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1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理工类） 20154（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合，.若，则A. B. 2 C. 或2 D. 1或22.已知点为抛物线上一点.若点到该抛物线焦点的距离为，则A. B. 2 C. D. 43.在中，若， ，,则A. B.4 C. D.结束是Shi 否输出开始4.“,成立”是“”的A充分必要条件 B必要而不充分条件 C充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条
2、件5.某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入在 如图所示的框图中，表示整点时刻，表示时间段内进入商场人次，表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填A. BCD6.设均为实数，且，则A. B. C. D. 7.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,，且.设，则 A . B. C. D.8. 设集合= ，则中元素的个数为A. B. 65 C. 69 D.84第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上 9.为虚数单位，计算 _. 10.设为等差数列的前项和.若，,则通项公式=_. 11.在
3、极坐标中，设，曲线与曲线交点的极坐标为_. 12.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 . （用数字作答）13. 设，实数，满足其中若的最大值为5，则实数的值为_，此时z的最小值为_.14将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了()次.则第一次挖去的几何体的体积是_；这次共挖去的所有几何体的体积和是_.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题满分13分）已知函数，.（）
4、求的最小正周期和单调递减区间；（）设是函数图象的对称轴，求的值16（本小题满分13分）0.03750.01250.0187550607080901000.031250.025分数如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为，.据此解答如下问题（）求全班人数及分数在之间的频率；（）现从分数在之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在的份数为，求的分布列和数学期望17（本小题满分14分）如图，正方形与梯形所在平面互相垂直， 已知，.（）求证:平面；（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值;ABFEDC()线段上是否存在点
5、，使得平面平面？ 若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18（本小题满分13分）已知函数，（） 当时，求函数的最小值；（） 当时，讨论函数的零点个数.19.（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为过焦点的直线与椭圆交于两点，线段中点为，为坐标原点，过，的直线交椭圆于两点（）求椭圆的方程；（）求四边形面积的最大值20.（本小题满分13分）若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是生成的控制函数设（）若数列单调递增，且所有项都是自然数，求；（）若数列单调递增，且所有项都是自然数，求； ()若，是否存在生成的控制函数（其中常数）？使得数列也是数列的生成数列？若存在
6、，求出；若不存在，说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学答案（理工类） 20154一、选择题（满分40分）题号12345678答案C C B AD A B C二、填空题（满分30分）题号91011121314答案72 ;（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题（满分80分）15.（本小题满分13分）解：（）由已知，函数 + .函数的最小正周期为.当时（），即时，函数为减函数.即函数的单调减区间为，. .9分（）由是函数图象的对称轴，则（），即，.则.则. .13分16. （本小题满分13分）解：（）由茎叶图可知，分布在之间的频数为4，由直方图，频率为， 所以全班人数为人
7、所以分数在之间的人数为人.分数在之间的频率为 .4分（）由（）知，分数在之间的有10份，分数在之间的人数有份，由题意，的取值可为， ， ， 所以随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望为.13分17.（本小题满分14分）解：（）因为平面平面，所以平面，同理，平面，又所以平面平面，因为平面所以平面. .4分（）因为平面平面，平面平面=， ，平面， 所以平面.又平面，故. 而四边形为正方形，所以又，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.设，则，取平面的一个法向量，设平面的一个法向量，则，即，令，则， 所以.设平面与平面所成锐二面角的大小为，则. .9分所以平面与平面所成锐二面
8、角的余弦值是.()若与重合，则平面的一个法向量，由（）知平面的一个法向量，则，则此时平面与平面不垂直.若与不重合，如图设，则，设平面的一个法向量，则，即，令，则，所以，若平面平面等价于，即所以.所以，上存在点使平面平面，且.14分18. （本小题满分13分）解：（）函数的定义域为.当时，.由解得；由解得.所以在区间单调递减, 在区间单调递增.所以时,函数取得最小值. .5分（）,.（1）当时，时,为减函数;时，为增函数.所以在时取得最小值.（）当时，由于，令，则在上有一个零点；（）当时，即时，有一个零点；（）当时，即时，无零点.（）当时，即时， 由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点.(
9、2)当时，时,为增函数;时，为减函数；时，为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值.当时，,即在时，.而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点.(3)当时，在上恒成立，所以为增函数.且（从右侧趋近0）时，；时，.所以有一个零点.综上所述，或时有一个零点；时，无零点；有两个零点.13分19（本小题满分14分）解：（）由题意可得解得，故椭圆的方程为 .4分（）当直线斜率不存在时的坐标分别为，四边形面积为当直线斜率存在时，设其方程为，点，点到直线的距离分别为，则四边形面积为由得，则，所以因为，所以中点当时，直线方程为，由解得所以当时，四边形面积的最大值.综上四边形面积的最大值为 14分 20（本小题
10、满分13分）解：（）若，因为数列单调递增，所以，又是自然数，所以 或1. 2分 （）因为数列的每项都是自然数，若，则，与矛盾；若，则因单调递增，故不存在，即，也与矛盾.当时，因单调递增，故时，所以，符合条件，所以，. 6分（）若，则数列单调递增，显然数列也单调递增，由，即，得，所以，为不超过的最大整数，当时，因为，所以；当时，所以，.综上，即当且为奇数时，；当且为偶数时，.若数列是数列的生成数列，且生成的控制函数为，则中不超过的项数恰为，即中不超过的项数恰为，所以，即对一切正整数都成立，即对一切正整数都成立，故得，且对一切正整数都成立，故，.又常数，当时，所以，或；当时，所以，或；当时，所以，或；所以，或，或，或，或，或. 13分 13
