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1、第三章 群的表示理论,在物理学中我们感兴趣的是系统的变换群，它们作用于与物理体系相应的希尔伯特空间，该空间的每个矢量标志体系的一个状态，每个变换群元素对该空间矢量的作用对应一个矩阵，相当于量子力学中算符对态的作用，所以我们能用矩阵来表示群的所有元素。所有这些矩阵构成了与原来的群同构的群，而对这类矩阵的研究就组成了群的表示理论.,显然，这组算子满足以下性质：,1、群的算子表示,对群G中的每个元，都有作用于线性空间V上的一个线性算子与之对应，且满足：,3-1 群的表示论的基本概念,1）、封闭性,2）、结合律成立,3）、存在单位元,4）、逆元存在,可见这组算子成群，且同态于G，所以G的每个表示就是它
2、的一个由作用于某一空间上的线性算子组成的同态像.,如：在对称变换的作用下：,量子体系的状态相当于在空间中做了一次相应的搬动：,状态的变换也可以用对波函数的某种 运算来实现，用 表示这个运算的算子， 记作：,由此可见：,上式亦可看作算子 的定义，容易证明：对称操作 是态矢空间（Hillbert空间）中的线性幺正算子。,利用泰勒展开技术，可以证明平移算子的显式,当 为空间平移（ ）时， 便是平移算子，由算子定义,其中 为动量算子，算子的指数函数定义为：,当 为空间反演时， 便是宇称算子：,幺正表示：,忠实表示：当群元与表示的算子一一对应时，即群与表示的算子群同构时，表示称为忠实的.,单位表示：,当
3、 为空间转动时，设转动角度为 ，方向为转轴方向，大小为转角， 就是转动算子：,其中 轨道角动量算子,2 群的矩阵表示,(1)定义,矩阵表示。,中矩阵的阶,称为表示的维数。,(2) 群的忠实表示,叫做群的忠实表示。,否则，为非忠实表示。,元素：,表示：,就是一个非忠实表示。,（1）一般来说，集合,的1维表示，也就是说由仅有一个元的矩阵形成的一维表示，即,这种表示称为单位表示。任何群都有这么一个单位表示。,说明：,构成了任一群,（2）单位表示是任意一群的非忠实表示，表明任一群至少有一个非忠实表示。,（3）任一群至少有一个忠实表示。,(3) 群的表示的性质,b.,说明群的单位元必由一适当阶数的单位矩
4、阵表示。,某元素的逆的矩阵表示，等于表示该元素的矩阵的逆。,c. 任何一个矩阵群G本身是它自己的一个忠实表示.,例：空间反演群E,I 在三维实坐标空间笛卡尔坐标系中的表示,3. 笛卡尔坐标系中对称操作的矩阵表示 取一由一组正交归一基矢 ( e1, e2, e3 ) 组成的正交坐标 ( 如笛卡尔坐标系), 坐标原点位于(点)对称操作的不动点, 对称操作 R ( 例如转 角 ) 对于位矢 a 的作用为 R a = a (1) 其中, 原位矢 a = q1 e1 + q2 e2 + q3 e3 (2) 新位矢 a = q1e1 + q2e2 + q3e3 (3) 因对称操作 R 不改变位矢的长度 则
5、 R ( q a ) = q ( R a ) ( a 和 R a 皆为单位矢量 ) 其中q为任意一数,故a=Ra=q1(Re1)+q2(Re2)+q3 (Re3) (4),其中 Re1, Re2, Re3 分别为 R 作用后的新基矢e1, e2, e3 e1 = R e1 = r11 e1 + r21 e2 + r31 e3 e2 = Re2 = r12 e1+ r22 e2 +r32 e3 (5) e3 = R e3 = r13 e1 + r23 e2 + r33 e3 即 ek = R ek = j rjk ej ( j , k = 1, 2, 3 ) (6) 将 (6) 式代入 (4)
6、式, 并与 (3) 式比较可得 q1 = r11 q1 + r12 q2 + r13 q3 q2 = r21 q1 + r22 q2 + r23 q3 (7) q3 = r31 q1 + r32 q2 + r33 q3 即 qk = j rkj qj ( j , k = 1, 2, 3 ) (8) r11, r12 , r13 令 D(R) = r21, r22 , r23 (9) r31, r32 , r33 ,则有 q1 q1 q2 = D ( R ) q2 (10) q3 q3 (新老位矢在原基矢空间中坐标之间的关系 ) D( R) 就是对称操作 R 以 ( e1, e2, e3 ) 为
7、基矢的表示 比较 (6) 式和 (8) 式, 不难看出有 e1 e1 e2 = D ( R ) e2 (11) e3 e3 (新老基矢之间的关系 ),可见： (1) 对称操作作用于位矢的变换矩阵 D (R)与作用于基矢 变换的变换矩阵 D (R) 互为转置 D（R） = D（R） (2) 对称操作作用于位矢的变换矩阵 D (R) 就是对称操作 的表示矩阵 D (R) (3) 先求对称操作作用于基矢的变换矩阵 D( R ), 然后将其转置, 便得该称对称操作的表示矩阵 D ( R ). (4) 选择不同的基矢, 将获得不同的表示矩阵.,4. 笛卡尔坐标系中对称元素的表示矩阵 (1) 恒等操作 E
8、 基矢的变换 e1 = E e1 = 1 e1 + 0 e2 + 0 e3 e2 = E e2 = 0 e1 + 1 e2 + 0 e3 则 e1 = E e1 = 0 e1 + 0 e2 + 1 e3 e1 e1 1 0 0 e1 e2 =D ( E ) e2 = 0 1 0 e2 e3 e3 0 0 1 e3 因此有 1 0 0 D ( E ) = D ( E ) = 0 1 0 0 0 1 ,(2) 绕 e3 轴转 角 (C ) 基矢的变换: e1 = C e1 = cos e1 + sin e2 + 0 e3 e2 = C e2 = -sin e1 + cos e2 + 0 e3 e3
9、 = C e1 = 0 e1 + 0 e2 + 1 e3 则 e1 e1 cos sin 0 e1 e2 = D ( C ) e2 = -sin cos 0 e2 e3 e3 0 0 1 e3 因此有 cos -sin 0 D ( C ) = D ( C ) = sin cos 0 0 0 1 ,(3) 镜面反映 ( 镜面通过 e3 轴, 且与 e1, e3 平面成 角 ) 基矢的变换: e1 = e1 = cos2 e1 + sin2 e2 + 0 e3 e2 = e2 = sin2 e1 - cos2 e2 + 0 e3 e3 = e1 = 0 e1 + 0 e2 + 1 e3 则 e1
10、e1 cos2 sin2 0 e1 e2 =D( )e2 = sin2 -cos2 0 e2 e3 e3 0 0 1 e3 因此有 cos2 sin2 0 D ( ) = D ( ) = sin2 -cos2 0 0 0 1 ,练习: 1, 试画出笛卡尔坐标系的原基矢( e1, e2, e3 )及其经过中心反演作用后的新基矢( e1, e2, e3 ), 并求出相应的表示矩阵. 2, 试画出笛卡尔坐标系的原基矢( e1, e2, e3 )及其经过非真转动 S3 作用后的新基矢( e1, e2, e3 ), 并求出相应的表示矩阵. ( 已知 S3 = C3 , 其中C3 绕 e1 轴转动, 为垂
11、直与该转轴的镜面 )。,例：H2O分子对称操作群的表示矩阵.,(1) 基矢的选取 (基矢不同, 表矢矩阵也不同),(2) 群元:,(3) 表示矩阵,例：C3v的矩阵表示：,2) 存在一个2维表示,1) 空间中取一组基，如图,3) 单位表示（恒等表示）,4) 另一个一维表示,问题: 由笛卡尔坐标系得群的表示是否唯一? 为什么? （否, 因为笛卡尔坐标系的选取不唯一.） 5. 矢量空间( 广义矢量空间 ) 分析: a. 以真实空间的笛卡尔坐标系, 虽能获得群的表示矩阵, 但不一定符合要求(不同领域有不同要求).为此必须寻求获得群表示矩阵更灵活的途径. b. 把群的表示矩阵视为(广义)矢量空间中的算
12、符. c. 选择适当的(广义)矢量空间的基矢,求出对称操作相应算符的作用矩阵, 从而获得所要求的表示矩阵. (1)(广义)矢量空间 矢量空间是无穷多个数学对象(称为矢量)的集合,它们之间服从下列运算法则:,加法: a. a + b = b + a ( 交换律 ) b. a + ( b + c) = ( a + b) + c ( 结合律 ) c. 有零矢量 0 , a + 0 = a d. 有逆矢量 - a , a + (-a) = 0 数乘: a. 1 a = a b. ( a) = ( ) a ( , 为复数 ) c. (+) a = a + a d. (a + b) = a + b 内积:
13、 定义内积 ( a, b ) = , 且满足以下条件 a. (a, b) = ( b, a )* (内积与次序有关) b. (a, b + c) = ( a, b ) + (a, c ) c. (a, b) = ( a, b ) d. (a, a) 0 a = 0, (a, a) = 0 ,（2） (广义) 矢量空间的一些基本概念 a. 线性无关 ( 线性独立 ) 有 n 个矢量 ai ( i = 1 - n ) 若 i i ai 只在 i 时成立（对所有） 则 这 n 个矢量 ai 线性独立, 否则 (即, 有 i 0 时, 上式成立), 为线性相关. b. 矢量空间的维数 矢量空间的维数是
14、其中彼此线性独立的矢量的最大个数. 说明：矢量空间的维数可以是无穷大, c. 矢量正交: 若 ( a, b ) = 0，则 a , b 二矢量正交。,d. 归一化矢量: 若 ( a, a ) = 1,则 a 矢量为归一化矢量 e. 矢量空间的基矢: 矢量空间中一组1) 数目最大的, 2) 线性独立的, 3) 归一化的矢量 ( e1, e2, e3 - en ) 可作为该矢量空间的基矢. f. 矢量的分量 1) 矢量 a 的表示: a =i ei ai, ai为矢量 a 在基矢 ei 上的分量 ( 投影 ) 2) 矢量 a 在基矢 ei 上的分量 ( 投影 ) ( ei , a ) = ( ei , j ej aj ) =j (ei, ej) aj
