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1、第八章 截交线、相贯线第一节 截交线一、截交线定义截交线：平面与立体相交，可设想为立体被平面所截，这个平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。如图8-1：图8-1截交线的性质：截交线是由既在截平面又在立体表面上的点集合而成。求截交线的方法：.求截平面和立体表面的一系列共有点；.判别可见性；.顺序连线。 二、平面与立体相交（一）平面与平面立体相交平面与平面体的截交线是由直线组成的封闭的多边形,多边形的顶点数目决定于立体上与平面相交的棱线的数目。如用一个平面按不同的位置切割立方体时，其截交线可以是三边形、四边形、五边形、或者六边形，如图8-1: 图8-2求平面与平面体的截交线有两种方法：
2、1、棱线法求各棱线与平面的交点。2、棱面法求各棱面与平面的交线。这两种方法的实质是一样的，作图时可以选择使用。例一：如图8-3，求平面与三棱锥相交的截交线解：1、分析：此情况下，截交线是一个三角形。因为三棱锥的侧棱面都是一般位置平面，通常用棱线法来解题。2、步骤：棱线SA,SB,SC与平面P的交点的正投影k、m、n可以利用积聚性在迹线Pv上直接求出。它们的水平投影k、m、n应当位于相应棱线的水平投影上，连接起来，即为所求截交线的水平投影。3、可见性：因为三棱锥的每一个侧棱面的水平投影都是可见的，所以位于这些棱面上的交线的水平投影也都可见。图8-3动画演示 例二：如图8-4，平面与三棱柱相交 解
3、：1、分析：由于三棱柱的各棱面都是铅垂面，其水平投影有积聚性，因此采用棱面法比较方便。 2、步骤：分别找出这些铅垂面与平面DEF的交线，则在交线上位于两棱线间的线段，即为所求截交线的各边。例如棱线AB所在铅垂面与平面DEF的交线，在棱线AB所在棱面内的线段KM，即为所求的一条边，再找出棱线AC所在平面与平面DEF的交线KN，即可画出整个截交线的投影。 3、可见性：因为棱线AC所在平面的正面投影是不可见的，所以kn画成虚线，而其余的截交线都是可见的。 (a)(b)图8-4动画演示 （二）平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交，截交线一般为封闭的平面曲线。1、平面与圆柱的截交线根据截平面与圆柱的相对
4、位置不同，截交线有三种情况(表8-1)：表8-1例1：如图8-5a所示，圆柱被一正垂面所截，已知主视图和俯视图，求左视图。解:1、分析：圆柱体被正垂面截切，截交线的是一椭圆。此截交线椭圆的V投影积聚为一直线，H面投影积聚在圆周上，W面的投影是椭圆需要求出。2、作图：先画出完整的圆柱体的左视图，再求截交线的侧面投影。(1)求特殊点。特殊点主要是转向轮廓线上的共有点，截交线上最高、最低、最前、最后、最左、最右点以及能决定截交线形状特性的点，如椭圆长短轴端点等。由图8-4可知，I、II为椭圆的短轴，III、IV为椭圆的长轴，点I和点II分别位于圆柱的最左、最右素线上，I为最低点，II为最高点。点II
5、I和IV分别位于圆柱的最前和最后素线上。它们的正面投影1、2、3、4和水平投影1、2、3、4可直接标出来。由两投影可求出侧面投影1、2、3、4。(2)求一般点。为使作图准确，还须作出若干一般点。在特殊点之间再找几个一般点如V、VI、VII、VIII，根据它们的正面投影5、6、7、8和水平投影5、6、7、8即可求出侧面投影5、6、7、8。(3)判断可见性、连线。 用曲线板依次光滑连接各点的侧面投影，即的得截交线的侧面投影。加深相对于侧投影面的转向轮廓线至3、4，完成截交线的侧面投影。(a)(b)图8-5 例2：如图8-6a所示，为一简化后的零件，试画出他的三面投影图。解：1、分析：此零件整体为一
6、直立圆柱，它的左上角被水平面A和侧平面C截取一块，他的中下部有被水平面B和两侧平面D、E截取一块。由表8-1可知：圆柱面被与其轴线平行的平面所截，截交线为一对与轴平行的直线。2、作图：（1）画出圆柱的三面投影图（2）按五个截平面的实际位置，画出它们的正面投影。（3）按投影关系，作出截平面的水平投影（4）由V、H两面投影求侧面投影。a、求各水平面的侧面投影：水平面A和B的侧面投影各积聚为一水平线段1”和。b、求各水平面的侧面投影侧平面C和D的侧面投影各为一举行。宽度为和；侧平面E和D重合，截交线不必再求（5）去掉多余的线（6）判断可见性。（a）（b）图8-6 2、平面与圆锥的截交线根据截平面与圆
7、锥的相对位置不同，截交线有五种情况：表8-2位置垂直于轴线倾斜于轴线平行于轴线平行于一条素线过锥顶形状圆椭圆双曲线和直线段抛物线和直线段两相交直线立体图投影图例3：如图8-7（a）所示，圆锥被正垂面所截，已知它的主视图，求做俯视图和左视图。解：1、分析：从所给情况看，截交线是一个椭圆，它的正面投影积聚成一条直线，而其水平投影和侧面投影仍是椭圆，做图时，应先找出长、短轴的端点，然后再适当地作一些中间点，把他们用曲线光滑的连接起来即可。 2、作图：从立体图（a）中可看出，空间椭圆的长轴AB和短轴CD互相垂直平分。A、B两点的正面投影a、b位于圆锥的正面投影轮廓线上，其相应的水平投影为a、b。C、D
8、两点的正面投影位于ab的中点处，并重合为一点cd。为了找出它们的水平投影，需要利用在圆锥上找点的方法，经过cd作一水平面，与圆锥相交于一个圆，画出这个圆的水平投影，则c、d就位于这个圆上。同理点e、f、m、n的求法是一样的。最后光滑连接各点即可。（a）（b）图8-7动画演示 3、平面与球体截交线无论截平面处于何种位置，它与球体的截交线总是圆。截交线的投影并不一定是圆形，投影跟截平面与投影面的相对位置有关，如表8-3：表8-3截平面位置平行于投影面垂直于投影面一般位置截交线形状圆立体图投影图例4：如图8-8（a）所示，圆球被正垂面所截，已知其主视图，画出俯视图和左视图。解：1、分析：根据截平面对
9、投影面的相对位置可知，其截交线为圆。正垂面截切圆球，其V投影积聚为一直线，截交线的H、W面的投影是椭圆。 2、作图步骤：（1）求出特殊点。由图8-7可知，1、2是球面相对于V面转向轮廓线上的点，也是截交线上的最高、最低点。它们还是截交线圆在H、W面投影的椭圆短轴。可直接由V面投影1、2，求得1、2；1、2。椭圆的长轴，垂直平分1、2。由1、2的V面投影作垂直平分线求3、4。过3、4取水平面作为辅助平面，求出3、4 的H、W面投影。 （2）求出一般点：取一系列的水平面作为辅助平面。（也可用正平面、侧平面作为辅助平面） （3）判可见性、连线画出截交线的投影。加深各转向轮廓线，到相应的点。（a）（b
10、）图8-8 *4、平面与其他回转体相交回转体的形式多种多样，除了常见的圆柱、圆锥、球体之外还有圆环和其他形状：表8-4圆环及其几种截交情况 二、直线与立体相交直线与立体相交,是直线从立体的一侧表面贯入，从另一侧穿出，故交点是成对存在，称为贯穿点。求直线与曲面体的交点的一般方法是利用做辅助面的方法，具体步骤如下：1.包含已知直线做一辅助平面；2.求出辅助平面与已知曲面体的截交线；3.找出截交线与该直线的交点，即为所求直线与曲面体的交点。这里的关键是如何根据曲面的性质来选取适当的辅助平面，使它与曲面的截交线的投影是简单易画的图形由直线和圆组成。（一）直线与平面立体相交例1：求直线与三棱锥的贯穿点图
11、8-9动画演示 作图步骤：（1）过已知直线做辅助平面Pv。 （2）求出平面与棱线 SA，SB，SC的交点1，2，3。连线组成123。 （3）123与直线投影的交点j、k即为所求直线与三棱锥的交点的投影。 （二）直线与曲面立体相交例2：辅助平面法求直线与圆锥的贯穿点解: 分析：AB为一般直线，应该选取包含直线AB并通过锥顶S的辅助平面SMN，它与圆锥的交线是三角形平面。在直线AB上任取两点、，则直线S和S确定平面Q，求出Q与圆锥底面的交线MN。找出MN与底圆的交点C、D，则三角形SCD的两边与直线AB的交点K、J即为所求的贯穿点。 贯穿点的可见性：直线穿入立体内部的一段，可视为与立体相融洽，故不
12、必画出，必要时用细实线或细点划线表示。位于立体外部的直线段，其投影又在立体的投影范围以外的那部分，则观看时由于没有被立体遮住而必为可见，其投影应画成粗实线；直线投影与立体的投影重叠的部分，则其可见性由贯穿点的可见性来决定，而贯穿点的可见性与它所在立体表面的可见性相同。(a)(b)图8-10动画演示 第二节 相贯线一、两平面立体相贯两平面体的相贯线一般情况下为空间折线，特殊情况下可为平面折线。每段折线均是一立体棱面与另一立体棱面的交线，每个折点均是一立体棱线与另一立体棱面的交点。求两平面立体相贯线的方法，实质就是求两个相应的棱面的交线，或求一立体的棱线与另一立体的贯穿点。求两平面体交线的方法有两
13、种：1、棱线法：求各棱线与棱面的交点。2、棱面法：直接求出各棱面的交线。 例：三棱锥与三棱柱相贯 作图步骤：如图8-10所示（1）求SB棱线与三棱拄的贯穿点、；（2）用同样方法求出棱线SC、SA与棱拄的贯穿点、，、；（3）依次连接各贯穿点即得相贯线；（4）判断可见性原则： 只有当两个棱面在该投影面上的投影均为可见时，它们的交线在该投影面上的投影是可见，否则不可见。此图中，12,13,45,46在棱锥和棱柱的表面都是可见的，23,56虽然在棱柱的表面上是可见的，但是在棱锥的表面上是不可见的，故其为不可见的，画作虚线。 （a）（b）图8-11 二、平面立体与曲面立体相贯 平面体与曲面体相交，一般情
14、况下交线是由若干段平面曲线所组成的空间封闭曲线。每段平面曲线是平面体的某一棱面与曲面体相交所得的截交线。两段平面曲线的交点是平面体的棱线对曲面体的交点。因此，求平面体与曲面体的交线可以归结为两个基本问题，即求平面与曲面的截交线及直线与曲面的交点。例：求三棱拄与圆锥的交线解：1、分析：三棱柱的正面投影上有积聚性，交线的正面投影积聚其上，只需求其水平投影。2、作图步骤（1）求出相贯线上的特殊点，结合点，极限点。三棱柱的投影在主视图上有积聚性。设棱线A与圆锥的贯穿点为（1、1）点，根据直线与圆锥相交的方法求出贯穿点的水平投影1，1。同理可求出棱线C与圆锥的贯穿点的水平投影（2、2）。（2）求出交线上的一般点。通过做辅助平面R3V，可求出一般点、的投影5、5,6、6的水平投影5、5，6、6。点是圆锥的转向线上的点，可以直接由3确定3的投影。（3）依次光滑的连接各点，即为所求的相贯线。（4）判断可见性：由图可见，、点连线的水平投影不可见，其余各点都是可见的。(a)(b
