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1、湘潭大学 硕士学位论文 区间最小能量小波框架研究及其在信号去噪中的应用 姓名：曹春红 申请学位级别：硕士 专业：计算机软件与理论 指导教师：高协平 20051201 区间最小能量框架研究及其在信号去噪中的应用 2 摘摘 要要 小波框架理论是信号处理的一种有效工具，目前已经广泛应 用于小波分析、信号分析、图像处理数值计算等理论和应用领域。 本文阐述了小波分析与框架的一些基本理论，并且在已有的 最小能量框架理论的基础上，构造了 1 , 0L2上的区间最小能量框 架，这样构造的框架对于限制于一个区间或一个紧致区域K中的 信号，不但能解决逼近空间)( 2 RL与信号空间)( 2 KL不匹配的而产 生“
2、边界效应”的问题，而且它有比较好的时频局部化特性和平 移不变性，以及更大的设计自由度，在实际应用中可以把光滑性， 紧支性，对称性等完美结合在一起，易于实现，对信号的重构较 正交小波有更好的稳定性； 给出了 1 , 0L2上区间最小能量框架的充 分必要条件； 得到了 1 , 0L2上的区间最小能量框架的分解和重构算 法；并通过实验验证了区间最小能量框架的优越性。 关键词：关键词：尺度函数 多分辨分析 区间框架 最小能量 去噪 区间最小能量框架研究及其在信号去噪中的应用 3 Abstract Frame theory is one of efficient tools in the signal
3、processing. At present frame theories have been widely used in wavelet analysis, image processing, numerical analysis, etc. In this paper, we first elaborates on the basic principles of frames and wavelet transforms, and constructs a class of minimum energy frames in 1 , 0 2 L, which not only allow
4、the design more freedom, can have the properties in the applications with symmetry and (or) anti-symmetry, compact supports, good timefrequency localized representations and shift-invariance, but also can solve the un-matching between the space of )( 2 RL and the signal space of )( 2 KL . And then,
5、we obtain the necessary and sufficient conditions of the minimum energy frames in 1 , 0 2 L. In the final, we give the decomposition algorithm.The results of the experiments indicate that the frames constructed by us are more useful than the orthonormal wavelets in the application of signal de-noisi
6、ng. keywords: scaling function, Multi-Resolution Analysis, interval frame，minimum-energy,de-noising 区间最小能量框架研究及其在信号去噪中的应用 5 引引 言言 小波分析是一门新兴的交叉学科,近年来得到了飞速的发展。 众多的科学家在此领域取得了令人瞩目的成就。凭借着其广泛的 应用，小波分析引起了越来越多工程界专家、数学家的研究兴趣。 多分辨分析（MRA）方法是构造小波的重要方法之一。目前 对于正交和双正交小波的构造算法对尺度函数（或 MRA）都有一 些特殊的要求，如要求尺度函数的平移构成其线性子空
7、间 0 V的 Riesz 基或正交基、双正交基32,33，从而对相应的滤波器也有较强 的约束条件，因此造成在应用领域对某些问题难以解决。取而代 之的小波框架（或 MRA 框架）是近年来受到关注的研究热点。 1997 年 Ron 和 Shen7提出了一个酉延拓原则， 使用多尺度分析构 造具有任意冗余度的紧框架。 2000 年 Benedetto 和 Triber52给出了 酉延拓原则的一个新的证明并改进了它。 1998年Benedetto和Li53 结合框架理论和多尺度分析理论建立了框架多尺度分析的概念， 即在多尺度分析的概念中用框架代替 Rieze 基。2000 年 Benedetto 和Tr
8、eiber52给出一个一维框架多尺度分析能够导出单个母函数生 成半正交的紧小波框架的充要条件。 2001 年 Kim 和 Lim54指出任 何一个一维框架多尺度分析都能导出由两个母函数生成的半正交 的紧小波框架。2003 年 Chui，He，Stockler 和 Sun 构造了一维的 紧支撑 B-样条的紧小波框架。 小波框架越来越引起人们的重视，原因是它有较好的时频局 部化特性和平移不变性，以及更大的设计自由度，小波框架在实 际应用中可以把光滑性，紧支性，对称性等完美结合在一起，且 易于实现，对信号的重构较正交小波有更好的稳定性10,11,12。在 框架理论的研究中，从纯粹数学角度来看，冗余性
9、并无多大意义， 相反，正交基才是人们真正寻求的。因为在数学理论研究中，人 们总是力求找到某一空间中尽可能少的向量组来表示该空间中的 任一向量，这样便于计算。因此，数学家看来，研究冗余性似乎 是多此一举。然而，从工程角度来看，冗余性有时是必要的。人 们往往故意在一组正交基中加入几个相关的向量使其变得冗余， 区间最小能量框架研究及其在信号去噪中的应用 6 这样可以减少误差，提高离散小波重构的精度，小波框架自然成 为了研究的热点5,13,14,18,2228。 小波框架实际上是规范正交基的更一般情况的推广，当它满 足一定的加强条件时，就转化为规范正交基。小波框架在信号去 噪、图像压缩、图像融合方面等
10、应用领域也发挥着很大的作用 25,28。由于正交小波基通常以 2 的指数平移，信号在时域上的位 移导致小波系数发生很大的变化，当信号出现局部特征的位置与 小波基函数的窗口中心不匹配时，则信号去噪过程中将一部分含 有重要信息的小波系数置为零，使得重构误差较大。小波框架则 是整数平移，含有大量的冗余信息，即使由于噪声干扰使得某些 含有重要信息的小波系数置为零，也可由其它的相关信息得到补 偿。 随着小波分析理论的不断完善，其应用得到了越来越广泛的 发展。通常的小波分析都是定义在)( 2 RL上，而在绝大多数的实际 问题中，被分析的信号（如图像）通常限制于一个区间或一个紧 致区域K中。使用)( 2 R
11、L上的小波来处理信号，便存在逼近空间 )( 2 RL与信号空间)( 2 KL不匹配的问题，产生“边界效应” ，导致处 理效果不理想。为说明问题，假定区间为 1 , 0，我们很容易从空间 )( 2 RL上的 Harr 基得到空间)1 , 0( 2 L的一组基。而对于直线上的其 他光滑小波却远没有这么简单。为解决逼近空间与信号空间不匹 配问题，对于正交单小波、多小波已经有相应的解决方法，即构 造与信号空间)( 2 KL匹配的)( 2 KL上的所谓区间单小波1,2、区间多 小波3,4。这些方法的本质都是构造区间 1 , 0上的相应的多分辨空 间。凭借着小波框架的应用价值，构造直接适合信号空间的区间
12、小波框架成为自然的想法。如前所述，虽然小波框架的研究已经 取得了不少较深刻的成果，然而，与区间小波对应的区间小波框 架却几乎仍是一个空白的研究领域，目前尚没见到相应的研究成 果发表。 本文提出了区间最小能量小波框架的概念，给出了其构造方 法，得到了区间最小能量小波框架的充分必要条件，给出了区间 最小能量小波框架的分解和重构算法，并开展了区间最小能量小 区间最小能量框架研究及其在信号去噪中的应用 7 波框架在信号去噪中的应用研究。实验表明：区间最小能量小波 框架在信号去噪中性能优于普通小波框架。全文结构如下： 第一章：简论小波框架理论及区间上的小波，重点是介绍小 波框架理论中的最小能量框架理论的
13、已有结果，它们是本文的理 论基础。 第二章：探讨区间框架尺度函数及其小波函数的构造方法。 第一节重点研究区间尺度函数及其小波函数的构造，得到了区间 最小能量小波框架的充分必要条件；第二节推导了区间小波框架 的分解与重构公式。 第三章：构造了几个区间最小能量框架的实例，并给出了所 构造的区间小波框架的图示。 第四章：简述小波在信号去噪中的基本原理,然后将构造的区 间最小能量框架用于信号去噪,取得了比较好的结果。 最后对区间小波框架的研究现状进行简要的总结，并就今后 的工作进行初步的展望。 区间最小能量框架研究及其在信号去噪中的应用 8 第一章第一章 最小能量小波框架基本理论简介最小能量小波框架基
14、本理论简介 第一节小波框架理论第一节小波框架理论 “小波”(wavelets)是目前科学和工程技术研究中的一个热门 话题。不同学科的研究专家对小波有不同的看法：数学家认为， 小波可以作为表示函数空间的一种新方法； 信号处理专家则认为， 小波是非平稳信号时间-频率分析的新技术；图像分析处理专家 又认为，小波是时间-尺度分析和多分辨分析的一种有效工具； 当然，也有不少人认为，小波是一个新的数学分支。之所以会出 现这样的局面，主要的原因是现在仍在迅速发展的“小波”在成长 过程中是受惠于数学、计算机科学、物理学、信号和图像处理科 学、地球物理勘探等众多科学研究领域与工程技术应用领域的专 家和工程师们的
15、共同努力的一门新兴交叉学科。 多分辨分析（MAR）方法是构造小波的重要方法之一。目前 对于构造正交和双正交小波的算法对尺度函数（或 MAR）都有一 些特殊的要求，如要求尺度函数的平移构成其线性子空间 0 V的 Riesz 基或正交基、 双正交基， 从而对相应的两尺度符号 （滤波器） 也有较强的约束条件。取而代之小波紧框架是近年来受到关注的 研究热点。 小波框架越来越引起人们的重视，原因是它有比较好的时频 局部化特性和平移不变性，以及更大的设计自由度，小波框架在 实际应用中可以把光滑性，紧支性，对称性等完美结合在一起， 易于实现，对信号的重构较正交小波有更好的稳定性。在框架理 论的研究中，从纯粹
16、数学角度来看，冗余性并无多大意义，相反， 正交基才是人们真正寻求的，因为在数学理论研究中，人们总是 力求找到某一空间中尽可能少的向量组来表示该空间中的任一向 量，这样便于计算。因此，数学家看来，研究冗余性似乎是多此 一举。然而，从工程角度来看，冗余性有时是必要的。人们往往 故意在一组正交基中加入几个相关的向量使其变得冗余，这样可 区间最小能量框架研究及其在信号去噪中的应用 9 以减少误差，提高离散小波重构的精度，冗余框架自然成为了研 究的热点。 众所周知， )( 2 RL上的小波基可由迭代的滤波器组产生，而 这些滤波器组能用来有效地计算相应的连续时间小波膨胀 （expansions）系数。)( 2 RL上的时频局部化理论的发展已经超出 了线性独立膨胀，如基于Weyl-Heisenberg和小波框架30的冗余膨 胀。然而，滤波器组的理论一直主要限制在临界采样方式32 33 （critically sampled），也即是在)( 2 RL上的正交和双正交基。本文 中的理论基础是基于)(
