《关于带未知函数线性附加项的简化boussinesq方程的稳定性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关于带未知函数线性附加项的简化boussinesq方程的稳定性（65页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上海大学 硕士学位论文 关于带未知函数线性附加项的简化Boussinesq方程的稳定性 姓名：魏晓军 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：何幼桦 20040408 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 拣要 本论文运用分层理论，主要对带有未知函数附加顼的简化B o u s s i n e s q 方稃( 在不引起混淆的情况下，以下简称简化的B o u s s i n e s q 方 程) ，以下三个方封的内容展开研究。 1 简化的B o u s s i n e s q 方程的稳定性： 如果一个偏微分方程( 组) 是不稳定的，则它梅成的任何定解闻 题都不可能是适定的f 1 ，因此必须
2、首先研究方程的稳定性。作者在求 出其准本方程和本方程基础上，通过验证横截层非窿，从而得出简化的 B o u s s i n e s q 方程是稳定的结论 2 简化的B o u s s i n e s q 方程初值闻题的适定性 通过对方程遗定性充要条件的研究，可以给出修正方程的理论依 据 1 1 由于简化的B o u s s i n e s q 方程在z ，口，z 方向上是对称的，故只 需在现，两个开集土给出方程适定性的充要条件及其局部解空间构 造。 3 当给出的初值问题适定时，提供了计算解析解的步骤与计算实例和 m a t h c m a t i c a 程序。当初值问题不适定时，则给出了相应
3、有限形式的形 式解作为例证 关键词B o u s s i n e s q 方程，分甚理论，形式解，末方程 本论文得到上海市教委科技发展基金( 0 2 A K 4 9 ) 及上海市科委重点项目( 0 2 D J l 4 0 3 2 ) 资助 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 I I A b s t r a c t T h i s p a p e r ，b a s e d o nt h e t h e o r y o f s t r a t i f i c a t i o n s ，m a i n l yd i s c u s s e st h ef o l l o w i n g t h
4、r e ea s p e c t so ft h es i m p l i f i e dB o u s s i n e s qe q u a t i o na p p e n d i n gl i n e a rp o l y n o m i a l so f u n k n o w n f u n c t i o n s ( I nt h ef o l l o w i n g ，i ti ss i m p l yc a l l e dB o u s s i n e s qe q u a t i o nf o rt h e s a k eo fc o n v e n i e n c e )
5、F i r s t ，t h es t a b i l i t yo fB o u s s i n e s qe q u a t i o n I faP D Ei sn o n s t a b l e ，a n yi n i t i a lv a l u ep r o b l e mo fi t i si l l p o s e d S ot h es t a b i l i t y o fB o u s s i n e s qe q u a t i o nm u s tb ed i s c u s s e df i r s t l y A f t e rt h ep r e - g r a
6、d u a l l ya s s o c i a t e d e q u a t i o na n dg r a d u a l l ya s s o c i a t e de q u a t i o na r ec a c u l a t e d ，t h ea u t h o ro b t a i n st h e r e s u l tt h a tB o u s s i n e s qe q u a t i o ni ss t a b l eb yp r o v i n gt h a tt h et r a n s v e r s a ls t r a t u mo f D i sn
7、o tn u l l S e c o n d ，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fw e l l - p o s e di n i t i a lv a l u ep r o b l e m s T h r o u g ht h es t u d yo ft h en e c c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n so fw e l l p o s e d i n i t i a lv a l u ep r o b l
8、e m s ，t h eb a s i so fm o d i f y i n gt h ee q u a t i o nc a nb ep r e s e n t e di n t h e o r y B e c a u s eB o s s i n e s qe q u a t i o ni ss y m m e t r i ci n t h ed i r e c t i o no fz ，Y ，z ，t h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sa r eo n l yp r e s e n t e
9、di nt h eo p e nc o v e r i n g so fU 3 a n d J 4 T h i r d ，i ft h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mi ss t a b l e ，t h ep r o c e d u r et og e tt h ea n a l y t i c a l s o l u t i o na n de x a m p l e sa n dm a t h e m a t i c ap r o g r a m m ea r eg i v e n O t h e r w i s e l s o m ee x a
10、 m p l e sd e s c r i b i n gf o r m a ls o l u t i o n so fi l l p o s e dp r o b l e m e sa r ep r e s e n t e d K e yw o r d s ：B o u s s i n e s qe q u a t i o n ls t r a t i f i c a t i o nt h e o r y f o r m a ls o l u t i o n ，s e c o n d a r ye q u a t i o n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作
11、。除 了文中特, 知J D E I 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰 写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：巍鳢I 呈 日期丝! 坐：， 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：趣毙翠导师签名：! i 亟逝堕荨日期： 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 第一章前言 大气方程组的稳定性和初边值问题的适定性在气象学上有着重要的理论意义
12、 和实际意义因为通过对它们的研究，可以给出为什么必须修正方程的理论依据 1 】 1 9 世纪物理学家J B o u s s i n e s q 为求得层结流体控制方程组的合理简化模式而 提出了七点假设【8 】根据他的近似假设应用于大气动力方程组f 7 】，其主要结论 有： 1 在连续过程中不考虑密度的个别变化，即可近似地作为不可压缩流体处理； 2 在与重力相联系的铅直运动方程中要部分考虑密度变化地影响，即存在阿基 米德浮力与净浮力； 3 在状态方程或热流量方程要考虑密度变化的影响，而密度变化( 扰动) 主要是 由温度变化( 扰动) 引起的； 4 空气的分子粘性系数和分子热传导系数可作常数处理
13、我们把具有以下特点的流体称为B 0 u s s i n e s q 流体【6 如果在质量守恒的方 程中略去密度的个别变化，而在动量守恒方程中，与重力相联系的项，保留密度 变化的重力效应并且，质量守恒方程进一步取： v 矿：0 的无辐散形式，而与重力相联系的密度变化，只考虑热膨胀效应而略去压缩性影 响的流体 为了究局部天气变化，抓住B o u s s i n e s q 流体方程组的主要特征，根据以上近似 原则。可将其简化为以未知函数多项式为动力源的非静力平衡B o u s s i n e s q 方程 但对于这类方程，大部分研究工作都是围绕着某些特定的定解问题，主要用 到的方法有两种 第一种：
14、扩大函数类求解，以求其广义解 8 】 第二种；利用有限差分法，以离散化的微分寻找其近似数值解【2 4 】 对于方程的稳定性和初边值适定性以及准确解问题的研究比较少，但这又恰 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 2 恰构成了数值计算求解的理论基础本文利用分层理论，在伊函数类里，主要对 B o u s s i n e s q 方程的稳定性和初边值问题的适定性进行研究【2 】 分层理论( T h e o r i ed eS t r a t i f i c a t i o n ) 是近二十年来形成的一种为求解非线性 方程而建立的全新理论这种理论将方程的求解问题转化为拓扑学问题同时， 又提供了比较完
15、整而且具体的的求解方法与步骤在伊函数类里，我们可以判 定所论方程的C a u c h y 问题及各种边值问题、混合问题的适定性这种理论与方法 并不去限定方程的类型，也不指望扩大函数类以求得结果在适定的情形下，运 用此方法可得到问题的稳定的解析解因而不但为非线性偏微分方程的数值计算 提供了严格的理论根据，更重要的是提供了完整的计算公式( 1 】 本论文共分以下五章： 第一章：对所研究问题的概述 第二章；分层理论的一些基本概念与解题步骤 第三章：简化的B o u s s i n e s q 方程1 在E h r e s m a n n 空间的表达形式以及其准本 方程与本方程 第四章：简化的B o
16、u s s i n e s q 方程的稳定性和初边值问题适定的充要条件以及 局部解空间构造 第五章；当初边值问题适定时，给出计算局部解析解的步骤与例子以及m a t h e m a t i c a 程序，当初边值问题不适定时，提供具体的有限形式的形式解例子 以下如果没有特别声明，简化的B o u s s i n e s q 方程均指以未知函数多项式为动力 源的非静力平衡B o u s s i n e s q 方程 ! ! ! ! 兰圭塑查兰堡主兰垡垒苎! 第二章分层理论与方法简介 2 1 分层理论的一些基本概念及主要结论 定义2 1 1 E h r e s m a n n 空间 设KZ 是两个G o 。微分流形称 ，2 ( V z ) = U砧。( K 孑) 扛，u ) E V z 是V 到Z 的k 阶E h r e s m a n n 空间特别的，j o ( K z ) = V x Z ，并约定j - 1 (
