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1、(一) 矢量基本概念定 义 既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。表示法定 义 有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度），记做，。特殊的向量零矢量：长度为0的向量。零向量的方向是不确定的。单位矢量：长度为1的矢量。向量之间的关系两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。反矢量：长度相同，方向相反的矢量。共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。关于向量之间的关系，有下面结论：零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）；共线矢量必共面；两矢量必共面；三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。 (二) 矢量的運算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法则） 设已知
2、矢量，以空间任意一点为始点接连作矢量，得一折线，从折线的端点到另一端点的矢量，叫做两矢量与的和，记做。矢量的和（平行四边形法则）如图示，有。一般地：矢量的加法还满足多边形法则：运算规律：1） 1） 交换律：；2） 2） 结合律：。矢量的差若，则称为矢量与的差，并记作。由定义，得矢量减法的几何作图法： 矢量加法的性质（1）（2）（3）（4）（二）矢量的数乘定义（数量乘矢量）实数与矢量的乘积是一个矢量，（1） （1） 其模为；（2） （2） 其方向由下列规则决定：当时，与方向相同；当时，与方向相反；当或时，是零向量，方向不定。定义如果与同向，而且为单位向量，那么称为与同向的单位向量，或的单位向量。
3、由定义， 数量乘法的运算规律1）结合律：2）第一分配律：3）第二分配律：由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。例如： （三）两矢量的数性积一、 一、数性积的定义与性质定义，叫做矢量的数性积（也称内积或点积），记为。即：。性质1）=。2），叫做的数量乘方，并记作。3）。4）。矢量数性积的运算规律1） 1） 交换律：。2） 2） 结合律：。3） 3） 分配律：。同矢量的加，减，数乘运算一样，矢量的数性积运算，也可以象多项式的乘法那样去展开。 二、矢量的坐标表示矢量的数性积定理在右手系直角坐标系中，则。证明：又，。三、矢量的方向角与方向余弦：定义矢量与坐标轴所成的角叫做
4、矢量的方向角，记为。方向角的余弦叫做矢量的方向余弦，记为。定理若，则，。证明：，且，。同理可证另两个结论。推论。四、两矢量的夹角若，则推论。（四）两矢量的矢性积一、 一、 矢量积的定义与运算性质定义两个矢量与的矢性积（又叫外积，叉积）是这样一个矢量：（1） （1） 模长为；（2）方向为：与均垂直且使成右手系。性质1） 1） 若中有一个为，则。2） 2） 共线或平行。3） 3） 几何意义：表示以为邻边的平行四边形的面积。矢性积的运算规律1） 1） 反交换律：=。2） 2） 结合律：。3） 3） 分配律：。同矢量的加，减，数乘运算一样，矢量的数性积运算，也可以象多项式的乘法那样去展开。 二、 二、
5、坐标计算矢量的矢性积定理在右手系直角坐标系中，则。证明：又，用行列式可记成，便于记忆。（五）矢量的混合积定义称为矢量的混合积，也可记为。(三) 矢量的线性关系与矢量的分解定义由矢量与数量所组成的矢量，叫做矢量的线性组合。或称可以用矢量线性表示。或称可以分解成矢量的线性组合。定义（线性相关）对于个矢量，若存在不全为零的实数，使得，则称矢量线性相关。不是线性相关的矢量叫做线性无关，即矢量线性无关：。定理1在时，矢量线性相关的充要条件是其中至少有一个矢量是其余矢量的线性组合。证明：设矢量线性相关，则存在不全为零的实数使得，且中至少有一个不等于0，不妨设，则；反过来，设矢量中有一个矢量，不妨设为，它是
6、其余矢量的线性组合，即，即。因为数，-1不全为0，所以矢量线性相关。显然，如果一组矢量中的部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关。如果一组矢量中含有零矢量，那么这一组矢量就线性相关。定理2若，则矢量与共线且系数被唯一确定。证明：若，由定义知，矢量与共线。反过来，若矢量与共线，则一定存在实数，使得。如果，那么，即。最后证明唯一性。若，则，而，所以。利用矢量间的线性相关的概念，可推广到更一般的形式：定理2两矢量与共线线性相关。定理3若矢量不共线，则矢量与共面，且系数被唯一确定。证明省略。推广到更一般的形式：定理3三矢量与共面线性相关。定理4若矢量不共面，则空间任意矢量均可以由矢量线性表示，即，
7、且系数被，唯一确定。证明省略。推广到更一般的形式：定理4空间任意四个或四个以上的矢量总是线性相关的。 标架与坐标一、 一、坐标的定义在第四节，曾经有个结论：若矢量不共面，则空间任意矢量均可以由矢量线性表示，即，且系数被，唯一确定。定义叫做空间中的一个标架，称作仿射标架。 若是单位矢量，则叫做笛卡儿标架。 若是相互垂直的笛卡儿标架，则叫做笛卡儿直角标架，简称直角标架。定义（坐标）取定标架，若，称为关于标架的坐标。取定标架，为任意一点，称为点的径矢，则关于标架的坐标称为点的坐标。 由标架决定坐标系，则由仿射标架决定的坐标系叫做仿射坐标系，今后我们用的通常是空间右手直角坐标系，并记为特定的坐标矢量。
8、 称为坐标原点，称为坐标轴，称为坐标面。三个坐标面把整个空间分成八个部分，称为八个卦限。二、 二、 坐标表示矢量的线性运算1 1 矢量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标。已知，证明）。证明：由定义，。2 2 若，则，。根据坐标的定义既可证明。3 3 两非零矢量，则共线。推论：三点共线。4 4 三非零矢量，则共面。证明：共面系数行列式。5 5 线段的定比分点坐标定义对有向线段，若存在点满足，则称点分线段成定比。定理设，则分有向线段成定比的分点的坐标是。证明：，用坐标表示，即，解出即得。例对于平行四边形，求在仿射标架中的坐标。解：作图如下。例用坐标法证明：四面体对棱中点的连线交于一点。（略）矢量在
9、轴上的射影定义（点在轴上的射影）已知一点及一轴，过作垂直于的平面，该平面与轴的交点称为点在轴上的射影。定义（射影矢量）的始点与终点在轴上的射影为点，则就定义为矢量在轴上的射影矢量，记为射影矢量。定义（射影）矢量在轴的长度，称为矢量在轴上的射影，记为射影（）。即：射影（） 射影定理，其中为的夹角。证明略。推论相等矢量在同一轴上的射影相等。定理。 定理。(五) 典型例題例 试证明：点在线段上的充要条件是：存在非负实数，使得，且，其中是任意取定的一点。证明：（先证必要性）设在线段上，则与同向，且，所以 ，。任取一点所以所以，取，则，。（必要性）若对任一点有非负实数，使得，且，则所以与共线，即在直线上
10、。又，所以在线段上。例证明三角形的三条高线交于一点。证明：如图，设的两条高线交于点，连结。延长交于，则为边上的高。即三条高线交于一点。例已知三点，求并且求在上的射影。解： 。 射影。例证明矢量与相互垂直。证明：=0例已知空间三点，试求（1）的面积。（2）的边上的高。解 的面积为。又的边上的高为。例若，且说明其几何意义。证明： 。同理可证明 。例设为两不共线矢量，证明，共线的充要条件是。证明：共线线性相关，即存在不全为0的实数，使得，即。又因为不共线线性无关有唯一零解。例对于平行四边形，求在仿射标架中的坐标。解：作图如下。例用坐标法证明：四面体对棱中点的连线交于一点。（略） 20022003年应
11、数02级空间解析几何复习试题一 一填空：（每题6分）1向量在向量上的投影是。已知则OAB的面积为。曲线绕Z轴旋转一周之曲面方程为。求直线和的夹角为。二次曲线的渐近线为。二（分）证明：若一个平面与三个坐标轴均相交，则三个截距倒数的平方和等于原点到此平面距离的倒数平方。三（分）证明：二次曲线表示一个椭圆，并写出其标准形。四（分）求直线在平面上的投影直线的方程。五（分）已知两垂直的直线与，取为轴，为轴 ，求坐标变换公式，并求在原坐标系中的方程。六（12分）判别两直线与直线的位置关系，并求两直线间的距离。七（10分）已知一柱面的准线是球面和平面的交线，母线垂直于准线所在的平面，求它的一般方程。八（10分）设满足什么条件时，二次曲线（1）有唯一的中心；（2）无中心；（3）有一条中心直线。20022003年应数02级空间解析几何复习试题二 一填空：（每题6分）1向量在向量上的投影是。已知则OAB的面积为。曲线绕Z轴旋转一周之曲面方程为。求直线和的夹角为。二次曲线的渐近线为。二（分）证明：若一个平面与三个坐标轴均相交，则三个截距倒数的平方和等于原点到此平面距离的倒数平方。三（分）证明：二次曲线表
