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1、贵阳市2019年高三适应性考试(二)理科数学第卷(选择题60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知,则=( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求得集合A,然后进行交集运算即可.【详解】求解不等式可得:,结合交集的定义可知:.A.【点睛】本题主要考查集合的表示方法,交集的定义与运算等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知是虚数单位,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可.【详解】由复数的运算法则有:.故选:B.【点睛】对于复数的乘法,类似
2、于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可;对于复数的除法,关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.3.如图,在边长为的正方形内随机投掷个点,若曲线的方程为,则落入阴影部分的点的个数估计值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何概型公式可得落入阴影部分的点的个数估计值.【详解】由题意结合几何概型概率公式可得落入阴影部分的点的个数估计值:.故选:D.【点睛】本题主要考查几何概型公式及其应用,属于基础题.4.关于函数的下列结论,错误的是( )A. 图像关于对称B. 最小值为C. 图像关
3、于点对称D. 在上单调递减【答案】C【解析】【分析】将函数的解析式写成分段函数的形式,然后结合函数图像考查函数的性质即可.【详解】由题意可得:,绘制函数图像如图所示,观察函数图像可得:图像关于对称,选项A正确;最小值为,选项B正确;图像不关于点对称,选项C错误;在上单调递减,选项D正确;故选:C.【点睛】本题主要考查分段函数的性质,函数图像的应用,函数的性质等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.运行如图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和则输出的值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合流程图利用判定条件确定输出的数值即可.【详解】由于,据此结合流程图
4、可知输出的数值为:.故选:C.【点睛】本题主要考查流程图的阅读,实数比较大小的方法,对数的运算等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.已知,若,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数的解析式和函数部分奇函数的特征可得的值.【详解】由题意可得:,而.故选:D.【点睛】本题主要考查函数值的求解,函数部分奇偶性的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.某几何体的三视图如图,则它的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意知该几何体是一个底面半径为高为2的圆柱, 根据球与圆柱的对称性, 可得外接球的半径8.函数,的值
5、域是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先整理函数的解析式,然后结合函数的解析式可得函数的值域.【详解】由于,其中,tan,又0x,x+,当x+时,函数取最大值5,又函数在(0,)上单调递增,在(,)单调递减, 当x0时,函数取最小值4,故函数的值域为4,5故选:A.【点睛】本题主要考查辅助角公式,三角函数值域的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知实数,满足线性约束条件,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先画出可行域,然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数
6、即:,其中z取得最小值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小,据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,联立直线方程:,可得点的坐标为:,据此可知目标函数的最小值为:.故选:B.【点睛】本题考查了线性规划的问题,关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义,属于基础题.10.双曲线的两条渐近线分别为,为其一个焦点,若关于的对称点在上,则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得对称点的坐标,然后结合点在渐近线上得到a,b之间的关系即可确定双曲线的渐近线方程.【详解】不妨取,设其对称点在,由对称性可得:,解得:,点在,则:,整理可得
7、:,双曲线的渐近线方程为:.故选:D.【点睛】本题主要考查双曲线的性质,双曲线渐近线的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.不等式,恒成立,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的特征,然后结合函数图像求得k的取值范围即可确定k的最小值.【详解】令,则,很明显函数的周期为,由导函数的符号可得函数在区间上具有如下单调性:在区间和上单调递增,在区间上单调递减,绘制函数图像如图所示,考查临界条件,满足题意时,直线恒在函数的图像的上方,临界条件为直线与曲线相切的情况,此时,即的最小值为.故选:A【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质,导函数
8、求解切线方程,数形结合的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.过椭圆的左焦点的直线过的上端点,且与椭圆相交于点,若,则的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先设出点的坐标,然后利用点在椭圆上即可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可得,由得,点A在椭圆上,则:,整理可得:.故选D.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:求出a,c,代入公式;只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2a2c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)
9、,解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)第卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.展开式中的常数项为_【答案】.【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】通项公式Tr+1(x2)6r(1)rx123r,令123r0,解得r4展开式中的常数项15故答案为15【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题14.的内角,的对边分别为,且,则_【答案】【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角,然后结合诱导公式和同角三角函数基本关系即可确定的值.【详解】由题意结合正弦定理有:,即,整理变形可得:,即.【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系,
10、正弦定理及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.用一个平面去截圆柱,截得一离心率为的椭圆,则平面与圆柱底面所成锐二面角的余弦为_【答案】.【解析】【分析】根据椭圆的几何特征,椭圆上两点间的最长距离是长轴长,最短距离是短轴长,结合轴截面图形进行求解即可【详解】设圆柱的底面直径为2,所以由题意可得椭圆的短轴长是2,又椭圆的离心率为e,椭圆的长轴长为, 又过椭圆长轴的轴截面图形如图,JK是底面直径,长度为2,三角形是直角三角形,椭圆的长轴长=LJ,cosKJL=故答案为.【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题,以及椭圆的性质,是解析几何与立体几何结合的一道综合题16.圆与曲
11、线相交于,四点,为坐标原点,则_【答案】.【解析】【分析】先求得圆心坐标,再利用圆与曲线的对称性结合向量的加法法则可得 ,计算即可.【详解】圆的圆心为M(-3,2),圆关于M(-3,2)中心对称,又曲线,关于(-3,2)中心对称,圆与曲线的交点关于(-3,2)中心对称,不妨设与,与关于(-3,2)中心对称,则,, ,故答案为.【点睛】本题主要考查圆及反比例函数的对称性的应用,平面向量的运算法则,意在考查学生的转化能力,属于中档题.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.等差数列的前项和为,公差,已知,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)记
12、点,求证:的面积为.【答案】(1) .(2)见解析.【解析】【分析】(1)由题意求得首项和公差即可确定数列的通项公式;(2)结合(1)中的通项公式可得前n项和公式,结合图形的特征计算三角形的面积即可.详解】(1)由题意得由于,解得,;(2)由(1)知的面积 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式的求解,数形结合的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.是衡量空气污染程度的一个指标,为了了解市空气质量情况,从年每天的值的数据中随机抽取天的数据,其频率分布直方图如图所示.将值划分成区间、,分别称为一级、二级、三级和四级,统计时用频率估计概率 .(1)根据年的数据估
13、计该市在年中空气质量为一级的天数;(2)如果市对环境进行治理,经治理后,每天值近似满足正态分布,求经过治理后的值的均值下降率.【答案】(1)91.(2) .【解析】【分析】(1)由频率近似概率,计算空气质量为一级的天数即可;(2)先由频率分布直方图求解未治理前的均值,再由正态分布得到治理后的均值,从而可得均值下降率.【详解】(1)由样本空气质量的数据的频率分布直方图可知,其频率分布如下表:值频率由上表可知,如果市维持现状不变,那么该市下一年的某一天空气质量为一级的概率为,因此在天中空气质量为一级的天数约有(天).(2)如果市维持不变,那么该市的值的均值约为 由于该市的环境进行治理,治理后每天值
14、近似满足,所以治理后的值的均值为,因此市治理后的值的均值下降率为【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用,考查了均值的运算及正态分布的知识,考查计算求解能力,属于中档题.19.如图(1)中,分别是与的中点,将沿折起连接与得到四棱锥(如图(2),为线段的中点.(1)求证:平面;(2)当四棱锥体积最大时,求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】【分析】(1)作出辅助线,结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论;(2)先证得体积最大时,平面,建立空间坐标系,求得平面的法向量,利用空间向量法求解线面角即可.【详解】(1)取的中点,连接,由于是的中点,且又,分别为与的中点,且,四边形为平行四边形,又平面,平面,平面.(2)当四棱锥体积最大时,平面平面由于,平面,建