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1、转变教学方式，提高教学质量 开展数学实验教学的若干思考 江苏省中小学教研室 董林伟 2014年4月23日 丹阳 数学给人的印象是什么？ 数字、字母、公式、定理、计算、证明 就像是如花似玉的妙龄少女置于X光下看到的骷髅一样，让人 生畏、惧怕 奥数“毒瘤”？ 一、我们在思考 抽象的数学应源于生活 以分数为例 如分数1/4. 可以看做“分西瓜”； 可以看做“浓度”； 可以看做“工程进度”； 我们可以借助于“糖水实验”来看分数及其性质： 如果在一杯“糖水”中在加入一点“糖”，糖水“变甜了”； 如果在一杯“糖水”中在加入一点“水”，糖水“变淡了”； 初中数学中“等比定理”的教学 将糖放进一个大玻璃杯，添
2、上水得出一大杯糖水，然后随意分倒在3个小杯 中，记每一杯糖水的浓度为a1/b1，a2/b2，a3/b3，这里ai，bi，ci（i=1 ，2，3）为正数。） 问题1：三小杯糖水的浓度有什么关系？ 结论：a1/b1=a2/b2=a3/b3。 问题2：把这3小杯糖水全部倒进一个空的大玻璃杯中，那么混合后的糖水 浓度与原先3小杯糖水的浓度有什么关系？ 结论：混合后的糖水浓度为 （a1a2a3）/（b1b2b3） 它与原先的3小杯糖水浓度相等，故有等式 a1/b1=a2/b2=a3/b3=（a1a2a3）/（b1b2b3） 这就是等比定理。 把大杯倒成小杯又合成大杯，好像是重复或循环，其实这里有数学道理
3、。 从“糖水情境”到“等比定理”，这中间有一个从具体事实到 形式化抽象的数学过程，前者是“具体的模型”，后者是“ 抽象的模式”，两者之间有质的区别。 把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗？ 不是！ 但舍去了糖、水、浓度等的具体性质，抽象出本质属性 的数量关系等比定理，这就成为数学了。 上个世纪八十年代，我们曾经在数学课堂中 做过数学“实验”，只不过那时不叫“实验”， 称为“数学游戏” 1985年工作初期，南师附中 著名特级教师马明老师上课 时做的“数学游戏”： 归纳法从口袋里摸乒乓球猜颜色； 数学归纳法多米诺骨牌游戏 多边形内（外）角和人体转圈游戏 张景中院士Z+Z智能教育平 台 张景中，
4、男，著名数学家、数学科普作家，中国科学 院院士。曾任中国科普作家协会理事长，现任广州大学计 算机教育软件研究所所长。张院士主要从事机器证明、教 育数学、距离几何及动力系统等领域的研究。 主持开发的软件Z+Z智能教育平台是一套适合于中 学数学、物理教师进行课件制作、课堂演示以及课题研究 的工具平台，也是一套适合于学生开展动手实践、自主探 索、合作交流的学科实验室。 2000年获发明展览 会金奖。 上个世纪九十年代开始，不断感受 着国外的“数学实验” 1995年在日本参加数 学教研活动 成立于1971年的日本西三数学 教师研究会在上个世纪八十、九十年 代的系列研究课题： 眼睛能看到的数学； 利用手
5、能学的数学； 手工制作的教具教材； 乐学易懂的数学； 曾经的尝试关于圆锥曲线概念教学 观察：从右 图中你看到了什 么图形？ 按左图进行 操作 对不同学生得到这类图形上的点P进行交流，发现共同结 论：OP+ O/P=定值。由此可以引导学生给椭圆下定义：平面上 到两个定点的距离和为定值的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 叫做椭圆的焦点。 类似的，可以得到双曲线的定义。 观察、思考与分析 引导学生自己下定义 拓展： 将两个同心圆系改为一个同心圆系与一个直线 系（如图），你有什么发现？ 在进行图形观察与分析时，学 生会发现曲线上的点到圆心O的距离 与它到某一条直线的距离的差为定 值。 (这是一个重要的发现
6、：抛物线 更为一般意义的定义！) 上个世纪末美国 发行畅销书快 乐数学 仅2000年一年全 美销量就达到175 万册 当前英国学校的数 学教室环境 计算机实验探究 教室 小组合作 制作探究 教室 教师的办公 兼教学场所 进入21世纪，我国新的一轮课程改 革开始关注“数学实验” 以学生发展为本改变过于强调接受学习、 死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参 与、乐于研究、勤于动手。 基础教育课程改革指导纲要 学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的 ，富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动 地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流 等数学活动. 义务教育数学课程标准（实验稿 ） 义务教育数学课程
7、标准2011版 “双基”走向“四基”提出基本数学思想、数学基本活动经验； “两能”发展为“四能”提出培养学生发现问题、提出问题的能力； 数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生 积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各 种数学活动过程的结果。 数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学 学习活动过程中逐步积累的。 数学课程资源是指应用于教与学活动中的各种资源。其中之一是“ 环境与工具”如日常生活环境中的数学信息，用于操作的学具或教 具，数学实验室等； 有条件的学校应建立数学实验室 2001年启动编写的苏科版初中数学教材 开始尝试将“数学实
8、验”写进教材 （1）每章的章头活动依据学生已经具备的数学知 识、活动经验，结合本章将要学习的内容，设计了一个 数学活动； （2）知识发生阶段的实验活动设计了适合学生观 察、操作、实验、归纳等形式的活动材料，让学生在“ 做”数学的过程中“发现”数学规律、数学结论，获得数 学思想和方法，学会学习、学会思考； （3）设置了“数学实验室”； （4）每章一个“数学活动”； （5）每册一个“课题学习”。 教材特色之一注重引导学生“做”数学 二、我们在研究 什么是“数学实验”？ 所谓“数学实验”是指为获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解 决某类数学问题，实验者运用一定的物质手段，在数学思维活动的 参与下，
9、在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数 学探索活动。 具体的来说，它是通过动手动脑“做”数学的一种数学学习活动，是 学生运用有关工具（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以 及计算机等），在数学思维活动的参与下进行的一种以人人参与的 实际操作为特征的数学验证或探究活动。 我们所研究的数学实验是数学学习的一种方式，这种学习方式，不 是让学生被动地接受教科书上或教师讲授的现成结论，而是让学生 从自己已有的“数学经验”出发，通过动手、动脑去获得新的数学经 验，逐步构建并完善、发展自己的数学认知结构。 数学实验类型 数学实验最重要的两个因素是实验目的与实验工具.实验 的目的是实验要完成的
10、教学目标，是实验的最终归宿， 而实验的工具是实现实验目的的有效手段，是实现教学 目标的有力保障. 实验目的概括起来有三种：验证、理解和探索. 实验工 具概括为两类：实物模拟和计算机模拟.于是数学实验可 以分为六种基本类型： 实物验证型 实物理解型 实物探索型 计算机验证型 计算机理解型 计算机探索型 1、实物验证型 实物验证型实验，顾名思义是建立在实物直观上的验证型实验.该类 数学实验，可以帮助学生通过实验检测、验证已得结论或猜想的正 确性，从而在实物直观的基础上获得数学知识的理解其一般步骤 为：提出问题动手操作观察分析验证结论 观察是思维的入口，感性认识的开端，人们认识客观事物总是从观 察开
11、始.首先观察数学现象，得到一些感性材料，再经过分析概括， 演绎推理等对这些材料进行加工处理，从而上升到理性认识的高度. 由于中学数学教学内容大部分是初等数学，许多数学概念、命题都 有其产生的直观背景，因此，它仍是中学数学实验教学的一种主要 实验形式.利用实物或数学教具，进行实践操作，在真实环境中进行 的数学实验，是一种有效的学习方式. 实物验证型实验的显著特点是：直观、思维起点低，操作简单. 例如平方差公式的验证实验： 实验目的：验证平方差公式 实验工具：如图所示形状的纸片张、剪刀 实验步骤： （1）给学生分组，小组合作求图形的面积 （2）小组代表发言，学生方法概括起来有两种： 整体法：大正方
12、形的面积减去小正方形的面积，得到 式子：a2-b2 割补法：将图形剪裁后再拼接，得到矩形，进而求得 面积：(a+b)(a-b) （3）由同一图形的面积相等得到公式：(a+b)(a-b)=a2- b2的 2、实物理解型 实物理解型实验，是借助实物直观，以学生理 解数学概念、定理等数学知识为目的的数学实 验.此类数学实验通常是在人为干预实验对象的 条件下进行的，借助对实物直观的操作，深刻 理解数学概念、原理等.这类实验在初中数学实 验中占有相当大的比例.它主要通过学生对实验 材料的“数学化”操作来实现对数学概念、原理和 事实的接受和理解. 实物理解型实验的特点是：实验情境贴近生活 ，实验过程操作简
13、单，便于学生理解. 例如“摸棋子”实验： 实验目的：通过摸子实验，来深刻的认识、理解概率 实验工具：围棋，不透明的布袋（分为大小两种）、计算器、作图工具、纸、笔等 实验说明： （1）摸子规定摸子取黑、白二色棋子各若干枚，放在不透明的布袋中，充分摇 匀后，每次摸出一粒棋子，记录其颜色，然后放回，再次摇匀，摸子，再记录其颜 色 （2）分组规定每4人组成一个实验组， 2人用较大布袋模取棋子，此二人组成 第一小分组；另外2人用小布袋模取棋子，此二人组成第二分组 实验步骤： （1）取黑、白棋子各5枚，放入小布袋中，一位同学负责模取，一位同学负责记录 ；取黑、白棋子各20枚，放入大布袋中，一位同学负责模取
14、，一位同学负责记录 尽可能多次模取记录每组数据，汇总统计全班数据，绘制黑子频率折线统计图， 猜测实验结论：在不透明的布袋中，当黑白棋子数量相等时，模取一枚棋子，摸到 黑子的概率是？ （2）取黑子10枚、白棋子20枚，放入小布袋中，一位同学负责模取，一位同学负 责记录，尽可能多次模取记录每组数据，汇总统计全班数据，绘制黑子频率折线 统计图，猜测实验结论：在不透明的布袋中放有黑子10枚、白子20枚时，模取一枚 棋子，摸到黑子的概率是？ （3）实验猜想：在不透明的布袋中放有黑子m枚、白子n枚时，模取一枚棋子，摸 到黑子的概率是？ 3、实物探索型 实物探索型实验是借助实物直观,以探索未知结 论为目的的
15、数学实验. 教师创造、模拟、再现问 题情境，引导学生自主探究数学知识、发现数 学结论（或假设）的学习活动数学实验的一 大特征是过程的探究性，探索型实验对学生智 力的发展，创造能力的培养，科学方法的形成 都有很大的帮助. 实物探索型实验的特点是：具有开放性、探索 型、生成性，对学生的数学素养、教师的引导 方法要求高. 例如，“探索三角形全等的条件”， 可以设计以下的数学实验让学生主动探究： 实验目的：探索三角形全等的条件 实验工具：每位同学准备一个三角形纸板和6根木棒，期中三根与 纸板三边分别等长 实验步骤： （1）取一根与三角形纸板的一边相等的木棒，再取两根与纸板另 两边不等的木棒搭建一个三角形，这个三角形与三角形纸板能重合 吗？ （2）取两根与三角形纸板的两边对应相等的木棒，再取一根与三 角形纸板的另一边不相等的木棒搭建一个三角形，这个三角形与三 角形纸板能重合吗？ （3）取三根与三角形纸板的三边对应相等的木棒搭建一个三角形 ，这个三角形能与三角形
