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1、第2章 线性系统的数学模型 内 容 提 要 实际存在的自动控制系统可以是电气的 、机械的、热力的、化工的，甚至是生物学 的、经济学的等等，然而描述这些系统的数 学模型却可以是相同。本章介绍了系统的各 类数学模型如微分方程，传递函数，方框图 ，信号流图的求取以及它们之间的相互关系 。最后介绍用MATLAB求取系统的数学模型。 第2章 线性系统的数学模型 知 识 要 点 线性系统的数学模型，拉普拉斯变换， 传递函数的定义，非线性特性的线性化处理 ，方框图的简化，梅逊公式的含义和应用。 第2章 线性系统的数学模型 描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量 之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。常
2、 用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、 脉冲传递函数和状态空间表达式等。建立合理的数 学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。系统 数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。 第2章 线性系统的数学模型 目 录 v2.1 线性系统的微分方程 v2.2 微分方程的线性化 v2.3 传递函数 v2.4 方框图 v2.5 信号流图 v2.6 在MATLAB中数学模型的表示 v小 结 第2章 线性系统的数学模型 2.1 线性系统的微分方程 （1）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节 ，确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节 可考虑列写一个方程； （2）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、化
3、 学定律)或通过实验等方法得出的基本规律，列写 各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性化 ； （3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后 得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程； （4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将 输入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排 列，最后将系统归化为具有一定物理意义的形式 ，成为标准化微分方程。 第2章 线性系统的数学模型 例2-1 试列写图中所示RC无源网络的微分方程。输 入为ui(t)，输出为u0(t) 。 解 根据基尔霍夫定理，可列出以下式子 ： 第2章 线性系统的数学模型 整理得： 令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 则得 该网
4、络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。 第2章 线性系统的数学模型 例2-2 图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统 时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之间 的微分方程。 第2章 线性系统的数学模型 解 弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F1(t)和粘性 摩擦阻力F2(t)，根据牛顿第二定律有 ： 其中F1(t)和F2(t)可由弹簧、阻尼器特性写出 式中 k 弹簧系数 f 阻尼系数 第2章 线性系统的数学模型 整理且标准化 令 称为时间常数 ； 称为阻尼比； 称为放大系数 。 得 第2章 线性系统的数学模型 例2-3 电枢控制的它激直流电动机如图所示，电枢 输入电压u0(t)
5、，电动机输出转角为。Ra、La、ia(t)分 别为电枢电路的电阻、电感和电流，if为恒定激磁 电流，eb为反电势，f为电动机轴上的粘性摩擦系数 ，G为电枢质量，D为电枢直径，ML为负载力矩。 第2章 线性系统的数学模型 解 电枢回路电压平衡方程为 ce为电动机的反电势系数 力矩平衡方程为 式中 为电动机电枢的转动惯量 为电动机的力矩系数 第2章 线性系统的数学模型 整理得 无量纲放大系数 电机转速电磁时间常数 机电时间常数 时间常数 电机传递系数 第2章 线性系统的数学模型 无量纲放大系数。 时间常数 电机传递系数 第2章 线性系统的数学模型 例2-4 热水电加热系统，如图所示，为减小周围 空
6、气的热损耗，槽壁是绝热的，控温元件是电动 控温开关。 第2章 线性系统的数学模型 根据能量守恒定律 其中 Qh 加热器供给的热量； QC 贮槽内水吸收的热量； Q0 热水流出槽所带走的热量: Qi 冷水进入槽带入的热量: Ql 隔热壁逸散的热量: C贮槽水的热容量；V流出槽水的流量；H 水 的比热；R热阻；Ti进入槽水的温度；T槽内水 的温度；Te槽周围空气温度。 第2章 线性系统的数学模型 整理得 一般情况下，描述线性定常系统输入与输 出关系的微分方程为 : 或 返回 第2章 线性系统的数学模型 2.2 微分方程的线性化 实际的物理系统往往有间隙、死区、饱 和等各类非线性现象。严格地讲，几乎
7、所有实 际物理和化学系统都是非线性的。目前，线性 系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理 论还远不完善。因此，在工程允许范围内，尽 量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线 性理论进行分析不失为一种有效的方法。 第2章 线性系统的数学模型 当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接 将系统当作线性系统处理。另外，如果系统的变量 只发生微小的偏移，则可通过切线法进行线性化， 以求得其增量方程式。 第2章 线性系统的数学模型 非线性函数的线性化，是指将非线性函数在工 作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及 余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线 性函数。 第2章 线性系统的数学模型 假
8、如元件的输出与 输入之间关系x2=f(x1)的 曲线如图，元件的工作 点为(x10，x20)。将非线 性函数x2= f(x1)在工作点 (x10，x20)附近展开成泰 勒级数 第2章 线性系统的数学模型 当(x1x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项， 写成 其中 为工作点(x10，x20)处的斜率， 即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工 作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间 就成为线性关系。 第2章 线性系统的数学模型 图2-8为一铁芯线圈，输入为ui(t)，输出为i(t)。 线圈的微分方程为 第2章 线性系统的数学模型 当工作过程中线圈的电压和电流只在工作点（ u0,i0
9、）附近变化时，即有 线圈中的磁通 对 也有增量变化，假如在i0 附近连续可微，将在i0 附近展开成泰勒级数，即 因是微小增量，将高阶无穷小量略去，得近似式 第2章 线性系统的数学模型 这就是铁芯线圈的增量化方程，为简便起见 ，常略去增量符号而写成 返回 第2章 线性系统的数学模型 2.3 传递函数 2.2.1 传递函数 在零初始条件下，线性定常系统输出量的 拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比， 定义为线性定常系统的传递函数。 即， 第2章 线性系统的数学模型 若已知线性定常系统的微分方程为 式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 。 设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对式 (2
10、-47)取拉氏变换，得 第2章 线性系统的数学模型 则系统的传递函数为 或写为 传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。 第2章 线性系统的数学模型 2.2.2 传递函数的特点 1.作为一种数学模型，传递函数只适用于线性 定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变 换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。 2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定 常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系 统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有 关，而与输入量或输入函数的形式无关。 第2章 线性系统的数学模型 3.传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的， 视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量 与
11、输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特 性和物理结构。许多物理性质不同的系统，有着相 同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相 同的微分方程描述一样。 4.传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关 系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数 阵表示。 第2章 线性系统的数学模型 5.传递函数式(2-49)可表示成 式中p1，p2pn为分 母多项式的根，称为传 递函数的极点；z1、z2 、 zn为分子多项式的 根，称为传递函数的零 点； 第2章 线性系统的数学模型 6.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为 而D(s)=0称为特征方程。传递函数分母多项式的 阶次总是大于或等
12、于分子多项式的阶次，即nm 。这是由于实际系统的惯性所造成的。 第2章 线性系统的数学模型 2.2.3 典型环节的传递函数 控制系统由许多元件组合而成，这些元件 的物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开 具体结构和物理特点，从传递函数的数学模型 来看，可以划分成几种典型环节，常用的典型 环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分 环节、振荡环节、延迟环节等。 第2章 线性系统的数学模型 1. 比例环节 环节输出量与输入量成正比，不失真也无 时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环 节。输入量与输出量之间的表达式为 c(t)=Kr(t) 比例环节的传递函数为 式中K为常数，称为比例环节的放大系数或
13、增益 。 第2章 线性系统的数学模型 2. 惯性环节(非周期环节) 惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程 其传递函数为 式中 T 惯性环节的时间常数 K 惯性环节的增益或放大系数 第2章 线性系统的数学模型 当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为 单位阶跃响应曲线 第2章 线性系统的数学模型 惯性环节实例很多，如 图所示的R-L网络，输入 为电压u，输出为电感电 流i，其传递函数 式中 第2章 线性系统的数学模型 2. 积分环节 输出量正比于输入量的积分的环节称为积分 环节，其动态特性方程 其传递函数 式中Ti为积分时间常数。 第2章 线性系统的数学模型 积分环节的单位阶跃响应为 它随时间直
14、线增长，当输入突然消失，积分停止， 输出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所 示。 第2章 线性系统的数学模型 上图为运算放大器构成的积分环节，输入ui(t)，输 出u0(t)，其传递函数为 式中Ti = RC 第2章 线性系统的数学模型 4. 微分环节 理想微分环节的特征输出量正比于输入量的 微分，其动态方程 其传递函数 式中Td称微分时间常数 它的单位阶跃响应曲线 第2章 线性系统的数学模型 如图所示，理想微分 环节实际上难以实现 ，因此我们常采用带 有惯性的微分环节， 其传递函数 其单位阶跃响应为 第2章 线性系统的数学模型 曲线如下图所示，实际微分环节的阶跃响 应是按指数规律下降，
15、若K值很大而Td值很小时 ，实际微分环节就愈接近于理想微分环节。 第2章 线性系统的数学模型 5. 二阶振荡环节(二阶惯性环节) 二阶振荡环节的动态方程为 其传递函数 式中 为无阻尼自然振荡角频率，为阻尼比， 在后面时域分析中将详细讨论。 第2章 线性系统的数学模型 图中所示为RLC网络，输 入为ui(t)、输出u0(t)，其动 态特性方程 其传递函数 式中 第2章 线性系统的数学模型 6. 延迟环节(时滞环节) 延迟环节是输入信号加入 后，输出信号要延迟一段 时间后才重现输入信号， 其动态方程为 其传递函数是一个超越函数 式中称延迟时间 第2章 线性系统的数学模型 需要指出，在实际生产中，有
16、很多场合是 存在迟延的，比如皮带或管道输送过程、管道 反应和管道混合过程，多个设备串联以及测量 装置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化 ，甚至使系统失去稳定。 返回 第2章 线性系统的数学模型 2.4 方框图 在控制工程中，为了便于对系统进行 分析和设计，常将各元件在系统中的功能 及各部分之间的联系用图形来表示，即方 框图和信号流图。 第2章 线性系统的数学模型 2.4.1方框图 方框图也称方块图或结构图，具有形象和 直观的特点。系统方框图是系统中各元件功能 和信号流向的图解，它清楚地表明了系统中各 个环节间的相互关系。构成方框图的基本符号 有四种，即信号线、比较点、传递环节的方框 和引出点。 第2章 线性系统的数学模型 第2章 线性系统的数学模型 2.4.2系统方框图的构成 对于一个系统在清楚系统工作原理及信号传 递情况下，可按方框图的基本连接形式，把各个 环节的方框图，连接成系统方
