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1、2 0 1 7 年 第 5 期 中 学 数 学 月 刊 21 顺 应 学 生 思 维 促 进 学 生 发 展 推导等比数列前n项和公式的教学案例 李湘（ 江苏省无锡市辅仁高级中学 214123) 1 背景描述1 背景描述 “ 等比数列前 项和” 是苏教版普通高中课程 标准实验教科书数学必修五第二章“ 数列”中的 重要内容之一， 教学对象为高一学生， 教学时数为 2 课时.本节课是第一课时， 重点是等比数列前 项和公式的推导方法和简单应用.等比数列前 项和既承接了数列的定义、 等差数列的有关知识 和内容， 又是后面学习数列求和与研究数列极限 的基础.等比数列前项和公式推导的方法， 对学 生来说是
2、学习中的一个难点， 教学时若直截了当 地给出教材中的“ 错位相减法” ， 无疑脱离了学生 的认知基础， 用波利亚的话来说， “ 就像是帽子里 突然跑出一只兔子式的证明这样的证明， “ 如果 引人注目的步骤的动机和目的是不可理解的， 那 么我们在论证和发明创造方面就学不到什么东 西” .为此， 教师必须站在学生的角度， 为学生着 想 ， 从学生的最近发展区出发， 通过稚化自己的思 维方式， 在教学设计时进行思维的重建， 以实现难 点的突破， 促进学生的理解. 教学过程是一个动态的过程.在这个过程中， 教师应与学生积极互动、 共同发展， 注重学生的独 立性和自主性， 引导学生质疑、 探究， 在实践
3、中学 习， 在操作中体验.教师的教学方式， 重要的是创 设丰富的教学情境， 信任学生的学习能力， 营造一 个轻松、 宽容的课堂气氛.教学活动要具有创造 性 ， 可以结合课堂具体情境和学生的兴趣即兴发 挥 ， 知识的学习不必遵循固定不变的程序， 应根据 学生的需要因势利导.学生的学习是一个主动建 构的过程， 不要把知识理解为“ 结果” ， 而是作为 “ 过程” 看待.1教学时应充分展示知识的发生和 发展的过程， 以问题为起点， 通过发现问题、 解决 问题的方式获取知识， 形成一种自主探究的教学 模式， 达到使学生掌握知识、 训练思维和发展能力 的目标， 培养学生的创新意识， 使学生学会理性思 考
4、.教师必须认真钻研教材， 充分挖掘教材的潜 能， 做好学情分析， 结合学生的认知特点， 精心设 计教学活动， 实施课堂教学. 2 片断实录2 片断实录 . 片 断 1设置问题情境 印度有一人发明了国际象棋， 国王非常喜欢 玩， 决定奖励这位发明者， 问他要什么奖励， 发明 家没有选金银珠宝， 他只要求国王在棋盘上放麦 粒， 但规定在第一个格子里放一颗， 第二个格子里 放两颗， 第三个格子里放四颗， 第四个格子里放八 颗， 依次下去， 后面的格子里放的麦粒数是前一格 的两倍， 棋盘共有64个格子.国王听了， 欣然答 应.请你想一想， 国王能不能满足发明家的要 求呢？ 这样引人课题出于以下三点考虑
5、： 1)利用学 生求知好奇心理， 以一个故事为切人点， 便于调动 学生学习本节课的趣味性和积极性； 2)事件内容 紧扣本节课教学内容的主题与重点； 3)有利于知 识的迁移， 使学生明确知识的现实应用性. 片断2组织探究活动 原以为学生会绞尽脑汁， 冥思苦想一番， 不料 生 1 很快举手， 追问如何求得， 生 1 是这样回 答的： 这个问题跟前面讲等比数列通项时的细胞分 裂相似但又有区别， 不同处在于细胞分裂成两个 后本身就消失了， 而在这个问题中每个格子的麦 粒是不会消失的， 所以最后算多少麦粒时要把每 一个格子加上去， 那么第1 格 是 1 粒 ， 第 2 格 是 2 粒， 第 3 格是22
6、粒 ， 第 64格是263粒， 所以64格总 共应有（ 1 + 2 + 22+ + 26 3 )粒. (大家都点头表示赞同） 师:从解应用题的角度来讲同学们已经完成 * 江苏省教育科学“ 十二五” 规 划 2015年度重点自筹课题“ 教 师 稚 化 思 维 ， 促进学生理解” 的理论与实践研究以高中数学为例 (Bb/2015/02/217)研究成果. 22 中 学 数 学 月 刊2 0 1 7 年 第 5 期 了第一步， 能够根据题目意思列出相应的式子， 那 么， 第二步就是我们考虑去解这样的式子， 在解之 前我想先请大家对最后结果大胆地猜测一下. 这时学生的情绪非常高涨， 答案有100亿到1
7、 000亿粒不等. . 片 断3实现意义建构 师:要知道我们猜测的数据正确与否或者说 谁的误差更小些， 我们就必须给出这个式子的正 确解答过程.我们再来仔细看一下这个式子， 很显 然 1， 2,22,， 263是一个等比数列， 共有64项 ， 那 么也就是说我们现在要做的就是求一个等比数列 前 64项的和.一般地， 设等比数列a的前w项 和是S = 心 + a2 + 3 H-.请同学们探究： 怎样求出S 呢？ 让学生探究讨论不等于放任， 要想让学生成 功探究， 教师必须顺应学生思维， 做好铺垫， 引领 学生的思考. 问 题 1问 题 1已 知s 1 2 + 2 3 1 (n l)n ， 求S
8、生 1:用裂项求和法， 因为y yn 1 一 l)nn 一 1 一，所 以 二 n (A- 丄)+丄二 d n 1 n n n 师:非常好！为什么要用裂项求和法， 裂项的 目的是什么？ (这是一个关键问题， 引导学生理解减少项数 是数列求和的目标） 生 1:裂项之后可以出现正负相消， 从而达到 减少项数的目的. 问题2 问题2 在前面推导等差数列求和公式的时 候我们用的是什么方法？ 生 2:倒序相加法. 师:很好！为什么要用倒序相加法， 倒序相加 的目的是什么？ 生 2:倒序相加后利用等差数列的性质ai + a =a2 =a3 +a_2 = ， 从而达到减少项数 的目的. 师:很好！通过以上两
9、个问题可以看出， 在解 决数列求和问题时， 一般的方法是利用数列的性 质减少项数， 从而达到简化的目的.当然， 减少项 数的方法有很多， 比如在解方程组时的消元也是 这个原理. 问 题 3 已 知 ， ；问 题 3 已 知 ， ；y ， z R ， lx y z =?, 2x + 2j; + 5; = 9 , 生 3:第二个式子减去第一个式子乘2,就可 以得到z = 1. 师:乘以2 和作差的目的是什么？ 生 3:乘以2 和作差之后能达到减少变量的 目的 师:很好， 还有其他方法吗？ 生 4:可 以 把 + ；y看作一个整体， 由第一个 式 子 得 + ；y = 3 z， 代人第二个式子， 就
10、可以得 到z = 1， 这里我用代人消元法， 达到减少变量的 目的 师:非常好！回答得很全面， 以上两种消元的 方法是我们在解方程组中常用的手段， 能否将它 应用到数列求和中呢？我们一起看开始提出的问 题， 设 等 比 数 列 的如w项和是S =2: +a2 + a3 + “ + a S. 生 5 :设等比数列a 的 公 比 为 尹 0)，S = a i +a2 +3 H-， 在式子两边同时乘以g， qSn =qaj -qa2-qa3 - -qan M 5 M (lg)S = 所以， 当 g 尹 1 时，S = a 1 (1 Qn ) -1-， 当 g =1 时，S = wa! . 师:太棒了
11、！你是怎么想到这样的方法？ 生 5:我是受了前面的启发， 我第一时间想到 的是减项， 然后由解方程组中的加减消元法想到 了这个方法. 师:很好， 那么这个公式你认为应该注意哪些 问题？ 生 6:我觉得公式应该对g = 1 与g尹1进行分 类讨论. 生L我觉得等比数列的项数还应该值得 重视. 师 ： 我们在运用公式时要注意对7的讨论以 及数列的项数.我们把这种证明方法叫作错位相 减法.（ 教师板演） （ 这种求和的思路在解决某些求 和问题时经常用到， 应使学生掌握）那么除了这 种证法还有没有其他证法呢？ 生 8:由等比数列通项得a2 = 19, 3 = ，an i 二an 2q，cin =an
12、iq 1 将上面个等式的等 2 0 1 7 年 第 5 期 中 学 数 学 月 刊 23 号两边分别相加， 得S 心 =S w g，S = 心 + gS ! =a! + g(Sa )， （ l g)S =a! ag 当 q ,S n = - ; q = 1 0 t,S =nai. 1 9 生众: 26 4 1. 师 ： 假定千粒麦子重约40 g(2. 5X107粒重约 1 吨） ， 请大家用计算器计算出棋盘上的麦粒约多 少吨？ 生 9:(板演） 由等比数列的定义， 得- a n 一 w 、 -2 c l i a n 二g， 运用等比定理，i , in-1 a 1 -a2 - a n-i 于是
13、Sw Sw ， 得 出s. 1 anq l q (q V 或 S 二 -g (q 7 1) Sn na1(q =1). 生 10:(板 演 ) 二 心 + a2 + a3 H- -+a， 则 S n =ai q(a1 a2 H-ha-i) a 1 -qSn-i. iX a , a i cinQ Sn = ! + g(S a),P S = !-(q 7 1) S =nal (q = 1). . 片 断 4建立数学理论 师:非常好， 同学们能够想出三种不同的方法 相当不容易， 我们再来仔细学习以上三种方法： 生 8 根据等比数列的定义， 用迭加的方法进行减项， 推导出了等比数列忪的前项和公式； 生
14、 9 围 绕等比数列的基本概念， 从等比数列的定义出发， 运用等比定理进行减项， 从而导出了公式； 生10 利用代人消元法的技巧进行减项， 从而得到公式； 当然还有我们一开始用的错位相减法也是相当重 要的方法， 这种方法在以后的习题中还会大量 出现. 由此， 我们得出了求等比数列的前项和的 I na” 公式 s =!从学生的认知水平出发， 疑 学生之所疑， 惑学生之所惑.根据学生可能出现的 困惑适当地设疑， 从而引发学生的认知冲突.此 时， 教师故意对所教知识或所要解决的问题表现 出一种陌生感和新鲜感， 并以极大的热情和学生 一起探寻答案， 与学生共同探求知识的来龙去脉. 当学生尝试多种解题思
15、路未果而思维受挫时， 教 师则不露声色地引导和点拨， 或归纳总结或类比 推理， 艺术地把学生导向正确的解题思路， 让学生 体验到柳暗花明又一村的喜悦.学生不仅掌握了 H-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1 (上 接 第 1 0 页 ） x 教师对学生予以了充分的肯定， 并进一步提 出： 由此你能提出什么问题来研究？ 学生受到教师的鼓励后， 信心倍增， 进行了热 烈的讨论， 陆续提出一些问题， 如反比例函数所在 的象限是有谁决定的呢？反比例函数的增减性是 由谁决定的？如何来证明它的增减性？反比例函 数为什么不会经过坐标轴？反比例函数是轴对称 图形吗？是中心对称图形吗？如何证明它的对称 性呢？ 教学中， 教师放手让学生提出问题， 充分尊重 知识， 还获得了成就感和自信心， 而教师在获得了 知识或解决问题后表现出恍然大悟的表情也极大 地激发了学生对本学科的学习热情.更为重要的 是， 教师通过不断地设疑释疑， 展示了自己的思维 过程， 揭示了知识的来龙去脉， 沟通了师生之间的 思维信息， 使师生之间在认识水平上达到同频， 引 起了教师教与学生学的思维共振.4这样学生不 仅学到了知识， 而且学会了研究问题和探究学习 的方法， 学会了“ 发现
