模糊数学基本理论及其应用_周浩亮

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1、 技术讲座 建片技术 ? ? ? ? 、 ? 模糊数学基本理论及其应用 煤科 总院北京建井所周 浩亮 模糊数学 产 生于本世 纪 ? ?年代 , 它的形 成与发 展 不是想放 弃 数学 的 准 确性 、 严 格性 , 而是使客观存在的一些模糊性的事物 和现象能够用数学方法来研究和处理 。 所谓 “ 模糊性 ”是指 客观事物 中的不分明性和 不确 定性 , 其根源在于 客观事物的差异 之 间存在 着中介过渡 。 例如 , 说一个人是 “ 高个 ”, 这 就是 一个模糊概 念 , 人们很难说清多高算 “ 高个 ”, 因为 “高” 与 “ 矮 ” 之间没有明显 的 “ 边界 ” 。 为从根本上解决这

2、类问题 , 美 国 控制论专家? ? ? 教授重新研究了数学的基 础集合论 , 并于 ? ? !年首次提 出模糊集 合的概 念 , 从而形 成 了模糊数学这一新的数 学分支 。 基本知识 ?门模糊集合 ?门 门概 念 集合论不仅是现代数学 的基础 , 也是模 糊数学的必备知识 。 为了与模糊集合相区别 , 我们把以往接触到的集合 , 如 ?一? , ? , ? , ? ? 称为普通集合 ?其全集称为论域? 。 对于模糊集合中的子集 , 是没有明确边 界的 , 如 “ 高个 ” 这 一集合 , 一个身高 ? ? ? 的人既可 属于 也可不 属于 “ 高个 ” 这一子集 , 由于没有明确 的边界

3、, 我们将 “ 高个 ” 称为 “ 身高 ” 这一论 域中的一 个 “ 模糊子集 ” ?或 模糊集? , 它具有模糊性 , 通常用下 面带波 浪 号 的大写 字母表示 , 如 , 今 、 旦等 。 为了表示 某一元素与模糊子集的关系 , ? ? ! 提出了 “ 隶属度 ” 的概念 , 即 ? 对论域的每一个元素 ?在闭区 间 ? , ?中给它一个对应的数字指 标 , 用以表明 ? ? 对于模糊集冬的隶属程度 , 并用朴? ? , ?或片。表示 , 称元素 ? 对吞的隶 属度 , 且满足 ?簇她 ? ? , ?镇? 。 显然 , 朴 ? ? , ?值愈大 , 表示 ? ? 对鑫的隶属程度愈高 。

4、 当 内? ? ? ?一。时 , 表示 ? , 肯定不 属于冬 ? 当她 ? ? ?一?时 , 表示 ? ? 肯定属于 ? 。 在这两种 情况下 , 子集退化为普通子集 。 由此可见 , ? ? ? ?引入模糊子集的基本思路 是 ? 把普通 集合中的绝 对隶属关 系加以扩充 , 使元素对 “ 集合 ” 的隶属度由只能取 。和? 这两个值 , 推广到可以取单位区间 ? 、 ? 中的任意一 个数值 , 从而 实现定量 地刻画模糊性事物 , 这 里 , 模糊度是处理问题的关键 。 ? ? ? ? ? 表示方法 前苏联 ? ? ? ? ? 等发 现 了 松 动 圈厚度与原岩应力 、 岩石强度等如前所述

5、 的关系以后 , 因 不连续厚度?松动圈深度?受 巷道 断面的影 响 , 巷道掘进要分两步 进行 ? 第 一步 , 考虑设计断面 , 使巷道第一个不连续 区的尺寸与该断面尺寸相等 ? 第二 步 , 将该 断面刷大到设计断面 。 他们给 出 了两者的关 系式 ? ? ? ? ? ? ?。? ? ? ? ? ? 这种施 工方法假设的基础是 , 二次刷大 时 , 不连续区的半径不会增大 , 即松动圈的 半径仍保持稳 定 。 建井技术 ? ? ? 、 ? 技术 讲座 ? ? ? ? 表示法 吞一 产?。? ? , ? 脚。? ? ? ? 拜?。? ?。 进队对 “技 术水平高 ” 这个模糊概念的隶属

6、程度 。 其模糊子集吞可表示为 名 。 ? ? ? ? ?任 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 十 十 十一 当论域?中的元素为无穷不可数时 , 可记为 。一 ? 。? ? ? ? 。 ? , ? ? ? ? ? ? ?略 ? , ? ? ? ? , ? ? ? , ? 内 ? 则 内 ? 若 式中 ? 林 ? ? ? ? 表示论域 ? 中的元素 ? 与其隶属度 产?之间 的对 应关系 , 不表示 ? “ 分数 , , ? “ ? ”、“ 乙 ” 表示模糊子集在论域 ?上的整体 , 不表示 “ 求和 ”? , ? ” 表示各个元素与隶属 度对应关系的一 个 总 括

7、 , 不表示 “ 积分 ” 。 ?向量表示法 ? 鑫? ?“ , 。 , 拼?。 , , 拌?。? ? 序偶表示 法 合一 ?拌 ?经, ? ? ? , ?, ?。, ? 小 ?拼 ?。,? ? ? 例?某矿务局对 ?个掘进队的技术水平进 行考核 , 这 ? 个掘进队分别记为 ? ? 、 ? ?、 ? ?、 ? ? , 设论域? , , ? , ? , ? ? ? , 现分别对 每队的技术水平高低按百分制打分 , 然后均 除以 ? , 于是?上的每一个元素 ? ? ?一? , ? , ? , ? ? 都对应于 ? , ?之间的一个数值 , 即折合成隶属度 , 设它们的成绩为 第一队 ?分 记为

8、小 ? ? ? ? ? ? ? ? 第二队 ? 分记为小 、 ? ? ? ? ? ? ? 第三队 ? 分记为小 , ? ? ? ? ? ? 第四队 ? ?分 记为小 ? ? ? ? ? 一? ? ? 这样就确定了一 个模糊子集吞 , 它表 示该掘 ? ? ?表示法 向量表示法 ? 序偶表示法 ? ? ? ? 一? ? ? ? ? ? , ? ? ? , ? ? , ? ?, ? ? ? ? , ? 小 ? ? ? ? ? ? ? ? 运算规则 设 ? 、 ? 、 ? 、 ?为论域?上的模糊子集 , 则有如下运算规则 相等 ? 若吞一旦 , 则对一切 ? ? , 有 包含 ? ? ? ? ? ,

9、 拜? ? ? ? 拼? ? ? ? 对一切 ? 任 ? , 有 ? ? ? 余 ?补? 集 ? 若鑫与今互为余 ?补? 集 , 则 对一 切 ? 任? , 有 拜? ? ? ?一拌人? ? ? 并集 ? 若 ?一 ? , 则对一 切 ? 任? , 有 拜? ? ? 拼 ? ? ? ? , 拜。? ?拼 ? ? ? ?拌 。 ? ? ? 交集 ? 若?一鑫?旦 , 则对一切 ? 任? , 有 拌? ?拼,? , 拜? ? ? ? 拌? ?拼? 其中 ? ?和八分别表示 “取大”和“取 小 ”运算 。 除上述运算外 , 还有一些模糊集之间的代数 运算也是常用的 , 这里介绍一些简单定义 ? 代数

10、积 ? 记为鑫旦 , 其隶属函数犯。规定为 拼八 ? ?拼 ? 拼? 代数和 ?或 上界和? ? 记为吞? , 其隶 属函 数 拌? ? 规定为 ? 观点综述 国外研究松动圈的学者 , 都注 意到 了支 护与松动圈的关系 , 即松动圈越大 , 支护越 困难 。 有的已经 用松动圈作指标 , 对 围岩进 行分类 。 国外对于围岩松动圈的研究 , 主要采取 了理论分析和 现场实测两 条路线 , 随着研究 的日渐增多 , 将形成新的学 派 。 爆破产生的松动圈 , 发生在支护以前 , 只 将 自身重量有条件地作用在支护上 , 而这一 载荷远远小于碎胀过程中的变形力 , 如果不 把注意点放在后者 ,

11、他们的结论将可能是 冒 落拱理论 。 ?责任编样 徐文这? 技术讲座 建 井技术 ? ? ? 、 ? 胖、? ? ? ? ?拼 ? ? 拜?、? , 1 ) I :界和 : 记为吞B , 其隶属函数娜:。规定 为 脚 :、, 一 m a x (拼*(u) + # 。 ( u )一1 , O ) 环和(或 直和):记为吞 B , 其隶属函数物 、。 规定为 肛 、, = 拌A+拜, ,一内B 绝对 差 : 记 为鑫一到 , 其隶属函数 拼.。 一 : :规 定 为 拜 A一B 一 ! 拜A一拼。 实际上 , 上述规则中任意两 个模糊集之 间的运算都是 论域U中的每一 个元素对这 两个模糊集的隶属

12、度间的运算 。 与普通集合 一 样 , 模糊集满足 : 幂等律 、 交换律 、 结合 律 、 吸收律 、 分配律 、 0一1律 、 复原律和对 偶律 , 但一般互补律不成立 , 即冬U今并U , A自A笋中 , 这是模糊集合与普通集合的一个 明显区别 。 例2设u一 u l, u Z , u 3, u ; , u s A一0 .2 /u l+ 0.6/u :+ 1/u 3+ 0.8/u4 B=0.5/u ;+ 0.9/u :+ 0.4/u 4+ 1/u 。 则根据上述运算规则有 AUB = (O.ZVO .5 )/u:+ (O .6 VO .9)/ uZ+ (1VO)/u3+(0.8V0.4)

13、/ u;+ (0V l)/us =0.5/ul+0 .9/u:十 1/u3+0 .8/u4 十1/u s A自B =0.2/ul+0 .6/u:+ 0.4/u4 A =0.8/ul+0 .4/uZ+ 0.2/u; 一朴1 /u s A B= 0 . 1 / u l + 0 . 54 / u Z + 0 . 32 / u 4 A+B= 0 . 7 / u , + 1 / u : + l / u 3 + 1 / u 4 +1/ u s AO B = 0 . 5 / uZ 十0 .2/u A B一0 .6 / u , + 0 . 96 / u: + 1 / u 3 十 0 .88/u;+ 1/us

14、A一B一0 .3 /ul+ 0.3/u Z+ 1/u 4+ 0.4/ u;+ 1/u s 1 . 1 . 4 水平截集 模糊集本身没有明确范围 , 因此只有设 法将模糊集合转化为普通集合 , 才能应用通 常的数学方法来处理 , 而水平截集则是在模 糊集与普通集的互相转化中起着重要桥梁作 用的 慨念 。 设给定论域U上的模糊子集吞 , 对任意 入任 印 , 1 _ , . 称普通 集合A 、一 u协 八 (L l) ) 入 , u 任 U)为A的入水平截集或称无水平集 。 例3如 例l中冬一O 85 / u , + O 75 / uZ + 。 . 9/u3十1/L l l , 现 在要 了解这4

15、个掘进队哪 个 是 “ 技术水平高 ” (9 0 分以上) , 哪 个是 “ 技术水平较高 ” (8 0 分以上) , 哪个是 “ 技术 水平一般 ” ( 7 。分以 巨) , 于是 : “技 术水平 高 ” 的 队组成 的普通集合为 A 。 = u 3 , u 4 “ 技术水平较 高 ” 的队组 成 的普通集合为 A o.8= u , u 3 , u : “ 技术水平一般 ” 的队组成的普通集合为 A o.了 = u l , u Z , u 3 , u 、 这里A o.9、 A o . 、 A o . 7 即是 入=0 . 9 、 入= 0 . 5 、 入 一0 . 7 时A的水平截集 , 入称为A 、 的 (置 信)水平或阀值 。 不难看出 , 今是模糊 子集 , 而A 入 是普通 集合 , 其直 观意 义是 , U 对冬的隶 属度达到或 超 过 入的就算u是A 的元素 。 取 一个模糊集 A 的 入截集 , 实际上 就 是将其隶属函数按 下 式转换 成特征函数 , 如图l 。 蓦 匕述封x “(u) 卜一 :一叫 X几孟(u) X 几盛(u ) 图l X A、(。) = A 、 的待证函数 , 当 拼“(一) Lo , 当 拼A (u) O (U 为论域) , 称 A , 一S u即 粤为吞的边界 。 若鑫的核A , 不 是空