高三数学算法案例9.

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1、算法案例,1.多项式求值的秦九韶方法,如果给定一个多项式, (3. 4.1) 其中 现在的问题是，给定一个x的值，要求多项式函数 的值。对于这个问题，一种看起来很“自然”的方法是直接逐项求和。如果用 表示x的k次幂， 表示式(3. 4.1)右端前k +l项的部分和，即,由于x的k次幂实际上等于其次幂再乘上x，而前k+1项的部分和等于前k项的部分和再加上第k +l项，因此，逐项求和的方法可以归结为如下的递推关系：,(3.4.2),作为递推公式(3.4.2)的初值为:,(3.4.3),这样，就可以利用初值(3.4.3)，对于k=1，2，直到n，反复利用公式（3.4.2)进行计算，最后就可以得到。其

2、算法描述如下:,(1)逐项法多项式求值。 输入：存放 的系数数组A(0：n）；,自变量x值。其中,输出： 值P,PROCEDURE CPOLY（A，n，x，P） FOR i=2 TO n DO OUTPUT P RETURN,在这个算法中，为了计算一个x点处的函数,共需要作2n-1次乘法和n次加法。还能不能减少乘法的次数呢？我们可以将式(3. 4. 1)的右端按降幂次序重新排列，并将它表述成如下嵌套形式,这样，就可以利用式(3.4.4)的特殊结构，从里往外一层一层地进行计算，即按如下递推关系进行计算：,最后可得结果,(3.4.4),（3.4.5）,这种多项式求值的方法是由我国宋代的一位数学家秦

3、九韶最先提出的，我们称之为秦九韶方法，在有的书上也叫霍纳(Horner)方法。其算法描述如下: 算法3.2多项式求值的秦九韶方法 输入：存放 的系数数组A(0：n)； 自变量x值。其中 。 输出： 值P。,PROCEDURE CHORNER（A,n,x,P） FOR i=n-1 TO 0 BY -1 DO OUTPUT P RETURN,由秦九韶算法可以看出，多项式函数的求值只要用一个很简单的循环就能完成，并且在这个循环中只需要作n次乘法和n次加法就够了。它在实际使用中是一个很有效的方法。,例. 中国剩余定理（孙子定理）若k2，且m1，m2，mk是两两互素的k个正整数，令M= m1m2mk=m

4、1M1=m2M2=mkMk。 则同余式组：x1=b1(modm1)，x2=b2(modm2)，xk=bk(modmk) 其正整数解是：Xb1M1M1+b2M2M2+bkMkMk(modM) 其中Mi是满足同余式： MiMi1(mod mi) （i = 1，2k） 用孙子定理解同余式组： xi=bi(modmi) （ i = 1，2k ）的算法步骤如下：,2.对半法查找(二分法)算法,对这种算法的实质是在一个有限且有序的对象中，通过每次缩减一半查找范围而达到迅速确定目的一个有效算法。因此有着很广泛的应用。例如，在数学中有很多方程是写不出根的解析表达式的，但是根的存在范围比较容易确定，那么如何才能

5、找到它的根的一个足够准确的近似值呢？这时对半查找算法就可以大显身手了。,由初等函数f(x)=0构成的方程，如果有f(a)f(b)0，则用c值取代相应的a或b（取代原则是：保证有f(a)f(b)0），这样（a , b）的长度就只有原来的一半，我们可以更小的范围找到根。当有根的区间的长度足够小（通常是小于预先指定的误差），这时区间内任意两点的距离都小于区间的长度，所以区间内的任意一点都可以用来当方程根的近似值。这个就是对半求根法,参考算法：,第一步 确定有解区间,第二步 取 的中点,第三步 计算函数f(x)在中点处的函数值 。,第四步 判断函数值 是否为0。 （1） 如果为0， 就是方程的解，问题

6、就得到了解决。 （2） 如果函数值 不为0，则分下列两种情形： 若 ，则确定新的有解区间为 ； 若 ，则确定新的有解区间为,第五步 判断新的有解区间的长度是否小于精确度： （1）如果新的有解区间长度大于精确 度，则在新的有解区间的基础上重复上述步 骤； （2）如果新的有解区间长度小于或等 于精确度，则取新的有解区间的中点为方程 的近似解。 对半求根的过程可以用如下框图表示（图4-1） 用流程图表示如下：,例（对半法求方程解）： 方程x-3sinx=0 有一个根，试把它求出来，要求准确到0.0001。,例 闰年问题：输入年份y，判断该年份是否为闰年并输出结果。 设y为年份，按照历法的规定，如果y

7、为闰年，那么或者y能被4整除但不能被100整除，或者y能被400整除。可以用选择结构将上述算法表示如下： 若y不能被4整除，则输出“y不是闰年”； 若y能被4整除，则判断y是否被100整除，则：,（2）若y能被100整除，则判断y是否能被400整除，则：,（1）若y不能被100整除，则输出“y是闰年”, 若y能被400整除，则输出“y是闰年”；, 若y不能被400整除，则输出“y不是闰年”。 这个算法的流程图如下图4-3：,小球运动问题 问题： 小球从10米高处自由下落，每次弹回的高度大约是下落高度的70%。当小球弹起的高度不足最初高度的千分之一时，小球很快就会停止跳动。计算小球在整个弹跳过程

8、中所经历的总路程（忽略高度不足原高度千分之一的部分）。 分析问题 小球的运动由多次的下落和弹起构成，但弹起的次数并不容易知道。小明把小球每次下落和弹起的路程列出，如表3-1所示，试图寻找一些规律。,从表中容易看出：小球每次弹起的距离就是本次下落距离的0.7倍，而每一次下落距离等于上一次弹起的距离，即 Ln=0.7Hn Hn+1=Ln 其中Hn第n次下落的距离，Ln为第n次弹起的距离，n=1，2，3，H1=10。把它们都相加，即可求出问题的解： S=(H1+L1)+(H2+L2)+(H3+L3)+,设计算法 根据上述的分析，我们可以写出解决问题的算法如下：,令H=10； 令S=0； L=0.7H

9、； S=S+H+L； H=L； 如果L10/1000，返回第 输出S的值； 结束,例一个关于栽树数量的I.Q.题,小陆学校的3个环保活动小组经常利用节假日去栽树。有一天，李老师问小陆3个小组各栽了多少树？因为李老师是教数学的，小陆就调皮的回答：“3个小组的栽树数量相乘的积是30723，您能把3个组的栽树数量算出来吗？”李老师说：“只有这个条件不能确定答案呀。你能补充点情况吗？”于是小陆补充说：“A组都是大个子同学组成的，栽的树虽然不到100棵，但比另外两组合起来的还要多。栽树最少的C组也早就超过了10棵。”这是李老师说，“那我算出来了。”李老师是怎样算出来的呢？,老师后来告诉小陆，她用的是穷举

10、法。 穷举算法的思路是，列举出所有可能的情况，逐个判断有哪些是符合问题所要求的条件，从而得到问题的解答。,.Q.题很有意思，但它用对话的形式表达，有些条件不够明确，因此需要用数学语言来描述它。(用数学语言描述问题，叫做建立数学模型。在解决实际问题时，一般都需要为这个问题建立数学模型)。,问题 a、b、c是三个整数，100 a b c 10，abc=30723，且a b+c，试确定a、b、c的值。 分析问题 解决这个问题应当从abc=30723入手。把30723三个整数相乘的积，只能有有限种情况，我们可以把这些情况一一罗列出来，然后分析哪一种情况是符合条件的。从而找到答案。(在列举所有情况时，注

11、意三个因子都大于10，这可以减少列举的工作量)。,把30723分解为3个大于10的因子的乘积只有5种情况 1119147(三个因子的和是177) 1121133(三个因子的和是165) 194957 (三个因子的和是101) 114957 (三个因子的和是117) 192177 (三个因子的和是117) 在这5种情况中考察，符合ab+c而且最大的数小于100的，只有最后一种情况，即a=77，b=21，c=19。,计算算法 设计穷举算法的关键是如何列举所有可能的情况，绝对不能遗漏，最好不要重复。在列举时注意变量的范围，可以减少工作量。 我们可以从最小的变量c入手，让它从10开始变化。但变化的范围

12、到哪里为止呢？粗略估算一下，三个数相乘是30723，最小的c不超过它的立方根。我们可以用平方根做近似替代，不必作太多推算。 当c值产生之后，就可以处理变量b。因为它不小于c，让它从c开始，也让它变化到30723的平方根。 有了c和b的值之后，就要判断他们是否都是30723的因子。如果是，计算出第三个因子a，然后进行判断：a是否大于b+c并且a100。满足条件就是解答了。,例题 (钱币问题),在日程生活中常常需要用一些较小面额的钱币去组合出一定的币值。现有面值为1元、2元和5元的钞票(假设每种钞票的数量都足够多)，从这些钞票中取出30张使其总面值为100元，问有多少种取法？每种取法的各种面值的钞

13、票各为多少张？,分析问题,显然列出一条算式来解决钱币问题是有困难的。既然解析法很难用上，我们尝试通过列举所有可能的情况(穷举)，从中判断出合符条件的解答。,当钞票数量比较多，总币值比较大时，人工列举所有钞票组合(穷举)就很麻烦，这时需要使用计算机来帮我们穷举。但使用计算机来穷举，必须清楚地说出穷举的每一个步骤，并通过程序设计语言转化为计算机能后执行的过程，才能解决问题。 钱币问题有3种面额的钞票，钞票的总张数是30张，又应当如何穷举呢？经分析可以知道：当有两种面额的钞票数目确定了之后，可以从总张数为30确定第三种钞票的张数，然后由总面额是否100元而判断这个组合是否合乎要求。此外，先确定面额大

14、的钞票可以使穷举的次数少些。,设计算法 用ONE、TWO、FIVE分别记录1元、2元、5元钞票的张数。变量ANSWER记录符合条件的解的数目。穷举的过程如下：,让ANSWER=0，FIVE=0； TWO=0 让ONE=30 TWO FIVE； 检查5FIVE2TWOONE 是否等于100，若是， 则得到一组解，这时让ANSWER增加1。并且输出解答 如果TWO30，那么让TWO增加1，转步骤； 如果FIVE20，那么让FIVE增加1，转步骤 结束 可把这些步骤用框图表示如图4-7：Click to display,汉诺(Hanoi)塔问题是一个著名的应用递归算法解决的问题。 问题4-17： 传

15、说在古代印度的贝拿勒斯神庙里安放了一块黄铜板，板上插了三根宝石柱，在其中一根宝石柱自上而下由小到大地叠放着64个大小不等的金盘。一名僧人把这些金盘从一根宝石柱移到另外一根上。僧人在移动金盘时遵守下面3条规则： 一次只能移动一个金盘。 每个金盘只能由一根宝石柱移到另外一根宝石柱。 任何时候都不能把大的金盘放在小的金盘上。,神化说，如果僧人把64个金盘完全地从一根宝石柱移到了另外一根上，世界的末日就要到了。当然，神化只能当故事听，世界不可以因为个别人的活动而导致末日。不过，如果能够计算出僧人按规则搬完64个金盘，地球能否继续存在也的确是个问题！因为即使僧人的动作十分敏捷，每秒都能移动一个金盘，那也

16、得要几亿年！,分析问题 要模拟金盘的移动过程是比较困难的，但如果用递归的思想来进行(压缩规模，把问题解决在最简单的情况)，则问题可以解决。 我们把3根宝石柱分别命名为A、B、C。最初有N个金盘放在A，需要把它们全部按规则移动到B。 当N=1时，直接把金盘从A搬到B就可以了，1次成功。 当N2，那么需要利用C柱来过渡。按照递归的思想，我们假设已经找到一种把N1个金盘从一根柱搬到另外一根柱的方法，然后看看如何通过它来实现搬动N个金盘。我们只要把N1个金盘从A搬到C，然后把最大的金盘从A搬到B，最后把C上的N1个金盘搬到B就可以了。靠递归的思想，我们轻而易举地完成了整个搬动。,设计算法 我们定义一个过程Hanoi(N，A，B，C)，表示有N个金盘需要从A柱搬到B柱(以C