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1、2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲学生版 page 1 of 33 第四讲第四讲 全等三角形与旋全等三角形与旋 转问题转问题 中考要求 考试要求考试要求 板块板块 A A 级要求级要求B B 级要求级要求C C 级要求级要求 全等三角形全等三角形 的性质及判的性质及判 定定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质， 会用全等三角形的性质和判定解决简 单问题 会运用全等三角形的性 质和判定解决有关问题 知识点睛 基本知识 把图形绕平面上的一个定点旋转一个角度，得到图形，这样的由图形到变换叫做旋转变换，GO G G G 点叫做旋转中心，叫做旋转角，叫做的象；叫做的原象，无论是
2、什么图形，在旋转变换下，O G GG G 象与原象是全等形 很明显，旋转变换具有以下基本性质： 旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲学生版 page 2 of 33 对应直线的交角等于旋转角 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以 便于诸条件的综合与推演 重、难点 重点：重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以 后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定 也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三
3、角形的重点 难点：难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用 性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是 条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中 反复强化 例题精讲 【例例 1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案 与其余三个图案旋转的角度不同，它是与其余三个图案旋转的角度不同，它是( ) 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲学生版 page 3 of 33 【例例 2】 如
4、图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形 AEFG 可以看成是把可以看成是把 菱形菱形 ABCD 以以 A 为中心为中心( ) A顺时针旋转顺时针旋转 60得到得到 B顺时针旋转顺时针旋转 120得到得到 C逆时针旋转逆时针旋转 60得到得到 D逆时针旋转逆时针旋转 120得到得到 GF E D C B A 【例例 3】 如图，如图，C 是线段是线段 BD 上一点，分别以上一点，分别以 BC、CD 为边在为边在 BD 同侧作等边同侧作等边ABC 和等边和等边CDE,AD 交交 CE 于于 F，BE 交
5、交 AC 于于 G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( ) A1 对对 B2 对对 C3 对对 D4 对对 K G F E D C B A 【例例 4】 已知：如图，点已知：如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形求证：是等边三角形求证：CABACMCBNANBM M D N E CB F A 【例例 5】 如图，如图，三点共线，且三点共线，且与与是等边三角形，连结是等边三角形，连结，分别交分别交，于于BCEABCDCEBDAEACDC ，点求证：点求证：MNCMCN NM E D C B A 【补充补充】已知：如图，点已知：如图，点
6、为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形求证：是等边三角形求证：平分平分CABACMCBNCFAFB 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲学生版 page 4 of 33 M D N E CB F A 【补充补充】如图，点如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形是等边三角形CABACMCBN 请你证明：请你证明： ；ANBM ；DEAB 平分平分CFAFB M D N E CB F A 【例例 6】 ( (2008 年怀化市初中毕业学业考试试卷年怀化市初中毕业学业考试试卷) )如图，四边形如图，四边形、都是正方形，连接都是正方形，连接、ABCDDEFGAE 求证：求证：CG
7、AECG G F E D C B A 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲学生版 page 5 of 33 【例例 7】 如图，点如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形，是等边三角形，是是中点，中点，是是中点，求中点，求CABACMCBNDANEBM 证：证：是等边三角形是等边三角形CDE MD N E CBA 【补充补充】(】(年全国初中数学竞赛海南区初赛年全国初中数学竞赛海南区初赛) )如下图，在线段如下图，在线段同侧作两个等边三角形同侧作两个等边三角形和和2008AEABC ( () )，点，点与点与点分别是线段分别是线段和和的中点，则的中点，则是是( ( ) )CD
8、E120ACEPMBEADCPM P M B C D E A A钝角三角形钝角三角形 B直角三角形直角三角形 C等边三角形等边三角形 D非等腰三角形非等腰三角形 【例例 8】 如图，等边三角形如图，等边三角形与等边与等边共顶点于共顶点于点求证：点求证：ABCDECCAEBD D E C B A 【例例 9】 如图，如图，是等边是等边内的一点，且内的一点，且，问，问的度数是否的度数是否DABCBDADBPABDBPDBC BPD 一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲学生版 page 6 of 33
9、P D CB A 【例例 10】( (2005 年四川省中考题年四川省中考题) )如图，等腰直角三角形如图，等腰直角三角形中，中，为为中点，中点，ABC90B ABaOAC 求证：求证：为定值为定值EOOFBEBF O B E CF A 【补充补充】如图，正方形如图，正方形绕正方形绕正方形中点中点旋转，其交点为旋转，其交点为、，求证：，求证：OGHKABCDOEFAECFAB 5 4 3 2 1 O H B E D K G C F A 【例例 11】( (2004 河北河北) )如图，已知点如图，已知点是正方形是正方形的边的边上一点，点上一点，点是是的延长线上一点，且的延长线上一点，且EABC
10、DCDFCB 求证：求证：EAAFDEBF F E D C B A 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲学生版 page 7 of 33 【补充补充】如图所示，在四边形如图所示，在四边形中，中，于于，若四边形，若四边形ABCD90ADCABC ADCDDPABP 的面积是的面积是 16，求，求的长的长ABCDDP P D C B A 【例例 12】、分别是正方形分别是正方形的边的边、上的点，且上的点，且，为垂足，为垂足，EFABCDBCCD45EAF AHEFH 求证：求证：AHAB C H F E D B A 【例例 13】( (1997 年安徽省初中数学竞赛题年安徽省初中数学竞赛题
11、) )在等腰在等腰的斜边的斜边上取两点上取两点、，使，使，Rt ABCABMN45MCN 记记，则以，则以、为边长的三角形的形状是为边长的三角形的形状是( ( ) )AMmMNxBNnxmn A锐角三角形锐角三角形 B直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D随随、的变化而变化的变化而变化xmn MN C BA 【巩固巩固】如图，正方形如图，正方形的边长为的边长为 ，点，点在线段在线段上运动，上运动，平分平分交交边于点边于点ABCD1FCDAEBAFBCE 求证：求证：AFDFBE 设设( () )，与与的面积和的面积和是否存在最大值？若存在，求出此时是否存在最大值？若存在，求出此时的值
12、的值DFx01xADFABESx 及及若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由S F E D CB A 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲学生版 page 8 of 33 【例例 14】( (通州区通州区 2009 一模第一模第 25 题题) )请阅读下列材料：请阅读下列材料： 已知：如图已知：如图 1 在在中，中，点，点、分别为线段分别为线段上两动点，若上两动点，若Rt ABC90BACABACDEBC 探究线段探究线段、三条线段之间的数量关系三条线段之间的数量关系45DAEBDDEEC 小明的思路是：把小明的思路是：把绕点绕点顺时针旋转顺时针旋转，得到，得到，连结，连结，AECA
13、90ABEE D 使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想猜想、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； BDDEEC 当动点当动点在线段在线段上，动点上，动点运动在线段运动在线段延长线上时，如图延长线上时，如图 2，其它条件不变，其它条件不变，中探究中探究EBCDCB 的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明 图 1 A B C D E 图 2 A B C DE 【例例 15】( (北京市数学竞赛试题，天津市数学
14、竞赛试题北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) ) 如图所示，如图所示，是边长为是边长为 的正三角形，的正三角形，ABC1 是顶角为是顶角为的等腰三角形，以的等腰三角形，以为顶点作一个为顶点作一个的的，点，点、分别在分别在、BDC120D60MDNMNAB 上，求上，求的周长的周长ACAMN N M D CB A 【例例 16】在等边在等边的两边的两边 AB，AC 所在直线上分别有两点所在直线上分别有两点 M，N，D 为为外一点，且外一点，且ABCABC ，探究：当点，探究：当点 M，N 分别爱直线分别爱直线 AB，AC 上移动时，上移动时，60MDN120BDCBDCD BM，NC，MN 之间的数量关系及之间的数量关系及的周长与等边的周长与等边的周长的周长 L 的关系的关系AMNABC 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲学生版 page 9 of 33 如图如图，当点，当点 M，N 在边在边 AB，AC 上，且上，且 DM=DN 时，时，BM，NC，MN 之间的数量关系式之间的数量关系式 _；此时；此时=_ Q L 如图如图，当点，当点 M，N 在边在边 AB，AC 上，且上，且时，猜想时，猜想( (1) )问的两个结论还成立
