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1、绝密启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数ABCD2若，满足则的最大值为A0B1CD23执行如图所示的程序框图，输出的结果为ABCD4设，是两个不同的平面，是直线且“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A B C D56
2、设是等差数列. 下列结论中正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则7如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是A BC D8汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9在的展开式中，的系数为（用数字作答）10已知双曲线的一条渐
3、近线为，则11在极坐标系中，点到直线的距离为12在中，则13在中，点，满足，若，则；14设函数若，则的最小值为；若恰有2个零点，则实数的取值范围是三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15（本小题13分）已知函数() 求的最小正周期；() 求在区间上的最小值16（本小题13分），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13，14，15，16组：12，13，15，16，17，14，假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙() 求甲的康复时间不少于14天的概率；() 如
4、果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；() 当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17（本小题14分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点() 求证：；() 求二面角的余弦值；() 若平面，求的值18（本小题13分）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：当时，；（）设实数使得对恒成立，求的最大值19（本小题14分）已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点（）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由20（本小题13分）已知数列满足：
5、，且记集合（）若，写出集合的所有元素；（）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（）求集合的元素个数的最大值2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）D （3）B （4）B （5）C （6）C （7）C （8）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）40 （10） （11）1 （12）1 （13） （14） 三、解答题（共6小题，共80分）15. 解：() 所以的最小正周期() ， 当，即时，取得极小值。 ， 所以在的最小值16. 解：() 设甲的康复时间不少于14天记为事件A
6、 所以甲的康复时间不少于14天的概率为() 因为，假设乙康复的时间为12天，则符合题意的甲有13天、14天、15天、16天，共4人。若乙的康复时间为13天，则符合题意的甲有14天、15天、16天，共3人。若乙的康复时间为14天，则符合题意的甲有15天、16天，共2人。若乙的康复时间为15天，则符合题意的甲有16天，共1人。当乙的康复时间为其它值时，由于甲的康复时间为16天，均不符合题意。所以符合题意的甲、乙选择法师共计4+3+2+1=10种 而所有甲、乙组合情况共种因为所有情况都是等可能的，所以甲的康复时间比乙的康复时间长的概率 () 或17. () 证明：是等边三角形，为的中点。 又平面平面
7、, 平面平面 平面 平面 又平面 () 取得中点，连接 如图分别以为轴建立空间直角坐标系 易见平面的法向量为 设平面的法向量为 所以 因为二面角为钝角，所以它的余弦值为.() 由()知 平面 若平面 ， 仅需 由()得 ， ， ， 解得（舍）或.18解：（） 所以切线方程为.（）原命题 设 当时， 函数在上单调递增。 ， 因此 （） 所以当 函数在上单调递增， 当时，令 解得x0减极小值增 显然不成立。 综上可知：的最大值为2.19解：（）由题知： 解得 所求的椭圆的方程为. 直线的方程为 直线与轴交于 令 ，则 （） 直线的方程为， 直线与轴交于 令 ， 则， 设 ， ， ， 又在椭圆上，
8、在轴存在点 使。20. 解：（） （）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数。 由 当时，都是3的倍数。 如果，则集合的所有元素都是3的倍数。 如果，因为或， 所以是3的倍数， 于是是3的倍数。 类似可得，都是3的倍数。综上，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数。（）若，由，可归纳证明， 因为是正整数，由， 所以是2的倍数。 从而当时，时4的倍数。 如果是3的倍数，由（）知对所有正整数，是3的倍数。 因此当时，.这时的元素个数不超过5. 如果不是3的倍数，由（）知对所有正整数，不是3的倍数。因此当时，这时的元素个数不超过8. 当时，由8个元素。 综上可知：集合的元素个数的最大值为8.法二：
