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1、 案例 ： 一 、创设情境， 引出问题 师 ： 同学们 ， 老 师给大家讲一个 小故事 ： 从 前 ， 有 一位老猎 人 ， 每次 进 山打 猎都是 满载 而 归 。 一天 他进山打了几只山鸡和野兔 ， 高高兴 兴地往家走 。在村 口， 几个小 孩围 了过来 ， “ 老 爷爷 ， 老爷爷 ， 今天 您打了多少猎物 呀?” 老 爷 爷捋 了捋胡子 ，笑 眯眯地说 ： “ 今 有雉兔同笼 ， 上有八头 ， 下有二十六足 ， 问雉兔各几伺? ” ( 屏 幕出示题 目)谁知 道老 爷爷的话是什 么意思? 这就 是我们今 天要研 究的 中国历 史上 著名 的 数学趣题 “ 鸡兔同笼” 问题 。 二、 自
2、主探索。 解决问题 1 猜测激趣 ， 初谈想 法 师 ：你从这句话 中获得 了哪 些数 学信息? 你能猜猜鸡和兔各有几 只吗? 生 ： 我从 “ 上 有八头 ” 知道鸡 和兔 一共 有 8只 ， 还知道鸡和兔共 有 2 6只脚 。 生 ： ： 我知 道一 只鸡 有 2条腿 ， 一只兔有 4 条腿 ； 鸡和 兔一 共有 8只 ， 即一 共有 2 6条腿 ， 求分别有几只 。 师 ： 他还发 现了隐藏条件 ， 审题真 细心。 猜 猜看 ， 鸡和 兔各有几只呢? 课改纵横 案例反思 生 ： 我猜不可 能都 是鸡 ， 因为如果都是鸡 就会 有 1 6条腿 ， 而题 目中是 2 6条腿 ； 也不可 能都
3、是兔 ， 因为如果 都是兔就会有 3 2条腿 。 生 ：我猜 有 4只鸡 、 4只兔 ，那 么共 有 8 只鸡脚加 1 6只兔脚共是 2 4只脚 ， 还差 2只脚 生 ： 我猜 测有 5只鸡 、 4只兔 ， 共有 2 6只 脚 。 生 ：不对 ， 5只鸡和 4只兔 共有 9个 头 了 。 生 ： 我猜最 多有 6只兔 ， 因为 2 6里 最 多 有 6个 4 ， 剩下 2只脚 是 鸡的 ， 但是 合起 来 只 有 7个头 ， 所 以兔应 该少一只 ， 鸡就有 3只 ， 刚 好是 2 6 只脚 。 生 ： 我发 现鸡和 兔的头数 固定是 8 ， 如果 算 出来 的脚 数 比 2 6多 就 应把
4、兔子 的 只数 减 少 ，如果合起来的脚数 比 2 6少就 应把兔的 只 数增加。 师 ： 同学们说得都有道理 。 这样 吧 ， 老师给 你们 一些时间 ，各小组去 尝试寻找解决办法 ， 待会 告诉大家好吗? 2 小 组合作 ， 探究方法 ( 教 师 引导 学生用 不同 的方法 解决 问题 ， ， ： = 思 外 学设计 ，从判断几组 线段是否 平行开始 ，情况会好 得 多 。 2 概念的本质属性与非本质属性是什 么? 数学概 念代表的 是具有共 同关键特征 的一类数量 关系和空 间形式 ， 而不是个别 事物 。特征在这里指可 以 反映数学概 念特点的标 志 ，一个 数学概 念既有有关特 征(
5、 又 叫关键特 征 ) ， 又有无关特征 。第 一种设计教学 片 断中 ， 尽管学生 的回答也都 是平行 四边形 的特征 ， 但 只 是属于它的无关特征 ， 即非本质属性 。课本 中平行 四边 形的定义 是 “ 两组对 边分别平行 的 四边形 叫做平行 四 边形 ” ， 在 四边 形的范 畴中具有 “ 两组对 边分别平行 ” 这 种共同本质属性的就是平行 四边形 。然而 ， 学生始终在 平行 四边形 的非本质属性 中犹豫与 徘徊 ， 回答不到 “ 平 行” 的关键特征上来 。第二种 设计教学片 断中 ， 先判断 是否平行 ，后 连接成 四边 形再分 类 ，引导学 生通过 比 较 、 分析 、
6、分 类等 思维活 动 ， 剔 除了 留在学 生脑海 中 的 平行 四边形 的非本质特征 ，抽取 它们共 同的关键的本 质属性 ， 帮 助学 生建立正确 、 清晰 的概念 。 3 获得新概念的最合适的方式是什 么? 小学数 学教材 中大量的数学概 念 ，学生 是借助概 念形成和概念 同化这 两种 认知方式 的有机结 合而掌握 的 ，但我 觉得平行 四边形和梯 形概念 的获得是否 更多 的或者说 更适合采 用的是概念 同化 的方 式 ，即利用 学 生已有的知识 经验 ，以定义的 方式直接 向学生揭示概 念的本质属 生， 给 出它的定义和名称。平行 四边形 的定 义是直接 建立 在“ 平行 ” 与“
7、 四边 形 ” 等概 念 的基础 上 ， 因此揭示定 义后 ，新概 念就必然 要同原 有认 知结构 中 的“ 平行 ” 与“ 四边形 ” 等 内容发生 相互 作用 ， 建 立起直 接的联 系 ， 从而 将新 概念 “ 平 行 四边形 ” 纳 入到原 有 的 认知结构 中去 ， 再 通过长方形 、 正方形等典 型的特殊 的 感性材料作为肯定例证 ， 帮助学生修正 “ 是否是平行 四 边形 ， 跟 角有关系 ” 的错 误认识 ， 从而强 化“ 两组对边互 相平 行”的概 念的本质 属性 。这样 通过对新概 念的强 化 ， 将新概念纳入至 U 相应 的概 念系统中。 该课的教 学让我体 会最深的是
8、数学概念 的教 学除 了要 研究怎样教 ， 即在教学设 计上花工 夫以外 ， 更多的 应该关注学生 怎样学 ，也就是关注 学生学 习数 学的心 理过程， 从更多的研究“ 怎样教” 转向更多的研究“ 怎样 学” ， 从 而减 少学生 学 习的 困难 ， 以此 提高学 生学 习的 质量 。 ( 责编杜华) ( 至 开放 促 生成 更精彩 一 鸡兔同笼 教学案例与反思 福建德化县龙浔申 心小学 ( 3 6 2 8 一 林梅芳 课改纵横 案例反思 突出假设法 ) 3 同桌交流 ： 把你 的想法和同桌交流 一下 。 4 汇报 。 师 ： 谁愿意展示你的方法 ?( 生 出示下表 ) 鸡 的只数 8 7 6
9、 5 4 3 2 1 0 兔 的只数 O l 2 3 4 5 6 7 8 共有腿数 1 6 1 8 2 0 2 2 2 4 2 6 2 8 3 0 3 2 师 ： 谁和他 的方法一样?能再讲讲吗? 生 ： 因为鸡 和兔 的只数是 固定的 ， 每增加 一只兔 子就减少 一只鸡 ， 腿 的总只数就增 加 2 ； 反之依然 ， 所 以 列表列得特别快 。 师 ： 像 这样采 用列表 的方法 ， 不重 复 、 不遗漏 地写 出所 有可能的答案 ，这种逐 一列举 的方法在数学 中称 为“ 枚举法” 。 师 ： 除 了像这样 逐一列举外 ， 还 有不同的列表方法 吗 ? 生 。 ：从中间确定 。假设鸡兔各
10、有 4只 ， 4 x 4 + 4 x 2 = 2 4 ， 少 了 ， 就 增加 兔子 只数 ， 减 少鸡 的只数 ， 即 5只兔 子 、 3只鸡 ， 5 x 4 + 3 x 2 = 2 6 。 师 ： 你们觉得这种方法怎么样? 生 ： 简便 、 怏捷 。 师 ： 还有别 的方法吗 ? 生 ： 我用的是画 图法 。给 每只动物先装上 2条腿 ( 也就是都看成鸡 ) ， 这样一共用 1 6条腿 ， 还 剩下 1 0条 腿 ， 一次增加 2条腿 ， 一只鸡就 变成 了一只兔 ， 要把 l O 条腿装完 ， 即把 5 只鸡变成兔。 师 ： 画 图的方法非常便于观察 ， 容易理解。 生 ： 我用列式 的
11、方法。假设全都是鸡 ， 2 x 8 = 1 6 ( 条) ， 2 6 1 6 = 1 0 ( 条 ) ，即兔子有 1 0 + 2 = 5( 只 ) ，鸡 有 8 - 5 = 3 ( 只 ) 。 师 ： 除了可 以假设都是鸡 ， 还可以怎样假设 呢? 生 ： 假设全都是兔 。 生 ： 我用 砍脚法 。假设把所有 的鸡 和兔各砍去一 半的脚 ， 鸡就只剩 一只脚 ， 兔只剩 两只脚 ， 这 时鸡 和兔 的脚数 比头数多的部分就是兔的只数 。 兔子有 2 6 + 2 8 = 5 ( 只) ， 鸡有 8 - 5 = 3 ( 只 ) 。( 教师 同时告诉学生这正是古 人所用的“ 抬脚法 ” ， 又称“
12、减半法 ” ) 生 ， ： 我用方程法 5 币( 小结 ) ： 同学们 ， 刚才我 们用很多方 法解决 了 同一个问题 ， 你觉得这 些方法的核心思想是什 么?( 假 设 ， 所以“ 鸡兔同笼” 问题又叫假 设问题 ) 6 了解“ 鸡兔 同笼” 的历史 。 7 IJ 币 ( 小结方法 ) ： 刚才我们用这 么多 的方法解决 了 “ 鸡 兔 同笼” 问翘 ， 你最 喜欢 哪 一种方 法 ， 说 说你 的理 由。 生 ： 我最喜欢减半法 ， 因为这种方法简便 、 快捷 。 三、 应 用方 法。 解决问题 1 师 ： “ 鸡 兔同笼 ” 问题从 我国传到 日本 ， 就变 成了 赫 0 ) 嘲 野 ；
13、 “ 龟鹤 问题 ” 。( 出示 “ 做一做 ” 第 1 题 ) 用你喜欢 的方法 解 答龟鹤 问题 。 2 师 ： 在我 们的生 活 中也有 这样 的“ 鸡兔 同笼 ” 题 目。( 出示“ 做一做” 中的“ 租船 问题 ” ) 你能解决吗? 3 师 ( 小结 ) ： 生活中 ， “ 鸡兔 同笼 ” 的问题有许 多变 式 ， 我们重在掌握其 中的数 学思想和方法 ， 要学 会灵活 应用 ， 感受数学 的魅力 。 四、 畅谈收获 ， 全课总结( 略 ) 反思 ： 开放促生成 ， 意外更精彩 教学是教师与学生交往、 互动的过程。在这个过程 中， 师生分享彼此的思考、 经验和知识， 交流彼此的情 感
14、、 体验与观念， 丰富教学内容 ， 获得新的发展。课堂教 学虽然课前进行预设， 但具有很强的动态性、 不可预设 性 ， 是动态生成的。随着教学的不断展开， 学生的认识 和体验 不断加 深 ， 创造 的火花不断进发 ， 这一切都 需要 教师不断地调整预案， 生成新的 目标。只有这样， 才能 促进 学生的发展 。 “ 鸡兔同笼” 问题具有很强的抽象性， 学生学习会 有一定的难度。所以， 我预设引导学生按照课本的列表 法， 再配合假设法， 充分运用动手操作这个手段， 让学 生弄 懂“ 鸡兔 同笼 ” 问题的基本 解题 思路 。在课 堂教 学 实践中， 我发现把更多的时间留给学生独立思考、 互动 发言
15、， 可以促动课堂生成， 获得意外的精彩。 学生是学习的主体， 不同的学生有不同的想法。课 堂上应该多让学生发表 自己的见解，教师可以从中发 现很多的东西， 把它作为学生的个性化学习、 创新性思 维、 真实的内心体验， 这样才能将学生富有个性色彩的 知识作为教学切入点， 促进课堂的生成。如本课提出问 题后让学生猜测“ 鸡兔各有几只” ， 学生的多向猜想超 出了教 师的预设 ， 而学生的发现 更让教师感到 意外 ， 正 是这个意外发现 为学生的探 究理清 了头绪。又如 ， 在 自 主探究解决方法时， 由于学生原有认知背景的不同， 他 们对解答本课时的题 目存在较大的差异。所以， 在教学 过程 中，
16、 教师并没有按部就班， 提 出统一的要求， 而是 允许不同的学生采用不同的解题方法。在交流时， 意外 发现有两个学困生用逐一列表的方法独立解决了这个 问题， 教师肯定了他们想出的好方法， 并在此基础上引 导他们理解假设 法的思路 。而有 的学生则是应用 了课 外阅读 中学到的“ 砍脚法” ， 让其他 同学领略了这种解 法的优越性 ， 同时拓宽 了学生的思维 ， 催 生 了又一个 问 题 资源砍 脚法 与假设法有什么联 系?这种解 法在应 用上有什么条件限制” ，再一次把课堂教学推向了高 潮 。 本节课从 学生的角度 调整教 学过程 ， 改进预设 ， 把 学习的主动权交给学生，让学生在合作学习的活动中 主动 完成认知结构 的建构过程 ，使 学生的主体意识和 探究精神得到培养， 创新潜能得到开发 ， 让学生获得亲 自参与探 究学习的积极体验。 ( 责编蓝天
