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1、 第五章 控制系统的频域分析5-1 频率特性一、频率特性的定义：在正弦输入下，系统的输出稳态分量与输入量的复数之比。一般用G(jw)表示。二、频率特性的性质1、与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定了，则系统的频率特性也完全确定。2、频率特性是一种稳态响应。系统稳定的前提下求得的，对于不稳定系统则无法直接观察到这种稳态响应。 从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析研究系统，包括它的稳定性、动态性能、稳态性能等。3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率当输
2、入量频率w改变，则输出、输入量的幅值之比A（w）和它们的相位移j（w）也随之改变。所以 A（w）和j（w）都是w的函数。这是由于系统中的储能元件引起的。三、频率特性的求取：1、根据定义求取。即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。2、根据传递函数求取。即用s=jw代入系统的传递函数，即可得到。3、通过实验的方法直接测得。根据传递函数求取频率特性传递函数:频率特性A（w） 幅频特性；G（jw）的模，它等于稳态的输出分量与输入分量幅值之比. j（w） 相频特性；G（jw）的幅角，它等于稳态输出分量与输入分量的相位差。U（w） 实频特性；
3、G（jw）的实部。V（w） 虚频特性； G（jw）的虚部。它们都是w的函数，它们之间的关系用矢量图来表示例采用正弦信号作为输入信号，当系统稳定后，其输出称频率响应系统对不同频率的正弦输入的响应特性称为频率特性。频率特性用于系统的分析与设计，根据： 一般周期性的输入信号可以分解为付立叶（富里哀）级数，它由一些不同频率、幅值的正弦分量组成，知道了各正弦分量的响应便知道全部的响应（迭加）数学基础：付立叶（富里哀）级数、复变函数、保角变换等频率响应法特点：是一种图解分析法，可以根据开环的频率特性去判断闭环性能；还可以指出改善性能的途径，并对系统进行校正；系统的频率特性很容易通过实验获得，用S代替jw就
4、成了传递函数，频率特性是一种广泛使用的工程方法。在控制理论中占有很重要的地位。幅相频率特性图 Nyquist图 极坐标图在极坐标复平面上画出w值由零变化到无穷大时的G(j w)矢量，把矢端边成曲线。实虚频图不同频率w时和实频特性和虚频特性。对数频率特性图 Bode图幅值相乘变为相加，简化作图， 对数幅频+对数相频拓宽图形所能表示的频率范围About Bode图 =0不可能在横坐标上表示出来； 横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定； 只标注的自然对数值。通常用L()简记对数幅频特性，也称L()为增益用j()简记对数相频特性。5-2 典型环节的频率特性一、频率特性的几种表示方法例：极坐标
5、表示方法直角坐标表示方法半对数坐标表示方法（Bode图）：两张图，对数幅频特性、相频特性二、典型环节的极坐标图 1.比例环节 G(j)=K=U+jV = 比例环节是复平面实轴上的一个点，它到原点的距离为K。伯德图（二） 积分环节 积分环节幅相频率特性（三） 惯性环节 对数幅频特性曲线通常用折线近似折线近似方法:绘制惯性环节的Bode图方法：对数幅频特性：找出 、的部分画0dB/dec线，延长至处斜率转折为-20dB/dec线，称为转折频率相频特性：在处为-45度、在2、5、10倍频处的幅角，如上表，连接画光滑曲线渐近线误差转角频率处：低于渐近线3dB，低于或高于转角频率一倍频程处：低于渐近线1
6、dB惯性环节极坐标图（四） 微分环节传递函数与积分环节互为倒数，它们的Bode图以实轴相互对称；而一阶微分环节则与惯性环节对称。纯微分环节幅相频率特性（五） 振荡环节绘制半对数频率特性坐标图：由对数幅频特性：当 低频段0dB/dec线，过转折频率w1=1/t 后，斜率变为-40dB/dec直线振荡环节Bode 图：幅频特性精确曲线与z大小有关；相频特性曲线也与z大小有关；在w=1/t处幅频特性精确曲线和近似曲线误差最大：L(w)| w=1/t = - 20lg(2 z)因此，近似曲线应根据z值确定修正： z小渐近线误差振荡环节G(j)（六）、一阶微分环节幅相频率特性一阶微分环节对数频率特性惯性
7、环节一阶微分频率特性互为倒数时：对数幅频特性曲线关于零分贝线对称；相频特性曲线关于零度线对称。（七）、二阶微分环节幅相频率特性二阶微分环节对数频率特性二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于0dB线对称，相频特性曲线关于零度线对称（八）、延滞环节幅相频率特性、延滞环节对数频率特性5-3 系统开环频率特性的绘制一 系统开环对数频率特性的绘制系统开环频率特性大都是典型环节串联起来的前式两边取对数再乘20，得这样，系统的对数幅频特性、相频特性分别是典型 环节的对数幅频特性、相频特性相加系统分为三个环节：一个比例环节、两个惯性环节低频为 0dB/dec直线，
8、在w=1/T1处转折为 - 20dB/dec的直线低频为 0dB/dec直线，在w=1/T2处转折为 - 20dB/dec的直线分析：系统开环传函由三个典型环节组成，其对数幅频 特性的近似特性由三段组成；转折处频率就是两个惯性环节的转折频率（w=1/T）；经过一个惯性环节转折频率后，对数幅频 特性的近似特性的斜率增加 -20dB/dec;三条相加如图中红的折线所示根据上述分析，绘制系统开环对数幅频特性的近似特性步骤如下：画高度为20lgK的直线，从0w1（最小的转折频率）作为系统对数幅频 特性近似特性的低频段 在ww1后，斜率变为-20dB/dec,因为该转折处频率是惯性环节的转折频率（振荡环
9、节则-40dB/dec) ，随w的增加，每经过一个转折频率，幅频特性的斜率改变一次绘制系统相频特性曲线方法：根据系统相频特性表达式计算描点；计算特征点（0、转折频率）的值，需要的点再计算求值，再用光滑曲线连接。解：该系统由5个典型环节组成1、比例环节K=4，20lgK=12dB2、积分环节，幅频特性-20lgw 是一条过w=1，斜率-20dB/dec的直线，相频特性 -903、惯性环节 转折频率 w1=1/2=0.5(1/sec)幅频特性经过w1斜率增加-20dB/dec；相频特性 w：0 w1 分别为0, -45,-904、一阶微分环节 转折频率 w2=1/0.5=2（1/sec），幅频特性
10、经过w2斜率增加 +20dB/dec ；相频特性 w：0 w2 分别为0, +45,+90频率范围：最小 w1=0.5，最大 w3=8； 横坐标 w范围大约从0.05 到 80按w1 、w2 、w3 分w轴成三段过L(1)=12dB处画-20dB/dec斜率的直线作为低频段，直线经过w1 斜率增加-20dB/dec（= -40dB/dec）直线经过w2 斜率增加 +20dB/dec（= -20dB/dec）直线经过w3 斜率增加 -40dB/dec（= -60dB/dec）相频特性如图5、振荡环节 转折频率 w3=1/0.125=8（1/sec） 幅频特性经过w3斜率增加 -40dB/dec相
11、频特性 w：0 w2 分别为0, -90, -180 2zT=0.05 z =0.2幅频特性应修正 20lg2 z =8dBBode定理一 线性最小相位系统，L(w)与f(w)关系唯一Bode定理二 线性最小相位系统，L(w)的斜率与f(w)有对应关系：斜率为N*(20dB/dec)对应相角N*(90)；系统的相角当然由整个频率范围内的各斜率决定，但某频率下的相角主要由该频率下的斜率决定，其余斜率的影响越远越小。三 系统频率特性极坐标图（奈奎斯特曲线）的绘制典型环节频率特性极坐标图的大致走向系统奈奎斯特曲线（开环频率特性极坐标图）的绘制方法：按照各个典型环节频率特性在各个频率下的大小迭加而成。
12、它是一条大致的曲线，需要准确的地方，如：和负实轴相交的地方， 才需要准确计算0型系统（v = 0）只包含惯性环节的0型系统Nyquist图 I型系统（v = 1）只包含惯性环节的I型系统Nyquist图II型系统（v = 2）只包含惯性环节的II型系统Nyquist图 开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起自幅角为v90的无穷远处。系统奈奎斯特曲线（开环频率特性极坐标图）的绘制要点：奈氏曲线在 w=0 到 0+ 的变化随系统的不同而差别很大：“0”型系统：奈氏曲线从实轴（幅值=K处）开始1”型系统：奈氏曲线从实轴（幅值=处）开始， w=0+ 就转过-90到负虚轴附近；是在第三或第四象限
13、，应比较w=0+ 时各零点的相角之和与各极点相角之和哪个大，前者大则在第四象限，否则第三象限，“2”型系统：奈氏曲线也是从实轴（幅值=处）开始， w=0+ 就转过-180到负实轴；是在第二或第三象限，也是比较w=0+ 时各零点的相角之和与各极点相角之和，前者大则第三象限，否则第二象限奈氏曲线w =处是原点，切入方向根据零、极点确定,即：N(-90) +M(90)，求奈氏曲线与实轴的交点：令虚部为零，得到w代入实部而得系统开环频率特性的绘制小结：绘制系统开环对数频率特性曲线（Bode图）：有两张图，都是按典型环节相加，开环对数幅频特性曲线通常可以使用近似特性，绘制时根据传递系数、环节的转折频率和斜率一步就可以画出绘制系统频率特性极坐标图（奈奎斯特曲线） ：抓住曲线头尾的特征，曲线与实轴的交点计算而得绘制系统频率幅相图（尼柯尔斯图线） ：先画Bode图，再对应描点绘制例题6：绘制的幅相曲线。例7：含迟后环节的极坐标图解： G(j)可写为： 其幅值与相角分别为：由于幅值是从1开始单调减小，相角也是单调减小，所以该传递函数的极坐标图是一条螺旋线 曲线如图所示：开环幅相曲线的绘制5-4 乃奎斯特稳定性判据和系统的相对稳定性一、幅角原理S1代入F(S) 得F(S1)， S2代入F(S)得F(S2)； S沿s连续变化一周（不穿过F(S) 的极点）， 则F(S)沿 封闭曲线F连续变化一周
