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1、动态元件和动态电路导论,3,线性动态电路（ Linear dynamic circuit)的时域分析法,线性动态元件（ Linear dynamic element）的基本约束关系,线性动态元件,线性电容元件（linear capacitor） 线性电感元件( linear inductor ) 线性耦合电感元件( linear copuled inductor ),动态元件和动态电路导论,3,本章主要内容,动态元件及其基本约束关系、阶跃函数和冲激函数、输入-输出方程、初始条件和初始状态、零输入响应、零状态响应和全响应。,重点：,难点：,冲激函数,动态元件的u-i关系、阶跃函数和冲激函数、输入
2、-输出方程、初始条件和初始状态。,动态元件和动态电路导论,3,线性电容元件的q- u关系：,C电容(capacitance),单位：F F pF,反映电场储能性质,q-u 关系曲线,0,u,q,线性电容元件的u- i关系,微分形式,电容对直流相当于开路,故电容元件有“隔直”作用。,注意: u、i取一致参考方向,u、i参考方向不一致,积分形式,若t0 = 0，则,u(0)电容电压的初始值(initial value) 电容元件具有记忆(memory)特性,电容电流为有限值，电容电压不跳变。,线性电容元件中的能量,若u(t0)=0，则,电容元件的串联和并联,两个初始电压为零的电容元件串联,两个初始
3、电压为零的电容元件并联,线性电感元件的-i关系： =Li,L电感(inductance),单位：H、mH、H,反映磁场储能性质,线性电感元件的-i关系曲线,=Li,i,0,线性电感元件的u- i关系：,微分形式,电感对直流相当于短路。,注意：u、 i取一致参考方向,u、i参考方向不一致,积分形式,若t0 = 0,i(0)电感电流的初始值(initial value),电感元件具有记忆(memory)特性,电感电压为有限值，则电感电流不跳变。,线性电感元件中的能量,若i(t0)=0,初始电感电流为零的电感元件的串联和并联,串联,并联,对偶关系,电 容,电 感,(t)=Li(t),互感现象和互感,
4、自感磁通链,L1、L2 自感(self inductance)或自感系数,互感磁通链,M12 = M21 = M 互感(mutual inductance)或互感系数,总磁通链,单位：H,线性耦合电感元件的u-i关系,自感电压,互感电压,改变线圈绕向,改变电流参考方向,同名端及 M 的正、负,M 0,M 0,注意：u1、i1参考方向一致，u2、i2参考方向一致。,u1 (t)和i1(t)，u2(t)和i2(t)分别取一致的参考方向。耦合电感元件中每一元件的自感恒为正，而互感M可正可负。,判断M的正负原则是：当两电感元件电流的参考方向都是由同名端进入(或离开)元件时，M为正；否则，M为负。,如果
5、电感元件2中没有电流通过，则该元件中将无自感电压，电感元件1中将无互感电压。此时，互感的正负，可根据元件1中的电流和元件2的互感电压(即元件端电压)的参考方向是否均由同名端进入(或离开)元件而定，然后按上述原则判定M的正负。,例,电路的参数为L1=8H，L2=6H，L3=10H，,解：,单位阶跃函数(unit-step function),t = 0，函数值不确定，,定义,t,(t),1,0,移位的单位阶跃函数,用单位阶跃函数 表示的等效电路模型,直流电压源和任意网络接通,矩形脉冲(rectangular pulse)函数,单位冲激函数(unit-impulse function),定义,t,
6、(t),0,（1）,(t-t0)定义为,单位冲激函数的采样性质(sampling property),单位冲激函数和单位阶跃函数之间的关系,动态电路(dynamic circuit)：,输入-输出方程(input-output equation):,含有动态元件(即储能元件)的电路,联系输入变量和输出变量之间关系的单一变量的微分方程,由KVL和各元件方程得,复杂动态电路的输入-输出方程可用回路分析法或节点分析法建立,如以i1(t)为输出变量，消去变量i2(t)得,如以i2(t)为输出变量，消去变量i1(t)得,输入-输出方程的一般形式,微分方程的初始条件（initial condition）：
7、,输出变量的初始值及其1阶至n1阶导数的初始值,换路(switching):,电路与电源的接通、切断,电路参数的突然改变,电路联接方式的突然改变,激励源的突然改变,暂态过程（transient process) ：,通常认为换路是即刻完成的 ，以t = 0作为换路时刻,以t = 0-表示换路前的一个瞬时时刻,以t = 0+表示换路后的初瞬时刻,当电容电流为有限值时,当电感电压为有限值时,电路的初始状态(initial state) ：,各独立电容电压(或电荷量)和各独立电感电流(或磁通链)在t = 0+时的数值的集合,电路的原始状态(original state) ：,各独立电容电压(或电荷量
8、)和各独立电感电流(或磁通链)在t = 0-时的数值的集合,零状态(zero state)是零原始状态(zero original state)的简称,注意:,在电容电压与电感电流不跳变的情况下，电路的初始状态可根据电路的原始状态求得，电路中其它电压、电流的初始值可根据换路后的电路和电容电压、电感电流的初始值，以及独立源在t = 0+时的激励值，应用电路的基尔霍夫定律和元件的电压电流关系求出。,例1,求开关闭合后电容电压的初始值uc (0+)及各支路电流的初始值i1 (0+)、i2 (0+)、ic (0+)。,t = 0- 时的电路,t = 0+时的电路,例2,求开关闭合后电感电流的初始值iL
9、(0+)、电感电压的初始值uL(0+)以及其它两个支路电流的初始值i(0+)和is(0+)。,t = 0- 时的电路,解：,t = 0+时的电路,电压源的电压us(t)=et V；开关S在t = 0时闭合。已知i(0)=0, uc(0)=6 V，求以i(t)为输出变量的输入输出方程及其初始条件。,例3,在图示电路中，已知,解：,对开关闭合后的电路根据KVL和元件的电压电流关系 列方程,两端对时间求导得,在式,中令t=0+得,i(0+)也可从t =0+的电路中计算,零输入响应(zero-input response) :,电路在无输入激励情况下，仅由原始状态产生的响应。,一般动态电路的零输入响应
10、r(t)应是下列齐次微分方程的解,以二阶齐次微分方程为例,通解的函数形式,特征方程（characteristic equation）,特征根(characteristic root),若s1和s2不相等，则通解 为,根据初始条件确定积分常数,一般齐次微分方程的特征方程为,若特征根全为单根，则通解为,积分常数A1、A2、An由齐次微分方程的n个初始条件r(0+)、r(1)(0+)、r(2)(0+)、r(n1)(0+)决定。,由于特征根s1、s2、sn决定了动态电路零输入响应的性质 ，因此，特征根又被称为电路零输入响应的固有频率或自然频率(natural frequency)。,例,求图示电路中的
11、零输入响应i(t)，已知uc(0-)=6V ，,解：,电路的微分方程为,对上式两端求导得,初始条件为,特征方程为,特征根为,因而该微分方程的通解为,代入初始条件，可得,由此解出,故电路的零输入响应为,零状态响应(zero-state response)：,电路在零原始状态下，仅由输入激励产生的响应,rt (t) 称为补充函数解(complementary-function solution)，它是齐次微分方程,rf(t)为非齐次微分方程的任一特解(particular solution),的通解,当特征方程无重根时,特解rf (t)的函数形式与输入函数f(t)的形式有关,非齐次微分方程的通解为
12、,式中的积分常数应由非齐次微分方程的初始条件r(0+)、r(1) (0+)、r(n1) (0+)来确定,求微分方程,当,时的特解。,将f(t)和,代入得,例1,设,C1、C2、C3为待定系数,代入上式可得,比较等式两端对应项的系数，得,联解可得,故特解为,代入方程可得,通解为,积分常数B1、B2由给定的初始条件确定。,则方程为,设特解为,例2,求图示电路的零状态响应电流i(t)。已知R=2 ，L=1 H，C=1 F。,电路的微分方程为,解：,两端对时间求导得,代入参数值后变为,特征方程为,特征根为,齐次微分方程的通解为,设特解为,代入非齐次微分方程,中得,零状态响应的通解为,其一阶导数为,零状
13、态响应电流为,由于特解rf (t)的函数形式与输入函数的形式有关，rf (t)要受输入函数的约束，故特解rf (t)又称为响应的强制分量(forced component)，或强迫响应(forced response)。,补充函数解rt (t)随时间而变化的规律不受输入函数的约束。所以补充函数解rt (t)又称为响应的自由分量(free component)，或称自然响应(natural response)。,全响应(complete response)：,由输入激励与原始状态共同产生的响应,全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,全响应 = 强迫响应 + 自然响应,全响应的强制分量即为零状态响应的强制分量；全响应的自由分量则等于零状态响应的自由分量与零输入响应之和。,输入输出方程 3-20,初始条件 3-25,零输入响应 3-30,零状态响应 3-32,
