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1、单选题其他1.1，2都是n阶矩阵A的特征值，12，且x1与x2分别是对应于1与2的特征向量，当（）时，x=k1x1+k2 x2 必是A的特征向量。A、 k1=0且k2=0 B、 k10且k20 C、 k1k2=0 D、 k10而k2=0 【正确答案】：D 【答案解析】：A的特征向量不能是零向量，所以k1、k2不同时为零，所以A、C不对；x1、x2是两个不同的方程组的解，两个方程的两个非零向量解之和不再是其中一个方程的解，所以A的特征向量不选B。选D是因为k2=0，k10，x= k1 x1仍然是A的特征向量。 2. 0，-1，则f（A）的特征值为（）。A、 3，1，1 B、 2，-1，-2 C、
2、 3，1，-1 D、 3，0，1 【正确答案】：A 【答案解析】：设A的特征值是，则f（A）的特征值就是f（），把1，0，-1依次代入，得到3，1，1。 3.（）。A、 1/12 B、 1/7 C、 7 D、 12 【正确答案】：A 【答案解析】：A1.A为三阶矩阵，0，-1，1为它的三个特征值。其对应的特征向量为。设，则下列等式错误的是（）。A、 B、 C、 D、 Ap1=0 【正确答案】：C 【答案解析】： B1.二次型f(x,y)=x2-6xy+y2对应的对称矩阵为（）A、 B、 C、 D、 【正确答案】：B 【答案解析】：f(x,y)=x2-6xy+y2对应的矩阵为，因此可知选择B，参
3、见教材P163.（2014年7月真题） D1.对称矩阵是（）.A、 负定矩阵 B、 正定矩阵 C、 半正定矩阵 D、 不定矩阵 【正确答案】：B 【答案解析】：本题考查实二次型的分类.用顺序主子式方法判定：20，所以A正定，故选择B. 参见教材P172. （2013年1月真题） E1.二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x22+x32-2x1x2+4x1x3-2x2x3的矩阵是（）A、 B、 C、 D、 【正确答案】：C 【答案解析】：本题考查二次型的矩阵，因此可知答案为C，参见教材P163.（2014年4月真题） 2.二次型的矩阵为（）。A、 B、 C、 D、 【正确答案】：D 【答案解
4、析】：二次型的矩阵的定义。 3.二次型的矩阵为（）。A、 B、 C、 D、 【正确答案】：C 【答案解析】：4.二次型f（x1，x2，x3）= x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是（）。A、 是正定的 B、 其矩阵可逆 C、 其秩为1 D、 其秩为2 【正确答案】：C 【答案解析】：二次型的矩阵所以r（A）=1，故选项C正确，选项A，B，D都不正确。5.二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B（）。A、 一定合同 B、 一定相似 C、 即相似又合同 D、 即不相似也不合同 【正确答案】：A 【答案解析】：f=xTAx
5、=（Py） TA（Py）= y T （PTAP） y= y TBy，即B=PTAP，所以矩阵A与B一定合同。只有当P是正交矩阵时，由于PT=P-1，所以A与B即相似又合同。 6.二次型的正惯性指数为（）A、 0 B、 1 C、 2 D、 3 【正确答案】：C 【答案解析】：，因此正惯性指数为2，因此选择C. （2014年10月真题） 7.二次型的矩阵为（）。A、 B、 C、 D、 【正确答案】：C 【答案解析】：8.二次型f（x1,x2）=x12+6x1x2+3x22的矩阵是（）.A、 B、 C、 D、 【正确答案】：A 【答案解析】：本题考查二次型相关概念。二次型与矩阵的对应关系，应该选A.
6、9.二次型f(x,y)=x2-6xy+y2对应的对称矩阵为（）A、 B、 C、 D、 【正确答案】：B 【答案解析】：f(x,y)=x2-6xy+y2对应的矩阵为，F1.f（x1，x2，x3）= x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是（）。A、 B、 C、 D、 【正确答案】：C 【答案解析】：x1，x2，x3平方项系数对应主对角线元素：1，0，4。x1x2系数-2，对应a12和a21系数的和，a12=-1，a21=-1。 J1.矩阵有一个特征值为（）.A、 -3 B、 -2 C、 1 D、 2 【正确答案】：B 【答案解析】：本题考查特征值与特征向量的定义。，=-2或=-4，选B.参见教材
7、P129.（2015年4月真题）2.矩阵的特征值为（）。A、 1，1 B、 2，2 C、 1，2 D、 0，0 【正确答案】：A 【答案解析】：得到特征值是1，1。 N1.n元实二次型正定的充分必要条件是（）。A、 该二次型的秩n B、 该二次型的负惯性指数n C、 该二次型的正惯性指数它的秩 D、 该二次型的正惯性指数n 【正确答案】：D 【答案解析】：二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数n。 R1.若f（x1,x2, x3）=k x12 + （k-1） x22 + （k-2） x33 正定，则（）.A、 k0 B、 k1 C、 k2 D、 k2 【正确答案】：C 【答案解析】： 本
8、题考查正定的概念。A正定 k0，k-10，k-20 k2选（C）2.若3阶方阵A与对角阵相似，则下列说法错误的是（）.A、 |A|0 B、 |AE|0 C、 A有三个线性无关特征向量 D、 R(A)2 【正确答案】：B 【答案解析】：本题考查相似标准形的结论.选项A，D等价，即秩（A）23|A|0；选项 C：因为A的三个特征值不同，所以三个特征向量线性无关；选项B： |AE|(EA)|(1)3|(1)EA|0，即特征值为1，而对角阵的主对角线上三个特征值为2，0，3，所以B为错误选项. 参见教材P142. （2013年1月真题） 3.若f（x1，x2）=x12+2ax1x2+4x22正定，则有
9、（）.A、 a2 B、 a 2 C、 -2 a2 D、 0 a 2 【正确答案】：C 【答案解析】：本题考查正定的概念。4.若 ，则一定有特征值（）A、 -5 B、 C、 D、 5 【正确答案】：A 【答案解析】：因为，故，因此一定有特征值为-5，选择A，参见教材P128.（2014年7月真题） 5.若3阶方阵A与对角阵相似，则下列说法错误的是（）.(A)2 【正确答案】：B 【答案解析】：本题考查相似标准形的结论.选项A，D等价，即秩（A）23|A|0；选项 C：因为A的三个特征值不同，所以三个特征向量线性无关；选项B： |AE|(EA)|(1)3|(1)EA|0，即特征值为1，而对角阵的主
10、对角线上三个特征值为2，0，3，所以B为错误选项. 参见教材P142. （2013年1月真题） 6.若（1,1，t）与（1,1,1）正交，则t（）.A、 2 B、 1 C、 0 D、 1 【正确答案】：A 【答案解析】：本题考查向量内积.因为，所以（，）0，即1111t10，t2.故选择A. 参见教材P148. （2013年1月真题） S1.设矩阵，则的特征值为（）.A、 1，1，0 B、 C、 1，1，1 D、 【正确答案】：B 【答案解析】： 故的特征值为.2.设3阶矩阵，则下列向量中是的属于特征值-2的特征向量为（）A、 B、 C、 D、 【正确答案】：B 【答案解析】：A 选项中，C选
11、项中，D选项中，而B选项中，因此选择B（2014年10月真题）3.设1维3阶实对称矩阵A的2重特征值，则A的属于1的线性无关的特征向量个数为（）.A、 0 B、 1 C、 2 D、 3 【正确答案】：C 【答案解析】：本题考查实对称矩阵的性质，因为1是2重根，因此一定有2个线性无关的特征向量，参见教材P154.（2013年10月真题） 4.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=CTAC，则下述结论（）不成立。A、 A与B相似 B、 A与B等价 C、 A与B有相同的特征值 D、 A与B有相同的特征向量 【正确答案】：D 【答案解析】：C是正交阵，所以CT=C-1，B= C-1AC，因此A与B相似
12、，A对。C是正交阵|C|不等于0，CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等价，B对。两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对。（E-A）X=0，（E-B）X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D。 5.设A，B为正定阵，则（）。A、 AB，A+B都正定 B、 AB正定，A+B非正定 C、 AB非正定，A+B正定 D、 AB不一定正定，A+B正定 【正确答案】：D 【答案解析】：A、B正定对任何元素不全为零的向量X永远有XTAX0；同时XTBX0。因此A+B正定，AB不一定正定，甚至AB可能不是对称阵。 6.设f
13、=XTAX，g=XTBX是两个n元正定二次型，则（）未必是正定二次型。A、 XT（A+B）X B、 XTA-1X C、 XTB-1X D、 XTABX 【正确答案】：D 【答案解析】：因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值1，2，n都大于零，|A|0，设APj=jPj，则A-1Pj= Pj，A-1的n个特征值，j=1,2,n，必都大于零，这说明A-1为正定阵，XTA-1X为正定二定型，同理，XTB-1X为正定二次型，对任意n维非零列向量X都有XT（A+B）X=XTAX+XTBX0。 这说明XT（A+B）X为正定二次型，由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以XTABX未必为正定二次型。 7.设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3，则（）。A、 1/12 B、 1/7 C、 7 D、 12 【正确答案】：A 【答案解析】：8.设是矩阵A对应于特征值的特征向量，P为可逆矩阵，则下列向量中（）是P-1AP对应于的特征向量。A、 B、 P C、 P-1P D、 P-1 【正确答案】：D 【答案解析】：设P-1AP=B A=PBP-1又A=0 PBP-1=0B（P-1）= 0(P-1) 9.设A的特征值为1，-1，向量是属于1的特征向量，是属于-1的特征向量，则下列论断正确的是（）。A、 和线性无关 B、 +是A的特征向量 C、 与线
