” 的 教 学 难 点 ( 1 ) 形式之难 在现行人教A版普通高中课程标准实验
2、课本 数学4( 必修 ) ( 以下简 称为“ 课本” ) 的第二章第 三节2 3 1 ， “ 定理” 是这样 表述的：如果e 2 是同一 平面内的两个不共线 向 量， 那么对于这一平面内 的任意向量o ，有且只有u 一 对实数A 1 、 A 2 ， 使0 = A l e l + 图 1 C A 2 e ： 。 我们把不共线的向量e 、 e 2 叫做表示这一平面内 所有 向量 的一组基底。 这个表述形式充分显示了数学的严谨性和逻辑 性，但也正是这种高度抽象和形式化的数学语言使 学生难以从本质上理解定理的内容，从而造成学习 障碍。 ( 2 ) 接受之难 “ 定理” 被安排在本章的第三节 ， 紧接“
3、 背景概 念” 和“ 线性运算” 之后。 这时候的学生刚刚接触向量 这个新事物， 见到过、 思考过的向量的形象、 事实、 题 目还非常之少， 这个时候来学习这个抽象的定理 ， 期 望他们一下子就把握定理本质很难说是一个现实的 想法 。 ( 3 ) 发现之难 “ 课本 ” 中“ 定理 ” 被 “ 发现 ” 方式是这 样的 ： 可以发现 ，平面内任一向量都可以由这个平面内两 个不共线的向量e 、 e 2 表示出来。 当e 、 e 2 确定后 ， 任意 一 个向量都可以由这两个向量量化，带来了极 大方便。这里把学生发现此规律、总结结论乃至验 证、 证明之似乎都当成了水到渠成的事情。 然而， 这一切是
4、否真的就是自然而然的呢? 我们 来看本节“ 思考” 中的问题 ： “ 给定平面内任意两个向 量 请你作向量3 e + 2 e 、 e 一 2 e ： 。 平面内的任一向 量是否都可以用形如的向量表示呢? ” 这个问题没头 没脑地从天而降， 从听课的情况看， 学生只能是被动 接受 ， 亦步亦趋跟着老师“ 走走” 而已。 要知道学生刚 刚学完“ 共线向量基本定理” ， 对“ b = A a ” 的形式还不 是十分熟悉 ，见到诸i lJ 3 e + 2 e ： 和e 广 2 e 2 J 式的向量， 还要努力思考它们的意义 ，纠结于如何将它们做出 来， 怎么可能就一下子飞跃到“ 任一向量” 呢? 这个
5、属 于发现之难 。 4 应用之难 课本安排的例题和习题 ， 涉及“ 定理” 应用的内 容非常之少， 除了说明向量坐标表示以外， 只有一个 例题 ( 本章2 5 1 例2 )和两个习题 ( 习题2 3 B 组3 ， 4 题) 。 学习之前的毫无征兆、 学完之后的束之高阁、 学 习过程的蜻蜓点水，也是造成此定理教学效果不佳 的成 因之一 。 2 主动 建构 才是 建 构 学生应当识记和在记忆中保持 的抽象真理越 难 ，越是需要像使用钥匙一样用它来解释各种事实 和现象， 这条真理概括的事实的范围越广 ， 那么， 要 识记和在记忆中保持这条真理，就在更大的程度上 取决于学生究竟独立地分析和思考过多少事
6、实。只 有在这样的条件下，即学生在思考事实的过程中揭 示和理解了抽象真理的实质，在他思考事实的时候 在内 tL , 使用这条抽象真理去理解这些事实，但并没 有提出要记住这条真理本身的目的时，这条抽象真 理才能被很好地识记和保持在记忆里。 获取知识这就意味着发现真理、 解答疑问。 你要尽量使你的学生看到、 感觉到、 触摸到他们不懂 的东西，使他们面前出现疑问。如果你能做到这一 点， 事情就成功了一半。 找出因果联系正好在那里挂 钩的、 初看起来不易觉察的那些交接点， 因为正是在 这些地方会出现疑问，而疑问则能够激发求知的愿 望。 李尚志老师说： “ 不是抽象的错，也不是学生的 错， 而是教学方式
7、的错。” 张景中老师说： “ 改造数学 ，使之更适宜于教学 和学习。” 基于上述基本原则，笔者对此节教学内容做了 三处变更的处理方式。 第一，在引入过程笔者重温并加工了本章2 2 3 例6 ， 使之能够体现更大量的“ 事实” ， 以期能够找到 新旧知识连接点。 第二，把本节内容放到了章末 ，作为2 5 2( 原 2 5 2 向量在物理中的应用提前N2 5 1 ) 与原2 5 1 例2 放在一起， 并回顾前面课程中讲过练过的题 目， 试图 从“ 定理” 的角度重新来审视它们 ， 反思思辨解法的 科学性， 以期“ 像使用钥匙一样用它来解释各种事实 和现象 ” 。 第三 ， 笔者考虑了“ 定理” 的
8、多维表征 ， 虽然并非 一 定要讲给学生，但期望示范多角度理解，影响学 生。 语言表征 ： 如果 e 同一平内的两个不共 技法点拨 线向量 ， 那么对于这一平面内的任意向量。 ， 有且只 有一对实数A 、 A ： 。我们把不共线的向量e 2 日 U 做表 示这一平面所有 向量的一组基底。 图形( 操作) 表征： 给定两边所在直线和对角 线， 求作平行四边形( 图1 ) 。 情景表征： 力、 位移的分解。 方 程 表 征 ：若 A 1 e 1 + A 2 e 2 = A + A 2 e 2 ， 则 f Al = A l IA 2= A 2 。 函数( 映射) 表征： a = A ( A 。 ，
9、A ： ) 。 二 、 三个 问题 的辨析 1 坐标运算的依据 “ 课本” 中“ 定理” 被安排在坐标运算之前， 从逻 辑上确认了向量坐标的存在性和唯一性，使得坐标 运算的合理性得到完美的保证；然而实际教学过程 中， 造成本章( 平面向量 ) 认知困难的正是这一“ 定 理” ， “ 定理” 的抽象性事实上形成了坐标运算学习的 障碍。 为什么不可以绕过“ 定理” ， 直接学习坐标运算 呢? 无论是教学中还是数学发展史上，未证而用的 篇章也非个例。 例如指( 对) 数函数、 三角函数的单调 性， 又如随机事件概率的概念、 回归直线的最小二乘 法， 再如微积分、 无理数、 集合论的发展史等。 尤其是
10、 “ 罗素悖论” 的问世动摇了集合论的根基， 但是并没 有影响到集合论的大发展和广泛的应用。更应该注 意到的是，罗素悖论的出现是在集合论的大发展之 后的事情， 没有应用便没有机会完善( 证明) 。 G 波利亚说： “ 数学被看作是一门论证学科， 然 而这仅仅是它的一个方面，以最后确定的形式出现 的定型的数学 ， 好像是仅含证明的纯论证性的材料 ， 然而，数学的创造过程是与任何其他知识的创造过 程一样的。” 应用而后完善成文，似乎更符合新事物的认知 规律 。 教学中， 笔者从点的坐标出发， 确认了向量坐标 的存在性和唯一性 ， 从学生的反应来看， 并没有很多 的质疑( 其实， 出现质疑倒是值得庆
11、幸的) ， 反而因为 绕过了这个“ 山头” ， 使坐标运算的教学 目标更加容 易实现。 2 “ 定理 ” 的 呈现 方 式 笔者参考了王晋艳老师的 “ 平面向量基本定 理” 的教学设计与反思 、 金克勤老师的 “ 平面向量 基本定理” 的教学设计 、 王海青老师 平面向量基本 定理的教学重点及其建议 ，结合平时听课 的情况 看， 大部分老师的教学设计都按这种方式引入： 背景 引入一给定基底求作3 e l + 2 e 2 和e 一 2 e 厂 探究向量 是否能用e 和e ： 表示一让学生概括“ 定理” 。 这里让学生概括的要求非常突兀，既没有合理 的过渡， 又超越了学生认知水平 ， 学生被叫起来
12、回答 问题时茫然不知所云，往往只是读读课本上面的黑 体字了事( 听课情况) 。 王海青老师认为 ： 由于“ 定理” 内容高度的抽象 性和严谨的逻辑性，教学重点应放在对定理地位作 用的认识和定理内容的理解上，在学生体会到该定 囝 理的重要性的基础上直接给出定理。 笔者赞成直接给出“ 定理” ， 但对于能不能实现 “ 在学生体会到该定理的重要性” 这一前提则有 待确认。 在笔者看来， 只有在学习完了该定理并多层 次展现其应用的基础上 ， 所谓“ 重要性” 才有可能浮 出水面 。 据此， 笔者把重点放在了探究“ 定理” 的三层含 义( 占课堂时间的一半) ， 解释完定理含义之后 ， 直接 板书给出文
13、字表述。 3 关 于课 堂探 究 新课标以来， 安排学生“ 课堂探究” 成了每位数 学老师的“ 必修课” 。 笔者参考的教学设计( 主要是听 课课例) 中也都有大量的学生动手内容： ( 1 ) 给定基底e 和 求作向量A e + A a e ： ( 改变的 值) ； ( 2 ) 给定向量。 ， 变换不同的基底， 分解向量。 。 此类活动的时间之长，有的甚至占到了课堂时 1 间的 还多， 结果导致( 听课情况 ) 课堂气氛沉闷， 3 师生交流涩滞不畅。笔者分析原因有二： 第一， “ 操作” 解决的是“ 如何分解” ， 而“ 定理” 讲 的是“ 可以分解” ， 这两个问题虽然有联系然而毕竟 不是同
14、一个问题 ， 目的和手段存在了错位 ， 并且大多 学生都能意识到这一层，他们一定会怀疑这样的操 作究竟有什么意义。 第二， 即便是冠以“ 任一向量” 的名头， 也难释其 惑。如果课堂上不能提供丰富的、 概括性的、 思辨性 的材料， 而是停留在具体操作验证的水平之上的话， 我们就没有真正体现教师的引导责任，学生的不买 账也就在情理之中了。 苏霍姆林斯基认为： “ 在这里，不一定要把学生 一 个接一个地喊起来回答问题 ， 听他们说些什么， 然 后从他们的零散的回答里凑成一个总的答案” 因此我常常用这样的做法 ，一旦引起学生的疑问之 后， 我就 自己来讲解课本， 而不喊学生起来回答一些 个别的、 零
15、碎的小问题。 由此可见， 知识科学、 逻辑清楚、 符合认知规律 、 重要转折符合多数学生的心理预期的课堂，才是真 正体现了“ 学生为主体， 教师为主导” 的探究性课堂。 参考文献 ： 1 王海青 “ 平面向量基本定理” 的教学重点及其 建议 J 数学通报， 2 0 1 3 7 2 陈雪梅 中学向量课程与教学的研究 _ 华东 师范大学学报 ， 2 0 0 7 3 刘绍学主编 普通高中课程标准实验教科书 数学( 必修4 ) M 人民教育出版社， 2 0 1 0 4 苏霍姆林斯基 给教师的建议 M 教学科学出 版社 ， 1 9 8 0 5 李尚志线性代数 M 高等教育出版社， 2 0 1 3 6 张景中走进教育数学( 丛书) 总序 M 科学出 版社， 2 0 1 4 7 陈立军 基于多元表征的“ 基本不等式” 的教学 设计 J 武汉： 中学数学高中版， 2 0 1 4 1 2 ( 作者单位 ： 河南省安 阳市教育教研信 息中心)
