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1、第六章 欧几里德空间,内积的定义与性质 向量的模、单位向量 向量的夹角 正交组、标准正交组 正交基、标准正交基(底) 施密特正交化方法 正交矩阵、正交变换,6.1 欧几里德空间,6.1.1 向量的标准内积,定义1：设V是实线性空间(数域为R)，若对于V内任意一对向量 , 按照某一法则在R中有一个唯一确定的实数, 与之对应，且满足条件：,；,；(,),；(,),，当且仅当,时,则实数,称为向量,(),(),(),(),；,的标准内积，简称为内积.,定义了内积的实线性空间称为欧几里得空间，简称欧氏空间.,注：有的书上对内积用( , )表示,一、内积的定义及性质,注意：,定义1是个抽象定义，不同的实
2、线性空间中的内积可以有完全不同的内容与形式.,同一个实线性空间中也可以定义不同的内积，而构成不同的欧氏空间.,例1：在Rn中，对于任意向量,定义,(1),显然设,，当且仅当,时,(),(),(),；,(),则,例2：在Rn中，对于任意向量,定义,(2),容易验证它也适合内积定义中的条件(I)-(IV)，这样Rn中按(2)也得到一个内积，这时Rn关于这个内积也构成一个欧氏空间.,注意：由于内积的定义不同，这是两个不同的欧氏空间. 以后凡说到欧氏空间Rn均指例1所述的欧氏空间.,显然，它适合内积定义中的条件 (I)-(IV)，这样Rn 中按(1)得到一个内积，于是Rn关于这个内积成为一个欧几里得空
3、间.,例3：在连续函数空间 Ca,b中，对任意的,定义,由定积分的性质可知：设,(1),(2),(3),也成为一个欧氏空间.,因此，该定积分满足内积定义的4个条件，因而它也,成为Ca, b中的一个内积. 于是，关于这个内积Ca, b,(4) 当 f (x)不是恒等于0时,欧几里得空间的一些基本性质：,定义1的条件(I)表明内积是对称的，故有,，有,，特别,性质2,是V中某一向量，若对于,，有,，则,性质1,.,性质3,及,恒有,又,故,定义2： 称为欧氏空间V中向量的模（或长度），记为| ，即 .,向量的长度具有下述性质：,1. 非负性,注：模为1的向量称为单位向量，若0, 则,就是一个单位向
4、量，这样的到的向量一般称为把, 单位化（或标准化）.,二、向量的长度及性质,2. 齐次性,3. 三角不等式,【后面证明】,柯西布涅柯夫斯基不等式,定理：对于欧氏空间中任意二向量, ，恒有,其中等号成立的充要条件是与线性相关.,证明：若, 线性相关，则有 =0, 或者 =k, (kR) 在上述情况下，容易证明题设的等号成立.,若, 线性无关，则对于任意k R, 都有,(这是一个关于k的一元二次多项式.),因此上述不等式成立的条件是,即,总之恒有,则,因为,或,下面证等号成立的充要条件是, 线性相关。,充分性：若, 线性相关，则上面已证等号成立。,必要性：若上式等号成立，（用反证法），假设, 无关
5、，则,由上面分析立得：,矛盾。故必有, 线性相关。,应用实例,如在前面例1所定义的线性空间Rn中，由该定理的不等式得到：对于任意实数 ，,，有不等式,或者,又如,前面三角不等式性质的证明： 证明在欧氏空间中，对于任意向量, 有,证：,由前面定理知,，于是,开方得,两个非零向量的夹角,定义3：非零向量, 的夹角(, )规定为,，记为,若两个非零向量的夹角为 /2,，则称这两个向量,正交或相互垂直，记,显然，两个正交向量的内积为零，即若,则,特别的, 规定零向量与任何向量都正交.,向量, 正交 ,注： 1）只有零向量才与自己正交. 2）当向量正交时，存在类似勾股定理结论,欧氏空间中向量的距离,在一
6、个欧氏空间中，两个向量, 的距离定义为,，有时用符号,表示.,例4 在欧氏空间Rn中，向量组,，,，,中每个向量正交，则,与该向量组的任意线性,两两正交.,例5 在欧氏空间里，若向量与向量组,解:,组合也正交.,6.1.2 标准正交基底,定义 欧氏空间V中一组两两正交的非零向量，称为V的一个正交(向量)组. 若这个正交组中的每个向量都是单位向量，则此正交组称为标准正交组.,定理1 欧氏空间中的正交组是线性无关组.,由定理1知，n维线性空间中，正交组所含向量个数不会超过n.,么它是V的一个基底，称为正交基(底).,如果,是n维欧氏空间的一个正交组，那,一个标准正交组，则称为标准正交基(底)，或者
7、 规范正交基.,如果正交基底是,例1 验证向量组,容易验证：,，且,这又是一个单位向量构成的向量组，故又是一个,构成R3的一个标准正交组.,标准正交组. 它们构成R3的一个标准正交基底.,标准正交基 e1, e2, , en 满足关系式：,定理2,设,是欧氏空间V的一组线性无关,，其中,是向量,的线性组合.,向量，则存在V的一个正交组,满足要求的正交组为,该求解方法称为施米特(Schimidt)正交化方法.,定理3,任何n(n1)维欧氏空间，一定有正交基底，从而也一定有标准正交基底.,例2 由R3的一个基底,解：先由施密特(Schimidt)正交化方法求出等价的正交组，得,求R3的一个标准正交
8、基底.,再单位化，得,则,就是 R3的一个标准正交基底.,例3,解:,应满足方程,，即,把基础解系正交化，即为所求,。,定理4 设,是n维欧氏空间V的一个标准正交,，,则有,注：定理4 给出的公式显示出在欧氏空间中引入标准正交基的优越性. 任意的欧氏空间定义的任意内积，如果两个向量用同一标准正交基表示的话，这两个向量的内积等于它们的坐标构成的n维向量在Rn中的内积.,基底. 向量, 在该基底下的坐标分别为,小 结,内积的定义与性质(重点) 一些概念：向量的模、单位向量，向量的夹角，正交组、标准正交组，正交基、标准正交基(底)等 施密特正交化方法（重点）,思考题,1. 求一单位向量，使它与,正交
9、.,2. (习题12) 设V是n维欧氏空间，是V的一个固定向量，M = V : , =0 ，证明： (1) M是V的一个子空间. (2) 当 0 时，dimM=n1.,思考题解答,解2：设单位向量与1, 2, 3都正交，,以1, 2, 3为行向量的矩阵为A，则有 AT=0,求解方程组AX=0，即,得基础解系,单位化得,2. (习题12) 设V是n维欧氏空间，是V的一个固定向量，M = V : , =0 ，证明： (1) M是V的一个子空间. (2) 当 0 时，dimM=n1.,证明:(1) 对于1,2M, kR, 显然,1, =0, 2, =0.,则 1+2, = 1, +2, =0+0=0.,k1, = k1, =k1, =0.,因此 1+2M, k1M.,所以M是V的一个子空间.,(2) 由V是n维欧氏空间，0知，在V中必可找到n1个向量1, 2, ,n1使, 1, 2, ,n1为线性无关向量组.,设对该向量组正交化得向量组为,=, 1, 2, , n1.,于是 i, =0, i=1,2,n-1,则 1, 2, , n1都属于M, 且它们性无关，从而,dimMn1.,若dimM=n, 则,M=V,于是M,而由0知, 0 ，则M，这与M=V矛盾.,因此只能 dimM=n1.,
