《2017-2018学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（二） 新人教B版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（二） 新人教B版必修5（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章,解三角形,1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理(二),学习目标 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.以下问题不能用余弦定理求解的是 . (1)已知两边和其中一边的对角，解三角形. (2)已知两角和一边，求其他角和边. (3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角. (4)已知一个三角形的三条边，解三角形.,(2),2.利用余弦定理判断三角形的形状，正确的是 . (1)在ABC中，
2、若a2b2c2，则ABC为直角三角形. (2)在ABC中，若a2b2c2，则ABC为钝角三角形.,(1)(3),预习导引 1.正弦定理及其变形 (1) (R为ABC外接圆半径). (2)a ，b ，c . 2.余弦定理及其推论 (1)a2 ，b2 ，c2 .,a2b22abcos C,2R,2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C,b2c22bccos A,c2a22cacos B,(2)cos A ，cos B ，cos C . (3)在ABC中，c2a2b2C为 ；c2a2b2C为 ；c2a2b2C为 . 3.三角变换公式 (1)cos() . (2)cos() . (3)cos2
3、.,cos cos sin sin cos cos sin sin cos2sin2 2cos21 12sin2,直角,钝角,锐角,要点一 正、余弦定理的综合应用 例1 如图所示，在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长.,解 在ABD中，AD10，AB14，BDA60，设BDx， 由余弦定理，得AB2AD2BD22ADBDcosBDA， 142102x2210xcos 60， 即x210x960，解得x116，x26(舍去)， BD16. ADCD，BDA60，CDB30.,在BCD中，由正弦定理：,规律方法 余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三
4、角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.,跟踪演练1 在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2c22b，且sin Acos C3cos Asin C，求b. 解 方法一 在ABC中，sin Acos C3cos Asin C， 则由正弦定理及余弦定理有： 化简并整理得： 2(a2c2)b2. 又由已知a2c22b，4bb2.解得b4或b0(舍).,方法二 由余弦定理得：a2c2b22bccos A. 又a2c22b，b0.所
5、以b2ccos A2. 又sin Acos C3cos Asin C， sin Acos Ccos Asin C4cos Asin C， sin(AC)4cos Asin C， 即sin B4cos Asin C， 由正弦定理得sin B sin C，故b4ccos A. 由解得b4.,要点二 利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 例2 在ABC中，有： (1)abcos Cccos B； (2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A； 这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.,证明 方法一 (1)设ABC外接圆半径为R， 由正弦定理得b2Rsin B，c2Rsin C
6、， bcos Cccos B2Rsin Bcos C2Rsin Ccos B 2R(sin Bcos Ccos Bsin C) 2Rsin(BC)2Rsin Aa. 即abcos Cccos B 同理可证(2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A.,方法二 (1)由余弦定理得 abcos Cccos B. 同理可证(2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A.,规律方法 (1)证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左右；右左或左中右三种. (2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种途径：一是把角的关系通过
7、正、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.,跟踪演练2 在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证： 证明 方法一 因为左边 等式成立.,方法二 设ABC外接圆半径为R， 右边 等式成立.,要点三 利用正、余弦定理判断三角形形状 例3 在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，试确定ABC的形状. 解 由(abc)(bca)3bc， 得b22bcc2a23bc， 即a2b2c2bc，,又A(0，)，A ， 又sin A2sin Bcos C， 由正、余弦定理，得a2b b2c2，bc，ABC为等边三角形.,
8、规律方法 题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断.,跟踪演练3 在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状. 解 方法一 根据余弦定理得 b2a2c22accos B.B60，2bac， a2c22accos 60， 整理得(ac)20，ac. 又2bac，2b2a，即ba. ABC是等边三角形.,方法二 根据正弦定理， 2bac可转化为2sin Bsin Asin C. 又B60，AC120.C120A， 2sin 60sin Asin(120A)， 整理得sin(A30)
9、1， A60，C60. ABC是等边三角形.,1.在ABC中，sin Asin Bsin C323，则cos C的值为 ( ) 解析 根据正弦定理， abcsin Asin Bsin C323，设a3k，b2k，c3k(k0). 则有cos C,A,1,2,3,4,2.在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析 2cos Bsin Asin C，2 ac， ab.故ABC为等腰三角形.,C,2,3,4,1,3.在ABC中，若a2c2b2 ac，则角B的值为 . 解析 根据余弦定理，cos
10、B ，又B(0，)，所以B .,1,2,3,4,4.在ABC中，若B30，AB2 ，AC2，则满足条件的三角形有几个？ 解 设BCa，ACb，ABc， 由余弦定理，得b2a2c22accos B， 22a2(2 )22a2 cos 30，,1,2,3,4,即a26a80，解得a2或a4. 当a2时，三边为2,2,2 可组成三角形； 当a4时，三边为4,2,2 也可组成三角形. 满足条件的三角形有两个.,1,2,3,4,课堂小结 1.已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论.如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单. 2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 (1)化边为角，并利用三角恒等变形进行化简； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.,3.在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一. 4.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.,
