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1、第3章 命题逻辑的推理理论,离 散 数 学,南京农业大学本科生课程,数学系,本章说明,本章的主要内容 推理的形式结构 自然推理系统P 本章与后续各章的关系 本章是第五章的特殊情况和先行准备,3.1 推理的形式结构 3.2 自然推理系统P 本章小结 习题 作业,3.1 推理的形式结构,数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。 推理是指从前提出发推出结论的思维过程。 前提是已知命题公式集合。 结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 证明是描述推理正确或错误的过程。 要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。,定义3.1 设A1,A2,Ak和B都是命题公式，若对于A1,
2、A2,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值， （1）或者A1A2 Ak为假; （2）或者当A1A2 Ak为真时，B也为真; 则称由前提A1,A2,Ak推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。,有效推理的定义,关于有效推理的说明,A1，A2，Ak 由 推B的推理记为B 若推理是正确的，记为 B 若推理是不正确的，记为 B,由前提A1，A2，Ak推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关。,关于有效推理的说明,设A1，A2，Ak，B中共出现n个命题变项，对于任何一组赋值12n(i=0或者1，i=1,2,n)，前提和结论的取值情况有以下四种： (1) A1A2 Ak为0，B为0。 (2)
3、 A1A2 Ak为0，B为1。 (3) A1A2 Ak为1，B为0。 (4) A1A2 Ak为1，B为1。 只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。 推理正确，并不能保证结论B一定为真。,(1) p,pq q (2) p,qp q,例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）,例题,正确,不正确,定理3.1 命题公式A1,A2,Ak推B的推理正确当且仅当 (A1A2Ak )B 为重言式。,该定理是判断推理是否正确的另一种方法。,说明,有效推理的等价定理,定理3.1的证明,(1)证明必要性。若A1,A2,Ak推B的推理正确， 则对于A1,
4、A2,Ak,B中所含命题变项的任意一组赋值，不会出现A1A2Ak为真，而B为假的情况， 因而在任何赋值下，蕴涵式(A1A2Ak )B均为真，故它为重言式。 (2)证明充分性。若蕴涵式(A1A2Ak)B为重言式， 则对于任何赋值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件为假的情况， 即在任何赋值下，或者A1A2Ak为假， 或者A1A2Ak和B同时为真，这正符合推理正确的定义。,当推理正确时， 形式（1）记为 B。 形式（2）记为A1A2AkB。 表示蕴涵式为重言式。,设= A1, A2, , Ak，记为B。 A1A2AkB 前提： A1, A2, , Ak 结论： B,说明,推理的形式结构,真值表
5、法 等值演算法 主析取范式法,判断推理是否正确的方法,是否有其他的证明方法？,思考,当命题变项较少时,这三种方法比较方便。,说明,（1） 下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影，所以，她 去游泳了。,例3.2 判断下列推理是否正确。（等值演算法）,解：设p:马芳下午去看电影，q:马芳下午去游泳。 前提： pq，p 结论： q 推理的形式结构： (pq)p)q (pq)p)q (pq)p) q (pq)p) q (pp )(qp) q (qp) q 1,由定理 3.1可知，推理正确。,例题,（2）若今天是1号，则明天是5号。明天是5号，所以今天是1号。,例3.2 判断下列推理是否正确。（主析取
6、范式法 ）,(pq)qp, (pq)qp, (pq)q)p, qp, (pq)(pq) (pq)(pq), m0m2m3,主析取范式不含m1，故不是重言式（01是成假赋值），所以推理不正确。,解：设p：今天是1号，q：明天是5号。 前提：pq，q 结论： p 推理的形式结构： (pq)qp,例题,(1) A (AB) 附加律 (2) (AB) A 化简律 (3) (AB)A B 假言推理 (4) (AB)B A 拒取式 (5) (AB)B A 析取三段论 (6) (AB) (BC) (AC) 假言三段论 (7) (AB) (BC) (A C) 等价三段论 (8) (AB)(CD)(AC) (B
7、D) 构造性二难 (AB)(AB)(AA) B 构造性二难 (特殊形式) (9)(AB)(CD)(BD) (AC) 破坏性二难,推理定律-重言蕴含式,小节结束,关于推理定律的几点说明,A,B,C为元语言符号，代表任意的命题公式。 若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵式一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。 2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推理定律。例如双重否定律A A产生两条推理定律A A和 AA。 由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了推理系统中的推理规则。,3.2 自然推理系统P,判断推理是否正确的三种方法：真值表法、等值演算法和主析取范式法。 当推理中
8、包含的命题变项较多时，上述三种方法演算量太大。 对于由前提A1,A2,Ak推B的正确推理应该给出严谨的证明。 证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每个公式或者是前提，或者是由某些前提应用推理规则得到的结论（中间结论或推理中的结论）。 要构造出严谨的证明就必须在形式系统中进行。,形式系统的定义,定义3.2 一个形式系统I由下面四个部分组成： （1）非空的字母表，记作A(I)。 （2）A(I)中符号构造的合式公式集，记作E(I)。 （3）E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作AX(I)。 （4）推理规则集，记作R(I)。 可以将I记为4元组 是I的形式语言系统 是I的形式演算系统,形式
9、系统的分类,（1）自然推理系统 从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的最后命题公式是推理的结论（有时称为有效的结论）。 （2）公理系统 从若干给定的公理出发，应用系统中推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的定理。,本书只介绍自然推理系统P。,说明,自然推理系统的定义,定义3.3 自然推理系统P的定义 1. 字母表 （1） 命题变项符号：p， q， r， ， pi，qi，ri ， （2） 联结词符号： ， ， ， ， （3） 括号与逗号：( )， 2. 合式公式（同定义1.6）,自然推理系统的定义,3. 推理规则 （1）前提引入规则 在证明的任何步骤上都可以引入前提。
10、 （2）结论引入规则 在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。 （3）置换规则 在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公式。,自然推理系统的定义,（4）假言推理规则 AB A B （5）附加规则 A AB （6）化简规则 AB A,（4）若今天下雪,则将去滑雪。今天下雪，所以去滑雪。 （5）现在气温在冰点以下。因此，要么现在气温在冰点以下，要么现在下雨。 （6）现在气温在冰点以下并且正在下雨。因此，现在气温在冰点以下。,自然推理系统的定义,（7）拒取式规则 AB B A （8） 假言三段论规则 AB BC AC （9）析取三段论
11、规则 AB B A,自然推理系统的定义,（10）构造性二难推理规则 AB CD AC BD （11）破坏性二难推理规则 AB CD BD AC （12） 合取引入规则 A B AB,在自然推理系统P中构造证明,P中构造证明就是由一组P中公式作为前提，利用P中的规则，推出结论。 构造形式结构A1A2Ak B 的推理的书写方法： 前提： A1,A2,Ak 结论： B 证明方法： 直接证明法 附加前提法 归谬法（或称反证法）,例题,例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： 前提：pq, rq ,rs 结论：ps pq 前提引入 pq 置换 rq 前提引入 qr 置换 pr 假言三段论 rs
12、前提引入 ps 假言三段论,例题,例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： 前提：p（qr）, pq 结论： rs p（qr） 前提引入 pq 前提引入 p 化简 q 化简 qr 假言推理 r 假言推理 rs 附加 rs 置换,例题,例3.4 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： 若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。所以a是无理数。,构造证明： （1）将简单命题符号化： 设 p：a是实数。 q：a是有理数。 r：a是无理数。 s：a能表示成分数。 （2）形式结构： 前提：p(qr), sq, ps 结论：r, ps
13、前提引入 p 化简 s 化简 p(qr) 前提引入 qr 假言推理 sq 前提引入 q 假言推理 r 析取三段论,例题,例 写出对应下面推理的证明。 如果今天是星期一，则要进行英语或离散数学考试，如果英语老师有会，则不考英语。今天是星期一，英语老师有会，所以进行离散数学考试。 解 p：今天是星期一。 q：进行英语考试。 r：进行离散数学考试。 s：英语老师有会。 前提：p (q r)，s q，p，s。 结论：r。,例题,(1) p (q r) 前提引入 (2) p 前提引入 (3) q r (1)(2)假言推理 (4) s q 前提引入 (5) s 前提引入 (6) q (5)(4)假言推理 (7) r (6)(3) 析取三论,例题,附加前提法,有时推理的形式结构具有如下形式 ： 前提：A1, A2, , Ak 结论：CB 可将结论中的前件也作为推理的前提，使结论只为B。 前提：A1, A2, , Ak, C 结论：B 理由： (A1A2Ak)(CB) ( A1A2Ak)(CB) ( A1A2AkC)B (A1A2AkC)B,例题,例3.5 在自然推理系统P中构造下面推理的证明。 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电
