关于具有拟恰当断面的富足半群的若干研究

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3、面或具有乘纯正断面的正则半群的结构定理，统 一了目前所研究的具有乘逆( 纯整) 断面的正则半群和具有乘逆断面的富足半群的 结构 第三章讨论富足半群的乘拟恰当断面之间的关系证明了富足半群的两个乘拟 恰当断面的乘积仍是乘拟恰当断，进一步，所有由乘拟恰当断面构成的集合是矩形 带验证了对一个富足半群S 的任意两个乘拟恰当断面S o 和妒，若6 0 和扩分别 为S o 和妒上的6 关系，则存在S o 扩到妒扩的双射特别地，当6 关系是其中 乘拟恰当断面S 。或妒上的同余时，有酽6 笺妒 证明：令V = ( 吼+ ，6 ( 可) ，L 掣) Q 。IY 6 扛) ) 设( R + ，6 ( 剪) ，L 圹

4、) V 因Y 6 ( z ) ，故( 冠，6 ( y ) ，厶) = ( R ，6 ( z ) ，三A ) Q 因此，存在i ，矿E 。使 得iCi 。冗+ YPA + 冗A 由此可得t 冗 矿且M ：y + 入于是， ( 忍，6 ( z ) ，己A ) = ( 忌，6 ( i + ) ，L i ) ( R + ，6 ( 可) ，L 圹) ( 冗A + ，6 ( A + ) ，三A ) ( 2 2 1 ) 进一步地，由引理2 2 3 得 ( 见，6 ( t ) ，己t ) c ( 忍，6 ( 1 + ) ，厶) 7 已+ ( 甩+ ，6 ( 可) ，L 旷) ( 2 2 2 ) 和 ( 兄+

5、，6 ( A + ) ，L A ) 冗( 兄A + ，6 ( 入+ ) ，三A + ) C ( R + ，6 ( y ) ，L 旷) ( 2 2 3 ) 根据( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) ，有( 局+ ，6 ( 可) ，L 圹) 。( n ) ，即y 。( n ) 反过来，如果( R + ，6 ( y ) ，L 旷) 。( 口) ，那么存在( 马。，6 ( y 1 ) ，L p ，) ， ( 马：，6 ( 抛) ，L p ：) E ( Q ) 满足 ( 忍，6 ( z ) ，厶) = a = ( 局。，6 ( y 1 ) ，L p 。) ( 凡+ ，6 ( 可

6、) ，L 旷) ( 如，6 ( 眈) ，L p ：) 和对某 ( j 0 + ，6 ( z ) ，L 旷) + E ( Q 。) ，( 月0 + ，艿( y ) ，L 旷) E ( Q 。) 有 ( 马。，6 ( 箩1 ) ，L p ，) c ( 局+ ，6 ( ) ，L 旷) + 和6 ( 抛) ，L ，l ：) 冗( 毛+ ，6 ( 剪) ，L 旷) 兰州大学2 0 0 9 届博二i ：学位论文 由此可得 ( 马。，6 ( 可1 ) ，L p ，) 彤a ( 马。，6 ( 耽) ，L p 。) 从而，i 冗J 1 且弘2C 入另一方面，由引理2 2 5 知存在e ，f E 。满足 ( 局+

7、 ，6 ( y ) ，L ) + = ( 见，6 ( e ) ，L 。) ，( R + ，6 ( 可) ，L 耖) = ( R I ，6 ( ，) ，L f ) 和J 冗e ，pCf 于是， ( 忌，6 ( e ) ，L 。) ( 兄，6 ( z ) ，L A ) ( R ，6 ( 厂) ，L f ) = ( + ，6 ( ) ，L 旷) 从而有 ( e i x ) f ) + 7 已Y + ，5 ( e i x ) f ) = 6 ( 可) 和( e i x A f ) + CY + 因此e i x , 入f 冗+ Y 且Y = e i x ) f 另外。因为 ( 马。，6 ( y 1 )

8、，L p 。) C ( 吼+ ，6 ( y ) ，L 耖) + = ( 见，6 ( e ) ，L e ) ， 所以肛1Ce 因此，有( 兄，6 ( 可1 ) ，L 。) = ( 马。，6 ( 可1 ) ，L p 。) E ( Q ) 于是，存 在i ，e + E o 使得 i i 幸冗+ Y lC e + 冗e 由于Y 1 E o ，有iCe i 冗e 类似地，可以找到i + E 。使得i i 冗+ X 所以， 存在矿E 。满足e i i 冗矿又因e i E 。，故而e i E ( z + ) 对偶地，存 在X + E 。满足X f E ( x + ) 因此，Y 6 ( z ) 且C Q 。(

9、 n ) V 口 推论2 2 7Q 。是Q 的富足断面 证明：由引理2 2 5 和2 2 6 可得 引理2 2 8 设e E ( Q ) ，g E ( Q 。) 则有 。( 9 ) 。( e ) g 。( e 夕) 和C Q 。( e ) 。( 夕) 。( g e ) 成立 2 l 口 州大学2 0 0 9 届博士学位论文 E ( Q ) 和g = ( R f ，6 ( ，) ，L f ) E ( Q 。) 冗zCA + 冗入 由引理2 2 6 可知对任意的e 。c Q 。( e ) ，g 。( 9 ) ，存在Y 6 ( z ) ，h 5 ( f ) 满足 e 。= ( 凡+ ，6 ( 可)

10、，L 旷) 和g 。= ( R h + ，6 ( 九) ，L h ) ， 其中旷，Y 幸，h + ，h 木E 。显然，Y ，h E 。因此， g 。e 。= ( R h + ，6 ( ) ，L h ) ( 吼+ ，6 ( 可) ，L ) = ( R ( h y ) + ，6 ( 切) ，L ( h 掣) ) 此外， e g = ( R ( z A ，) + ，5 ( x X f ) ，L ( 。A ，) A ) 容易验证，入+ 既是z 入，的逆又是z ，的逆且z 入，x f 人进一步地， 由f X + ，x X f ，zf E 。可知，汁是E 。中z A ，和z ，共同的逆元由此 可得。( x

11、 A f ) = 坛。( x f ) 和J ( x A f ) = 5 ( x f ) 因为6 是E 。上的半格同 余，所以5 ( x f ) = 6 ( 幻) 于是，据引理2 2 6 ，有g O e 。c Q 。( e 夕) 对偶地， e o g o 。( 夕e ) 口 引理2 2 9Q 。是Q 的乘拟恰当断面 证明：设口= ( R ，6 ( z ) ，厶) ，b = ( 马，6 ( 剪) ，L p ) Q 令( R 。，6 ( 9 ) ，厶) 厶 和( R t ，6 ( ) ，L r ) A b ，其中g E 。，h E 。则存在a 。( o ) 对某e E 。 满足 ( 咒，6 ( 夕)

12、 ，L 口) Ca 叶= ( 尼，6 ( e ) ，L e ) 由此可得厶= L e 于是，有仃E 。对偶地，t E o 令仇= ( r 宰s ) 夕 则m E o 日 ( 忍，6 ( J 1 ) ，L r ) ( 见，6 ( 9 ) ，L ) = ( + ，6 ( m ) ，厶n 。矿) ，其中m + ，m E o 兰州大学2 0 0 9 届博L 学位论文 显然，对某( t m + ) 。，( m + 盯) + E o ，有 t m + C ( t m + ) + 冗mC ( m 盯) + 冗m 矿， 由此得t m + ，m 盯E ( m ) 令f = t m + m + 仃则亡m + 冗f

13、Cm + 盯且f 6 ( m ) 此时， ( R t ，6 ( 九) ，L r ) ( j k ，6 ( 夕) ，L 仃) = ( R f + ，6 ( ，) ，n y ) ，其中f + = t m + ，f = m + 仃 因此，人6 厶冬E ( Q 。) 再由推论2 2 7 和引理2 2 8 知Q 。是Q 的乘拟恰当断 面 口 通过前面的准备工作。我们现在可以给出一个具有乘拟恰当断面的富足 半群的结构定理 定理2 2 1 0 若( ，S 。，A ，木) 为Q A - 系，则Q ( I ，s 。，A ，木) 是具有同构于S 。的 乘拟恰当断面Q o 的富足半群反之任何具有乘拟恰当断面的富足半

14、群都可 以如此的构造 证明：若( ，S 。，人，木) 为Q A 一系，则由引理2 2 5 和2 2 9 知Q ( I ，s 。，A ，木) 是 且具有同构于酽的乘拟恰当断面的富足半群 反过来。设S 具有乘拟恰当断面S 。的富足半群，E 。为S 。的幂等元带 令I = U z sL ，A = U z s 虬定义从A I 到E 。的映射如下： 奉：A I _ E o ( 入，i ) H 她 容易验证，I c 是正规映射根据引理2 1 1 和推论2 1 5 ，三元组( ，E 。，人，木) 是Q A 一系 下证S 同构于Q = Q ( X ，S 。，A ，木) 因S 。为S 的乘拟恰当断面，故对 任意

15、的z S ，存在z 。C s 。( z ) ，i 厶和A k 满足X = i x 。入和对 某z o + ，z E 。，有iCz 。+ 和ACz 因此，( R ，6 ( z 。) ，L A ) Q 定义p 为如 下映射： p ：S Q zH ( 忍，6 ( z 。) ，L A ) 兰州大学2 0 0 9 届博士学位论文 显然，p 的定义是好的若z ，Y S ，则对任意 i 厶，z 。C s 。( z ) ，A 口和J 厶，Y 。C s 。( 可) ，肛A ”， 有z = i x 。A 和Y = J Y 。弘由定理2 1 1 0 及其证明过程知 ( z y ) 。= z 。A J y 。c s 。( z v ) 且i ( z 箩) 。+ C ( z 夕) 。+ ，( z 3 ) 。+ p7 已( z 可) 。+ ， 对某( z 可) 。+ ，( z 箩) 。E 。因x y = i ( x y ) 。+ ( z 剪) 。( z ) + p ，故 8 ( x y ) = ( R ( z “ ) o + 6 ( ( z 可) 。) ，L ( z ”) 。p ) =