常微分方程的应用综述

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1、111 编号编号 学学士士学学位位论论文文 常微分方程的应用常微分方程的应用 学生姓名： 学 号： 系 部： 专 业： 数学 年 级： 指导教师： 完成日期： 年 月 日 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 中文摘要 此处为中文摘要，宋体小四号字，行间距 1.25。 关键词：关键词：多个关键词之间用分号隔开 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 目 录 中文摘要中文摘要 1 引言引言 2 1.1.微分方程的应用微分方程的应用 2 1.11.1 等角轨线，正交轨线等角轨线，正交轨线.3 1.21.2 几何学问题几何学问题.

2、7 1.31.3 动力学问题动力学问题8 1.41.4 生态学中的增长问题生态学中的增长问题.9 总结总结 11 参考文献参考文献 12 致谢致谢 12 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 引言 人们在对物质的运动进行定量或定性的摸术时常常需要借助于数学工具。 常微分方程是描述物质运动经常使用，而且还使用得十分广泛的一种数学工具。 通过分析是想应的微分方程的各种特性，能够对所研究物质的生态，获得某些 定性和定量的了解。本文我将通过实列说明一些物理学，几何学，得某些定律 或某些生态问题是如何导致微分方程问题的。 由于这文的目的是说明如何从实际问题导致微分方

3、程问题的。 1.1.微分方程的应用微分方程的应用 常微分方程的应用很广泛，常微分方程的产生和发展愿与实际问题的需要， 同时它也成为解决实际问题的有力工具。我们应用常微分方程能解决几何学， 动力学，电学，光学，化学，天文学中的一些问题。 一般来说，用常微分方程解决问题过程分以下三个步聚 ： 1.建立方程 。 对所研究问题，根据已知定律或公式以及某些等量关系列出微分方程和相 应初值条件。 2.求解微分方程 。 3.分析问题 。 通过已求得的解的性质，分析实际问题 。 用微分方程来解决实际问题必顺考虑如下几个方面 ： 1.转换 。把实际问题的文字语言转换为数学语言与符号，如数学上倒数用 来表示运动学

4、中的速率，生物学中的增长率，放射学中的衰减率等。 既了解所讨论问题学科方面的知识，又掌握数学知识，我们就会在这两者 之间架起沟通桥染，完成建模任务 。 2.关键。微分方程是瞬时命题，它必顺在任何时刻都正确，这是数学中心 部分 。如果你已经了解代表导数的关键词语，想找出,与之间的关系，首 y yx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 先要集中研究变化率，其次要注到往往不是直接对这些量应用规律，而是对某 些微元应用，在取极限而得到微分方程 ，这就是数学上的所谓微元分析方法 。 3.单位。对于进入微分方程的项必须保证它的每一项有相同的单位（如 m/s,kg/d

5、,）如果注意到了这些，往往可以帮助你是实现与检验微分方程的正 确性。 4.已知条件。它是在特定地点或时间的已知信息，它们不属于微分方程本 身，而是用来决定特定的运动或常数。这些就是所谓的初始条件或边界条件。5.求 解。这一步是纯数数学问题，综合我们学到的数学知识，求精确或近似解。 1.11.1 等角轨线，正交轨线等角轨线，正交轨线 我们来求这样的曲线获取险族，使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交 成给定的角度。这样的曲线称为已知曲线的等角轨线。当所给定的角为直角时， 等角轨线称为正交轨线。 求等角轨线的方法： 设在（）平面上，给定一个单叁数曲线族求这样的曲, x y :c, ,0x y c 线

6、 L 与（C）中每一条曲线的交角度都是定角（图 1） y x o L C （图 1） 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 3 设的方成为 。为了求，我们先来求出所应满足的微L 11 yyx 1( ) y x 1( ) y x 分方程，也就是要先求得的关系式 。条件告诉我们与的曲线相交 11 ,x y yL( )c 成定角，于是，可以想象，和必然应当与中的曲线及其且显 1 y 1 y c yy x 得斜率有一个关系。事实上，当时，有 y 2 1 1 tan 1 yy k y y 或 1 1 1 yk y ky 当 时， 2 1 1 y y 又因为在交点处，于是

7、如果我们能求得的关系即曲线 1 y xyx 11 ,x y y 族所满足的微分方程 c , ,0f x y y 只要把盒霍代入（*） ，就可以求得的方成了。 1 yy 11 ,x y y 如何求（*）呢？采用分析法。 设为中任一条曲线，于是存在相应的，使得( )yy x( )cC 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 4 ,0x y xC 因为要求的关系，将上式对求导数，得 1 , ,x y yx ,0 xy x y xCx y x C yx 这样，将上两式联立，既由 , ,0x y C , , ,0 xy x y Cx y C y 肖去,就得到所应当满足的关

8、系C ,x y xyx , ,0f x y y 这个关系成为曲线族的微分方程。 C 于是，等较轨线的微分方程为 2 1 1 1 ,0 1 yk fx y ky 而正交轨线（）的微分方程为 2 1 1 1 ,0fx y y 例例 1：求直线束的等角轨线和正交轨线 。yCx 解：解：首先求直线族的微分方程 。yCx 将对求导，得，由yCxxyC yCx yC 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 5 肖去，就得到的微分方程CyCx dyy dxx 当时，由（1.6）知道，等角轨线的微分方程为 2 1 dy k y dx dy x k dx 或 xdyydx xdx

9、ydy k 及 2222 1xdxydyxdyydx xykxy 即 222 1 1 y d xdxydyx xyk y x 积分后得到 22 11 ln()arctanln 2 y xyC kx 或 1arctan 22 y kx xyCe 如果写成极坐标形式，不难看出等角轨线为对数螺线（图 2） k Ce 如果，由可知，正交轨线的微分方程为 2 1y dyx 即 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 6 dyx dxy 或 0xdxydy 故正交轨线为同心圆族 （图 3） 222 xyC 1.21.2 几何学问题几何学问题 例例 2：设曲线位于平面的第一象

10、限内，上任一点处的一切线与LxoyLM 轴总相交，交点记为，已知且经过点求的方程 。yAMAOAL 3 3 , 2 2 L x y x y oo 图 3 图 2 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 7 解：解：题中的要求是，抓住这个关系式建立方程。设曲线的任一MAOAL 点的坐标是，曲线的方程为，于是过点曲线的切线方程M, x yL( )yy xML 为 ( )( )()Yy xy x Xx 与轴交点的坐标为：YY Y ( )( )y xxy x 由推知MAOA 2222 ()()xxyoyxyo 其中 ，化简便得 ( ),( )yy xyy x 2 1 2

11、yyyx x 初值条件是，上述方程是伯努利方程，解之得 3 2 3 | 2 x y 11 2 dxdx xx yexedxc 由于曲线在第一象限内，故 2 ycxx 在以 定出。于是的曲线方程为，当或 3 2 3 | 2 x y 3c 2 3yxx0x 时，切线与轴重合或不相交，点无定义。故的定义域为：3x yA 2 3yxx 03x 1.31.3 动力学问题动力学问题 动力学是微分方程最早期向泉愿之一。在求解动力学问题时，要特别注意 力学问题中的定律条件，如初始条件等。 yy x y A M , x y 3 3 , 2 2 O 图 4 x 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR

12、 S THESIS 8 例例 3：物体由高空下落，除受重力作用处，还收到空气阻力阻力的作用， 在速度不太大的情况下（地域音速的 4/5） ，空气阻力可看作与速度的平方成正 比。式证明在这情况下，落体存在极限速度 。v 解：解：设物体质量为，空气阻力系数为，由设在时刻 物体物体的下落速mkt 度为 ，于是在时刻 物体所收的力为vt fmgku=- 从而，根据牛顿第二定律可列出微分方程 2 d mmgk dt u u=- 因为是自由落体，所以有 (0)0u= 解：解：由有 2 00 vt mdv dt mgku = - 积分得 1 ln 2 mgkm t kgmgk u u + = - 或 ln2

13、 mgkkg t mmgk u u + = - 解出 ，得v 2 2 (1) (1) kgt m kg m mg e k e u - = + 当时，有t 1 lim t mg k uu + = 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 9 据测定，其中为与物体形状有关的常数;为介质密度； 为物体kapsaps 在地面上的投影面积。 1.41.4 生态学中的增长问题生态学中的增长问题 例例 4：对我国人口总数发展趋势的估计。 解：解：（1）令表示某一国家在时间 的人口总数。严格地说，是一个( )n tt( )n t 不连续的阶梯函数。但是一个人的增减与全体人数相比极

14、为微小我们将把 视为光滑的函数这样就可应用微积分的方法。( )n t （2）人口增长率（出生率与死亡率之差）是在时间内的平均( , )rr t nt 增长率为，其中为人口的增量，所以 t t n n 0 1 lim t ndn r tnn dt 即 dn rn dt 这就是人口总数所满足的微分方程 。最简单的模型是假设 为常数，nr0k 于是容易求出初值问题 00 ( ) dn kn dt n tn 的解为 0 () 0 k t t nn e 这表明人口是按指数曲线增长的，这就是马尔萨斯人口论的根据，这一理 论已被实践证明是错误的 。 容易明了解，人口的增长率是会随人口基数的增大而下降的因此人们又提 出了一个新的模型 :假设 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 10 rabn 其中正的常数和称为生命系数 。一些生态学家测得的自然值为aba 0.029，而的值测取决于各国的社会经济条件。在这一段设下，方程成为b () dn abn n dt 这是一个变量分离的方程，初值问题+的解为 0 0 () 0 () 00 k t t k t t an e n