基于微分方程的模型

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1、微分方程模型,当我们描述实际对象的某些特性随着时间（空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。,我们来建立如下的一些问题的模型：,我们通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。,2、Malthus模型,3、Logistic模型,1、Lanchester作战模型,一 问题的背景 第一次世界大战期间，战争给人们带来了许多灾难。一

2、场 战争的结局怎样，是人们关心的问题，同样也引起了数学家们 的注意，能用数量关系来预测战争的胜负吗？ F.W.Lanchester 首先提出了一些预测战争结局的数学模型， 后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历 史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战 和1975年结束的越南战争。 Lanchester作战模型虽然比较简单，对局部战争还是有参考 价值，为研究社会科学领域中的实际问题提供了借鉴的示例。,兰彻斯特（Lanchester） 作战模型,问题：两军对阵，现甲军有 个士兵，乙军有 个士兵，试讨论战斗过程中双方的伤亡情况以及最后的结局。,分析： 影响战争的因素： 兵

3、员的多少，武器的配备，指挥员的艺术，地理位置的优劣，士气的高低，兵员素质的高低，后勤供应充分与否等。 抓主要矛盾： 兵员的多少，武器的配备，指挥员的艺术。若武器配备与指挥员水平相当，则重中之重便是兵员多少的问题。,假设： 甲、乙双方的战斗力完全取决于两军的人数。 设 时刻 甲、乙双方的人数分别为：,假设： 2) 甲、乙双方人员的变化主要是战斗减员、非战斗减员和增援部队。以甲方为例，设 分别表示非战斗减员率、战斗减员率和增援率。 则有 3) 假设,正规战争模型,双方均以正规部队作战,混合战争模型,甲军为游击部队，乙军为正规部队,游击战争模型,双方都用游击部队作战,令 表示 t 时刻甲军人数，,表

4、示 t 时刻乙军人数。,在以上假设下，显然甲军人数越多，乙军伤亡越大，反之亦然。,甲军人数的减员率与乙军人数成正比；,乙军人数的减员率与甲军人数成正比。,正规战争模型,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力,双方均以正规部队作战,所以正规战争模型为,其中 均为常数，,忽略非战斗减员,假设没有增援,令 表示 t 时刻甲军人数，,表示 t 时刻乙军人数。,a ( 或 b ) 越大，表示乙军（或甲军）战斗力越强。,记E 称为甲军与乙军的交换比，,联立方程(1)求解得,分离变量并积分得,初始条件为,(3)式就是“兰彻斯特平方定律”，它在xoy平面上是一族双曲线，如图,分离变量并积分得 ：,图上箭头表

5、示兵力随时间而变化的方向。,由图可知,若 ，乙军胜，且当y减少到 时，x将为零；,若 ，平局，且当y减少到零时，x也减少到零；,若 ，甲军胜，且当x减少到 时，y将为零。,为判断战争的结局，不求x(t), y(t)而在相平面上讨论 x 与 y 的关系,对于乙军来说，为了保持取胜的战斗态势，当然希望 ，即,所以要想取胜，要么士兵多，要么增加士兵的战斗力；因此，如果士兵的战斗力强，当然可以以少胜多。,另一方面，(5)式可写成,(6)式说明双方初始兵力之比以平方关系影响着战争的结局。,例如，若乙方兵力增加到原来的两倍（甲方不变），则影响战争结局的能力增加到4倍；或者说，若甲方的战斗力增加到原来的4倍

6、，那么为了与此相抗衡，乙方只需将初始兵力增加到原来的2倍，由于这个原因，正规战争模型又称为平方律模型。,例如：如果战争开始时甲军为6000人，乙军为3000人。,当交换比E1时，即两军的装备和战斗力差不多时，由(4)式可确定,从而得微分方程特解,由于交换比为1，而甲军人数占优势，故乙军失败。,当乙军被消灭光时，即y0,甲军还剩下的人数,即甲军损失人数为 60005200800人,可见，中国古代凭战争经验总结出来的“杀人三千，自损八百”确实存在数学上的理论根据。,如果交换比E= 得,甲军胜,当y0时，,所以甲军损失：,600030003000人，,即杀人3000自损3000。,如果交换比E,所以

7、当乙军被消灭,即y0时，x0，即双方“同归于尽”。,如果交换比E 得,乙军胜,当x0时，,这说明虽然乙军人少，但能以一当五最后战胜甲军，而只损失了1660人。,可见，战争胜负的决定性的因素是“交换比”，即装备和战斗力（包括将帅的指挥和官兵的素质及勇气），而不仅是人数，人数只是我们决定战斗的形式，例如人多势大可以用来分割围攻、打进攻战；人少势弱只能回避锐利、打防守战、游击战。 总之，在未来的战争中，要想取胜，不能抱着人多势重的思想，而应大力进行国防现代化的建设，以提高我军对敌作战的交换比。,为判断战争的结局，不求x(t), y(t)而在相平面上讨论 x 与 y 的关系,平方律 模型,问题：如果两

8、军作战时有增援，其作战模型如何？,令f (t)和g(t)分别表示甲军和乙军t时刻的增援率，,则正规战争模型为,J.H.Engel用二次大战末期美日硫黄岛战役中的美军战地记录，对正规战争模型进行了验证，发现模型结果于实际数据吻合得很好。,硫黄岛位于东京以南660英里的海面上，是日军的重要空军基地，美军在1945年2月19日开始进攻，激烈的战斗持续了一个月，双方伤亡惨重，日军守军21500人全部阵亡或被浮，美军投入兵力73000人，伤亡20265人，战斗进行到28天时美军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止。美军的战地记录有按天统计的战斗减员和增援情况，日军没有后援。根据实际战地记录，由正规战争模

9、型得到的美军伤亡的理论曲线与实际伤亡曲线相当吻合。,记 表示t时刻游击队人数；,表示t时刻正规军人数。,假设：,(1)游击队的战斗减员率与 及 的乘积成正比，因为 越大，目标越大，被敌方子弹命中的可能性越大，另一方面， 越大，火力越强，,(2)正规军的战斗减员率与游击队人数成正比。,(3)游击队和正规军的增援率分别为f(t)，g(t)。,混合战争模型,甲方为游击部队，乙方为正规部队,的伤亡人数也就越大。,则混合战争模型：,其中 为常数。,称为正规军的战斗有效系数；,称为游击队的战斗有效系数；,战斗中，若双方都无增援，即f(t)g(t)0，,则(7)变为,由(8)得,积分,若初始条件为,(9)式

10、在xoy平面上是一族抛物线，如图,图中箭头表示兵力随时间而变化的方向。,由图知：,若M0，乙军胜，且当y减少到 时，x将为零；,若M0，平局，且当y减少到零时，x也将为零；,若M0，甲军胜，且当x减少到 时，y将为零。,0,因此对于正规军来说，为了保证取胜的战斗态势，必须M0，即,所以正规军取胜的条件：,其中 是正规军的射击率（每个士兵单位时间射击次数），,由于 分别表示正规军与游击队的战斗有效系数，所以可将它们表示为,是正规军每次射击的命中率；,是游击队的射击率（每个士兵单位时间射击次数），,是游击队每次射击的命中率。,但在战斗过程中，可假定正规军在游击队的火力之内且游击队每次射击是有目标的

11、，而游击队虽然在正规军的火力之内，但活动范围大且是隐蔽的，所以正规军每次命中率与游击队活动范围及每次射击的打击面有关，,因此 又可表示为,表示游击队的活动范围；,表示正规军每次射击有效面积。,所以,将(12)代入(11)得正规军取胜的条件：,假定正规军的作战火力比游击队作战火力强，,不妨设 ；,游击队的作战兵力 100人，,命中率 0.1，,活动范围 0.1平方千米，,正规军每次射击的有效面积 1平方米，,则由(6-13)式，正规军取胜的条件为,即正规军必须10倍于游击队的兵力才能取胜。,美国人曾用这个模型分析越南战争（甲方为越南，乙方为美国）。根据类似于上面的计算以及四、五十年代发生在马来西

12、亚、菲律宾、印尼、老挝等地的混合战争的实际情况估计出，正规军一方要想取胜必须至少投入8 倍于游击队一方的兵力。而美国最多只能派出6倍于越南的兵力。越南战争的结局是美国不得不接受和谈并撤军，越南人民取得最后胜利。,游击战争模型,双方都用游击部队作战,甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加,请同学们课下自学！,为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。首先我们建立两个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。,人口模型,1800,10,人（亿） 年,1930,20,1960,30,1974,40,1987,50,1999,60,2033,1

13、00,我国人满为患的情况更令人担忧。据资料记载：,1760,2,人口（亿） 年,1900,4,1953,6,1974 计划生育,9.2,1990,11.6,2005,13,联合国从1988年起，把7月11日定为世界人口日。,1989,11,1995,12,影响人口增长的因素很多,人口的多少,出生率的高低,人口男女比例的大小,人口年龄组成情况,工农业生产水平高低,各民族的风俗习惯,自然灾害,战争,人口迁移等等.如果一开始把众多因素全考虑,则无从下手.我们先把问题简化,只考虑影响人口的主要因素增长率(出生率减去死亡率),其余因素暂不考虑,建立一个较粗的数学模型.在这个模型的基础上逐步考虑次要因素的

14、影响,从而建立一个与实际更加吻合的数学模型.,初看起来人口增长是按整数变化的,不是时间的可微函数,是不能用微分方程来描述的.但是若人口总数很大时,可以近似认为它是时间的连续函数,甚至是可微的函数.所以人口增长可以用微分方程来描述.,1 简单模型,要预报未来若干年的人口数，两个重要因素： 当前的人口数 ，今后这些年的增长率 （出生率-死亡 率）,一年后，人数增加到,k 年后，人口数为：,若想知道任何时刻的人口数，怎么办？,对时间连续化！,两年后，,英国人口学家马尔萨斯(Malthus，1766-1834)根 据百余年的人口统计资料，于1798年提出了人口指 数增长模型。他的基本假设是：单位时间内

15、人口的 增长量与当时的人口总数成正比。若已知 时的 人口总数为 ，试根据马尔萨斯假设确定出时间t与 人口总数N(t)之间的函数关系。根据我国国家统计局 1990年10月30日发表的公报， 1990年7月1日我国人 口总数为11.6亿，过去8年的年人口平均增长率为 14.8。若今后的年增长率保持这个数字，试用马尔 萨斯方程预报2000年我国的人口总数。,解：记时间t时的人口总数为N(t)。设单位时间内人 口的增长量与当时人口总数之比为r，r是与时间无 关的常数。根据马尔萨斯假设，,令 ，得到下述微分方程：,这是一个可分离变量的微分方程，容易解出方程满 足初始条件的解为：,利用式，将,代入，可预报出2000年我国的人口总数为,考虑：当 时，,。将 代入,方程，可得,。当t取年做单位，,且取为正整数时，可写为,用此式预报2000年我国的人口总数,指数增长模型马尔萨斯提出 (1798),常用的计算公式,N(t) 时刻t的人口,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 N0, 年增长率 r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,模型1 马尔萨斯（Malthus）模型,马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。,令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：,故,Malthus模型实际