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1、J I 、 教 数学教学中合情推理策略的使用 挑战与机遇 游 迪 在 小学教学 ( 数 学版 ) 2 0 1 7年第 5期 “ 讨 论 吧” 的话题中 ， 来 自郑州市金水 区实验小学的宋 君 老师提供了一个教学案例( 如图 1 ) 。 我的想法错在哪里? 在学习嘲惟体积的计算时 张老艏弓 I 幕学生 根据嘲柱的体积猜想莽癌肆离的儒傩体积。 域 时 一个学生蚺起拳谎 ： 我们知道 一个l长赣彤 牲它的一舞遗A嚣为袖麓转 一周就褐弼一个霸 柱。 如采将遗个长方形瓣对角绒剪开 再将搏捌 的兰角形以 嚣逮螽逾为轴麓l糟一 l罨，就得捌一 个哪椎 因为这个三角形韵箍霸等于遣个长方形 的 喜， 所 得
2、刊 的 鲫 柱 和 四 锥 鳟 底 箨 褥 所 以 ， 藏 猜 想 嘲 椎 体 积 是萼 底 棹商 的 脚 柱体 积的 。 A i o,4 F o A c 在蝓证环节 这个攀生难看剖 了硼傩律 l枧悬 等底辱蕊的嘲桂体积髀。 但他还l曩 强髓惑 我 的想法鳓底镣在哪里 昵? 图 1 这个来 自教 学一线 的案例非常好 ， 它呈现 了 教学活动 中学 生真实的思维过程 和思维 冲突 ， 有 利于改进学生学 习、 提高教师的研究能力 。 本文将 结合这个案例对数 学课堂教学 中合情推理策略 的 使 用做一些讨论 ， 希望能够达到以下三个 目标 ： 其一 ， 从案例的数学分 析 、 认 知分析 和教
3、学分 析三个层 面对 教学案例进行分 析 ， 为教师分 析课 堂教学案例提供一个可借鉴的框架。 其二， 通过该案例中有关合情推理的讨论 ， 和大 家一起探讨合情推理在教学中的应用。 一方面， 合情 推理是人类常见的一种思维方式 ， 也是教学过程 中 常用的手段 ； 另一方面， 合情推理并 非总是有效 的。 那么 ，在教学中如何抓住其 中有利的方面为教师所 用 ， 同时避免其可能带来的负面影响呢? 值得深思。 其三 ， 通过这样的分析 ， 希望教师能够从一名 教 学研 究者 的视角 思考教学过程 ， 让更 多 的教 师 加 入教学研究 中 ， 成为探究型教师 。 同时 ， 希望 高 校 的数学教
4、育研究 者能结合课堂教学 的需要 。 给 一 线教师提供实质性 的教学改进方 面的指导。 l l l 一 个好 的改进课堂教 学的研究 ， 至少要做好 三 方面 的工作 ： 一是数学分析 ， 二是认知分析 三 是 教学分 析 。 数学分 析是 指从 数学 的层 面来看 ， 学生的思维达到何种层次才说 明其 已经理解和掌 握 了某个概念 ， 理 解和掌握 了某个 概念究竟指 的 是 什么 。 教师 只有具 有很 多数 学方 面的修 养 才 能 透彻剖析小学数 学某个方面 的内容 才能做好 数 学分析 。 认 知分 析是指分析学生 在学习某个 数 学概念时 ， 其认 知困难是什么 ， 可能带来的认
5、知障 碍是什么 ， 以及 为什 么会有这样 的困难或障碍。 教 学分析则是在对所教 的概念做数学分析和认知分 析的基础上设计 教学 ， 想方设法 帮助学生 克服认 知上 的困难 ， 使学生 从数学层 面上 理解此 概 念 。 本 研 究 将从 这 三 个方 面 具 体分 析 上述 案 例 ， 跟 大家分享在课堂教学研究过程中的一些思考。 数学教育者的专业化水平影 响着数学教育的 质量 。 _2 jI 这种专业化不仅体 现在教师对教 学理论 的理解 、 教学方法的运用上 。 更重要 的是体现在教 师对数学知识 的掌握程度上 。 数学教学 的 目的是 帮助学生从数学的角度 思考问题 ， 因此 ，
6、教师首先 需要对数学教学 中的数学有深刻的认识数学 在数学教育 中永远居 于首位。 在本 案例 中， 课 堂教学 的 目标 是要求 学生理 解等底等高 的圆柱与 圆锥体 积之间 的关系 。 学生 采用合情推 理的办法 ， 通过 长方形和三角形 面积 的二 维关 系 ， 推 出 圆柱 和 圆锥体 积 的三维关 系 。 学生认 为长 方形 A BC D和 三角形 AB C的面积之 间是 2 ： 1的关 系 ( 见图 1 ) ， 那么它们分别 绕 AB轴 旋转 而成 的几何体 的体积之 间也应该 是2 ： 1的关 1 1 一 系， 即S ZxA B C S D c = s 口 A 脚j = 。 (
7、“ u” 2 表示长方形 ， 下 同) 然而 ， 运用合情 推理所得 到的结果并 非总是 正 确 的 。 义务 教育 数 学课 程标 准 ( 2 0 1 1年版 ) ( 以下简称 课标 ( 2 0 1 1 ) ) 指出 ： “ 推理一般包括合 情 推理和演绎推理 。 合情推理是从 已有 的事实 出 发 凭借经验 和直觉 ， 通过归纳和类 比等推断某些 结果 。 ” 4 1 可 以看出 “ 经验和直觉” 在合情 推理中占 据重要地位。 在教学 中 ， 由于学生所掌握的数学 知 识有限 ， 教师 常常会使用合情推理 的数 学思维 方 式 “ 形象 ” 地帮助学生进 行“ 数学猜想 ” ， 帮助学生
8、 理 解新 问题和获 取新知识 。 5 1 但是 同样受 限于经 验 。 学生常常凭 经验 和直觉做合情推理 获得一些 类似 以上结论 的错误认识。 从数学 的角度分析 ， 这一 案例背后 更一般 的 结 论 可 以 用 祖 咂 原 理 ( 又 称 卡 瓦 列 利 原 理 ) 来 解 释 ， 即“ 具有相同高度且在所有等高处的水平截 面 的面积均相等的几何体有相 同的体积” 。 更形象地 讲 ， 就好 比 ： 两个 身高一样但体 型不 同的人 。 如果 进行横截面的扫描 时所得到 的每一个横截面面积 都相 同( 形 状可 以不 同 ， 如 图 2 ) ， 那 么这 两个 人 就具 有 相 同的
9、体积 。 悯在本案 例 中 则表现为圆柱和圆锥不 仅需要在 最 中间 的纵 向切 面上保证 面积 的 比例关 系 为 2 ： 1 ，还需要保证 每一个 纵 向切 面 上均有 2 ： 1的 比 例 关 系 ， 才 可 以 推 出 它们 0 0 0 图 2 的体 积之 间也 具有 2 ： l的关系 。 显 然 ， 在其 他 面 上 。 等底等高 的圆柱 和圆锥之间并没有 保持这一 关系 。 学 生在 推理 过程 中 ， 仅 注意 到了 圆柱和 圆 锥其 中一个纵 向切 面 的面积具有 2 ： 1的关 系 ， 而 没有看 到体积是 “ 所有这些 面的叠加” ， 所 以 ， 不能 简单地从二维 的面积
10、关系推出三维的体积关系 。 更进 一步 祖 咂原理 中 “ 每个 面 面积对 应相 等 ” 的思想实际上是微积分思想的一种特殊形式 ， 即从二维的面积关系通过微积分的方式 推导出三 维的体积关系 。 为了更 好地帮助教师理 解 圆柱 与 圆锥关系背后 的数学 知识 ， 下面通过微积 分的方 式对上述关系进行推导。 如 图 3。 假设左侧 的圆柱 高为 H， 底 面半径为 R： 右侧的圆锥底面半径 B C = R， 高AB = H。 在积分过 程 中 ， 圆锥从 点 A 开 始 向点 B进行 积 分 ， 当积 分进 行 到 点 F时 ， 令 该横 截 面( 以 F为半 径 的 圆 ) 的 半 径
11、为未知数 r ， 高A h 。 可以看到 ， 圆锥的体积是点 A到点 B每一个 小的截 面 S ( ) = 叮 T r 2 的积分 ， 而通 过 相似 三 角形 AE F与 AC B的 底 边 E F和 C B的 比 例可以计算 出r = = ， 最终通过积分公式求得 圆锥 月 1 的 体积 是 订 R ， 而左侧 的 圆柱 的体 积 为 1 T 尺W。 高 C D 图 3 f H f H r 橱 J 。 d S J 。 S ( h ) d h J 。 盯 r 2 ( h ) d h ： f H ,a( R h )2d = t 2 ： =扣 。 对 于案例中所描述 的学 生的 困惑 ， 教 师
12、和研 究者们都希 望找到学生产生 困惑 的原 因。 如果在 我们 的课堂上 出现 这种情况 ， 最好 能让学 生说 出 自己的想法 ， 以便认识学生 的思维过程 ， 并结合对 小学生思维 特点的深入分析 找到学生产 生困惑 的根 源 。 本案 例中 ， 学生 的整个 思维过程可描 述为如 下 4步 ： ( 如图 4 ) 3 s 口 c = 5 。 c = 1 S 口 A 图 4 整个 过程中 ， 学生是 通过合情推理进 行分析 1 0 7 ! ! ： 鲎壑 匿 ： ， 善 。 素 J ， 学放 的 ： ( 如图 5 ) 丽 【 ， f 。 _ _J 图 5 学生进行 合情推 理集 中表现在 以
13、前 3步为基 础( 其 中第 3步是借助具体长方形和三角形“ 等底 等高” 条件得 到面积关系 的) ， 在第 4步推 出圆锥 与圆柱体积的关系。 学 生理解 “ 形 ” 的变化 可能 基 于以下 两个 条 件 ： ( 1 ) 旋转轴是 平面图形 的同一条边 AB； ( 2 ) 边 B是长方形 AB C D、 三角形 A BC中的同一条 边 。 学生很难认识到这两个条件在 “ 旋转 ” 之下是如何 影响立体 图形的体积的。 同时 ， 学生难 以认识到一 个隐蔽 的现象 ： 长方形 生成圆柱 、 三角形生成 圆锥 的过程中 ， AADC是围绕 AB边旋转 ， 所得 的旋转 图形 既不 是圆锥也不
14、是 圆柱 。 若上面 的认 知困难 无法突破 学生的思维便会 由“ 平 面图形面积关系 1 S A A B C = s = S 口 蚴” 经不正确的合情推理得到 Z 1 “ 立体图形体积关系 = V 目 ” 。 Z 正如前文所述 ， 合情推理 是思维发展 的一种 常见形式 ， 但要注意 ： 合情推理的结果有些 是正确 的 有些是错误 的。 本案例 中， 正是错误 的合情推 理导致整个结论 出错 。 我们 不仅要 知 道小 学生 数学 思维 的一 般特 点 还要具体 注意到小学生对 图形 的认 识主要体 现 在两个方面 ： 一是 图形的形状 ， 即“ 形” 的方 面 ； 二是 图形 的大小 ，
15、如长度 、 面积 、 体积等 ， 即“ 量” 的 方 面 。 小学生从平 面图形观念发展 到立体 图形 观 念存在多方 面困难 ： 如果平 面图形 的“ 形 ” 和“ 量” 与学生所见到的图形是一致 的 ， 他们容易辨认 ； 对 于在二维平 面上 描述的立体 图形 。 小学生难 以进 行直观空 间想象 ， 认识 起来便 比较 困难 ， 主要原因 是具体操作常常可以帮助学生理解“ 形 ” 变化 的实 质 却难 以帮助学生认识到“ 量” 变化 的实质 。 因此 我们认为 ， 上述案例 中学生犯错 的原 因 可能是 ： 学生没有意识 到一 些重要 的前提 和隐蔽 现象在 “ 旋转” 时对立体 图形体积 的影 响 ， 而直接 运用合情推理 “ 二维平面上面积相等的两个 图形 ， 绕同一条轴旋转 ， 所得几何体 的体 积相等 ” 。 因此 ， 1 O 8 教与学的矛盾聚焦在教师如何在鼓励 学生做合情 推理 的同时 ， 发展识别合情推理 中的错误的能力 针对 本案例 ， 下 面两 个图示问题有助 于学生理解 ( 如 图 6 ) ： 平面上 的“ 相等 量” 在旋 转后 生成不 等 量 。 从 图 6中左边 的示例可 以看出 ，
