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1、数 字 图 像 处 理 第五章 图像复原,图像复原,图像退化模型 退化参数估计 逆滤波复原 维纳滤波复原 约束最小平方滤波复原 等功率谱滤波复原 图像几何复原,图像复原,实际成像过程中，由于各种原因使图像质量下降（图像退化，图像降质）,原因：随机因素（噪声或其它随机干扰） 系统误差（散焦，几何畸变，相对运动，大气湍流，等）,图像复原将退化图像恢复成原图像（提高逼真度）,要求：对退化机制（物理过程）有足够的了解建立退化模型，然后“逆向”进行补偿。,实际的退化过程很复杂，退化模型是近似描述复原后的图像只是对原图像的一个估计，即在某种准则下的最优估计。,图像复原一定是在某种准则（客观评价标准）下实现
2、的。,图像复原,一、退化模型,一般情况下，H可以视为线性空不变系统。设其冲激响应为h(x,y)。,则有：,g(x,y) = f (x,y)h(x,y) + n(x,y),图像f (x,y) 经退化系统作用后变为降质图像g(x,y)。,G(u,v)=F(u,v)H(u,v) + N(u,v),频域形式：,点扩散函数 (PSF),图像复原,退化模型的离散形式, 一维情况,设f (x)有A个采样值，h(x)有B个采样值。计算离散卷积时，为了避免交叠误差，需要将f (x) 和 h(x)扩展为周期是N=A+B1的周期函数，即：,图像复原,不考虑噪声时，输出为：,ge(x)周期为N 的周期函数。,上述离散
3、卷积可以表示为矩阵形式：,g = H f,=,图像复原,因he(x)是周期函数： he(x) = he(N+x)，则有,H矩阵的每一行都是前一行向右循环移位的结果循环矩阵。,图像复原, 二维情况,推广到二维: 设 f (x,y)AB; h(x,y)CD;,扩展为 MN 个元素； M=A+C 1； N=B+D 1；,图像复原,矩阵形式 g = H f,（g 与 f 构成形式相同）,图像复原,H为 MN MN 维矩阵，包括 M M 个块，每一块的大小为N N 。,H =,Hj =,图像复原,Hj 是循环矩阵；且H中各分块的下标变化也是右移循环的。 H分块循环矩阵。,离散退化模型的一般形式： g =
4、 H f + n (n为噪声）,实际的复原过程是设计一个滤波器，使其能从降质图像中计算得到原真实图像的一个最优估计。广义上讲，图象复原是一个求逆问题，逆问题经常存在非唯一解，甚至无解。为了得到逆问题的有用解，需要有先验知识以及对解附加某些约束条件。,图像复原,二、退化参数的估计,估计退化系统的点扩散函数（PSF）以及噪声的统计特性。,（1）已知退化机制,运动模糊的点扩散函数相机与景物之间有相对运动的情况：,已知(t)，(t) 分别是位移 x 和 y 的分量，T为曝光时间。,则降质图像为,图像复原,做傅立叶变换：,令 = x(t); = y(t) ; 有,= F(u,v) H(u,v),图像复原
5、,设为直线运动：(t)= at； (t)=bt；则,物理解释 ？,图像复原,光学系统散焦模糊的传递函数,散焦情况下，点光源成像为圆斑，其传递函数为,d散焦点扩散函数的直径（参数）,J1() 一阶贝塞尔函数,（或者，简化为高斯函数）,图像复原,大气湍流模糊的传递函数,k与湍流性质有关的参数；,（长时间曝光情况下）,(a)可忽略的湍流； (b)剧烈湍流；k=0.0025; (c)中等湍流；k=0.001; (d)轻微湍流；k=0.00025;,图像复原,（2）根据后验知识估计,利用图像中的点、线 、边,用实验方法获得退化系统的点扩散函数的数值化形式。,对于点或线，直接测量模糊后的灰度分布形式代替点
6、扩散函数； 对于阶跃边缘，用测量模糊后的灰度分布的导数代替点扩散函数；,阶跃边缘的导数为Dirac函数；且有,（利用边线时，测得的结果是与其垂直方向上的一维点扩散函数）,图像复原,（3）噪声统计特性的估计,（一般假设为加性、高斯白噪声）选取图像中较大的平坦区域，计算局部灰度的各阶矩及其功率谱，以此作为对整个图象噪声的估计。,或者，由整个图像功率谱估计噪声功率谱,由退化模型得到：,信号能量集中在低频段，噪声能量在高频段突出可以在功率谱上分开,图像复原,三、图像滤波复原,寻找滤波器传递函数，在频域做滤波，然后变换到空域，得到对原图像的估计。,（1）逆滤波复原,由退化模型 G(u,v)=F(u,v)
7、H(u,v) + N(u,v),若不考虑噪声，得：,故逆滤波传递函数为,（反向滤波器）,图像复原,逆滤波结果：,噪声放大问题,此项严重影响复原效果。若H(u,v)有零点或很小，导致噪声放大。而且，一般在离原点较远时衰减很快，但噪声信号处于高频范围。,因此复原只能局限于频域中的有限区域，且选择信噪比高的频率。,方法*,图像复原,方法* 通过对待复原图像进行低通滤波限制复原范围。,(a)没有低通限制的全滤波 (b)截止频率为40 (c)截止频率为70 (d)截止频率为85,（采用10阶巴特沃斯低通）,逆滤波对大气湍流图像(b)进行复原,图像复原,（2）维纳滤波复原（最小均方误差滤波）,若：f 与噪
8、声不相关，且噪声均值为零，则使上述误差函数最小的解在频域的形式为：,Sn，Sf 分别为噪声及原图像的功率谱。,“信噪比”,图像复原,要求知道噪声与图像统计特性（功率谱）, 避免了逆滤波的噪声放大问题：,若H(u,v)=0，但 , 则 Hw(u,v) = 0,反之，若信噪比差，则 Hw(u,v) 0。,一般情况下，Sn 与 Sf 难以预先知道，可以利用下式：,图像复原,（k为可调节的参数）,实际上，最小二乘准则与人的视觉准则并不匹配（人眼对暗处和高梯度区域的误差比其它区域具有更大的容忍性）。,（3）约束最小平方滤波复原,准则在满足约束条件下，使所定义的 平滑函数最小。,定义平滑函数：,图像复原,
9、由退化模型,得约束方程,在满足此约束条件的同时，求 f ，使平滑函数 (f ) 最小。,此问题的解在频域的形式为：,（为待定参量，只与噪声的均方差有关）,图像复原,可以采用其它平滑性度量，如：,则在同样的约束条件下，使 (f ) 最小的解为：,其中，P(u,v) 是 p(x,y) 的付氏变换，而p(x,y) 的形式为：,Laplacian变换的掩摸形式,是需调整的参数，以满足约束方程。无噪声时 =0，变为逆滤波。 一般需要迭代求解。,图像复原,（4）等功率谱滤波复原,准则使得复原图像的功率谱与原图像相等，即：,设,则,根据准则，有, (5-3-4-1),图像复原,由退化模型：,g(x,y) =
10、 h(x,y) f (x,y)+n(x,y),设 f (x,y)与 n(x,y)不相关，则,两边做傅立叶变换：,则,Sg(u,v) = H(u,v)2 Sf(u,v) + Sn(u,v),代入(5-3-4-1)，得,图像复原, 当H(u,v)=0时，Hp(u,v)0 （而维纳滤波器的Hw(u,v)=0）；, 当无噪声时，转化为逆滤波器；,由于维纳滤波器在某些点处的频率响应为零，会导致频率响应起伏较大 在空域产生虚假的纹理模式。 等功率谱滤波器具有很强的复原能力，在某些情况下，性能优于维纳滤波器。,图像复原,逆滤波复原和维纳滤波复原的比较,(a)原图；(b)退化图像 (c)全逆滤波 (d)有限频
11、域逆滤波 (e)维纳滤波,图像复原,(a)运动模糊及噪声污染的图像；(b)逆滤波结果；(c)维纳滤波结果； (d)-(f)同样的序列，但噪声方差小了一个数量级； (g)-(i)同样的序列，但噪声方差小了5个数量级；,图像复原,约束最小平方滤波,维纳滤波,图像复原,四、图像代数复原方法,对于离散图像，若退化系统为线性空不变，且噪声为加性，可以将图像复原统一在代数复原方法的框架内进行。准则为最小二乘准则。,（1）非约束复原,退化模型 g = Hf + n,定义代价函数：,J (f) = | g Hf |2 (5-4-1),图像复原,由 J (f) = ( g Hf )T (g Hf ),令,2HT
12、g + 2HTHf = 0,（H为分块循环矩阵），设逆H-1存在，有,得,XT代表X的共轭转置,图像复原,H 可表示为 H = WDW-1,D 对角矩阵（其值由H的特征值组成） W 对角化矩阵（其列由H的特征向量组成）,循环矩阵对角化方法,有,W-1的元素是离散傅立叶变换核；D的元素是h(x,y)的离散傅立叶变换,g 的离散付氏变换,所对应的连续形式为：,（即逆滤波）,图像复原,（2）约束复原,令Q为f 的线性算子（则 Qf 是对图像 f 的滤波运算），在满足约束的条件下，使 | Qf |2 为最小。,利用拉格朗日乘子法，定义代价函数：,J (f ) = | Qf |2 + L(| g Hf
13、|2 | n |2 ),（L为乘子）,要求：,图像复原, (5-4-2),由(5-4-2)解得：,（ =1/L 待调节参量，调整到满足约束条件）,问题：如何选择Q , (5-4-3),图像复原, 对于维纳滤波,QTQ = Rf-1Rn ； 其中 Rf = EffT， Rn= EnnT,（Rf 和 Rn 分别对应原图像和噪声的自相关矩阵）,由(5-4-3)得：,与H对角化相同，将 Rf 和 Rn 对角化：,Rf = WDfW-1； Rn = WDnW-1,代入(5-4-4)，得,(5-4-4),图像复原,（表示共轭）,两边左乘W-1，上式化为：,D 对角阵，元素是H 的傅立叶变换； Df 和 D
14、n对角阵，元素分别是f 和 n 的自相关矩阵的傅立叶变换（自相关的傅立叶变换为功率谱）,故所对应的连续形式为：,图像复原,若 = 1，则为前述维纳滤波器，但一般不能保证满足约束条件。上式称为参变维纳滤波器（调整 使约束条件满足）。, 对于以平滑度为约束,（1）若要求 | f |2 min ，则Q为单位矩阵，由(5-4-3) 可得,（2）若要求二阶导数最小，Q可选择为拉普拉斯算子形式，同 样由(5-4-3) ，得到频域公式。, 图像盲复原（blind deconvolution）,在许多实际情况下点扩展函数难以预先确定，必须从观察图像中以某种方式提取退化信息，实现图像复原，即图像盲复原方法。,图
15、像复原, 图像盲复原是一个病态问题，难以保证收敛性; 计算量大;,在某种准则下，利用原始图像以及PSF的部分先验知识或约束， 同时对原图像和PSF进行估计，一般需要迭代求解;,图像复原, 迭代盲解卷积（IBD）,(Ayers and Dainty,1988),空域约束：,f 支撑域内的像素灰度非负； h支撑域外为零 迭代过程中能量保持,频域约束：,满足,本质上是逆滤波（修正形式）,频域约束：,图像复原,（为参变量）,改进的方法采用维纳滤波形式,PSF是正的，且在有限域内有, IBD在频域具有维纳滤波的形式（代表噪声水平），抗噪性好；, 计算复杂度低；, 稳健性较差（对初始估计敏感，不能保证收敛）。,图像复原,空域约束,原图像的“有限支撑”（包含原图像的最小矩形）非负 迭代中，将支撑域内的负值像素和支撑域外不为零的像素置零。,非负支撑约束递归逆滤波（NASRIF）, 原图像的背景是均匀的黑、灰或白； 原图像的像素值是正的，并且已知有限支撑域； 原图像和PSF是不可约的； PSF的逆存在，并且PSF及其逆是绝对可和的,约束条件：,基本原理降质图像经FIR滤波器u(x,y)产生估计图像 f ，此估计图像再经非线性映射（
