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1、齿轮啮合原理 曲面和曲线的曲率,成员：张玉明 张枭 林梅彬,主要内容,2,曲面的曲线,3,曲面的第一基本齐式和第二基本齐式,4,主方向和主曲率,5,Euler方程,6,Gauss曲率和曲面上点的三种基本形式,7,Dupin标线、短程线及曲面挠率,1,三维空间内的空间曲线,1.三维空间内的空间曲线,曲线的曲率和挠率,1.1密切面和基本三棱形,密切面定义：过空间曲线上M点的切线和M的邻近一点可作一平面，当点 或 沿曲线趋近M时，平面的极限位置称为曲线在M点的密切平面。,1.1密切面和基本三棱形,对于 类的曲线，其上任一正常点处的密切平面是最贴近于曲线的切平面。密切面同时也是由曲线在M点处的切线和加
2、速度所确定。密切面是一个特殊的切面，在切面的两侧，曲线离开密切面的偏差具有不同的符号，并且密切面的上下两侧均有部分曲线（当点M为逗留点时除外）。,1.1密切面和基本三棱形,以曲线的流动点为起点标出三个相互正交的矢量：如图所示，切线矢量 、主法线矢量 和副法线矢量 。这些矢量在固定坐标系中的方向随M点的位置不同而变化。由曲线的三个基本矢量 、 、 中的任意两个基本矢量所确定的平面分别叫做密切平面、法平面、从切平面。而由三个基本矢量和上面三个平面所构成的空间图形叫做曲线的基本三棱形,1.1密切面和基本三棱形,基本三棱形中的一些基本性质 （1）单位矢量 、 、 构成右手基本三棱形 （2）单位矢量的指
3、向沿着曲线的切线 （3）导矢 垂直于 ，并且位于密切面内 （4）副法线的方程,1.1密切面和基本三棱形,因为 的方向和矢量 的方向相同，且是单位矢量，于是 得到 的最终表达式,副法线方程的推导，由 得,1.2 Frenet-Serret方程,主要是在 中考察导矢（d/ds） ，即 ，并建立矩阵方程 式中 、 Frenet-Serret方程,1.2 Frenet-Serret方程,导矢（d/ds） 的推导图,1.2 Frenet-Serret方程,垂直于 ，并且与 和 同向，因此 也可以表示成,1.2 Frenet-Serret方程,对矢积 进行微分,1.3曲线的曲率和挠率,13/52,1.3曲
4、线的曲率和挠率,（1）用矢量函数 的导矢表示曲率 （2）用矢量函数 的导矢表示挠率 推导过程,14/52,1.3曲线的曲率和挠率,15/52,1.3曲线的曲率和挠率,用矢量函数 来表示曲线的方程，且 是从起始点开始的位置矢量。于是 和 构成密切面。同时，矢量 又位于密切面内，从而 ， 和 共面，由此得到密切面的方程,2.曲面的曲线,法曲率、空间曲线曲率,2.1曲面曲线的基本三棱形,类似于7.2节中定义的基本三棱形 ，我们定义下图示的三棱形 ， 其分量定义与中相同。下标“f”表明研究的对象是曲面上的基本三棱形和坐标系。,2.1曲面曲线的基本三棱形,为进一步讨论的需要，首先要确定导矢 ， ， 。现
5、假定两个基本三 棱形的公共原点沿曲面上的曲线运动，三维矢量 和 是曲线弧长s的函数；角 也是s的函数。 上面三个方程称为Bonnet-Kovalevski关系式。,2.2曲线上点的速度和加速度,曲线上运动的一点的加速度和速度可用于确定曲线曲率的方程。 运动的速度 式中 是曲线在点M处的切线 运动的加速度,2.2曲线上点的速度和加速度,切线 的方向决定于导数 。,2.2曲线上点的速度和加速度,曲面上空间曲线的加速度,2.3法曲率和空间曲线曲率,曲线 是一条平面曲线，是由曲面的法线和切线所确定的法面切割曲面而得到的，其法曲率表示为 考虑到 和 垂直于 ，有,2.3法曲率和空间曲线曲率,曲面的法截线
6、和曲面的空间曲线,2.3法曲率和空间曲线曲率,通过曲线 的法曲率和角 可以确定空间曲线 的曲率 空间曲线 的集合法面切割曲面的平面曲线 在点M处有相同的 切线矢量。,2.4 短程曲率,位于密切面内的曲线曲率可以用两个分量 和 表示，它们与曲率 的关系如下 式中矢量 称为曲线的短程曲率,2.4 短程曲率,短程曲率的计算公式 式中,3.曲面的第一基本齐式和第二基本齐式,28/52,3.1 第一基本齐式,3.2 第二基本齐式,3.3法曲率,4 主方向和主曲率,4.主方向和主曲率,图5 坐标曲线的切线,4.主方向和主曲率,4.主方向和主曲率,4.主方向和主曲率,4.主方向和主曲率,第七步 （确定主曲率
7、）利用的两个解和上式方程，我们得到所求的主曲率。 第八步 （主方向的表示）前面提到的的两个解和方程使我们能够用解析方法来表示主方向的单位矢量。一般情况下，曲面上任一点存在的两个正交的主方向都具有不同的主曲率值。球面是一个例外。另一个例外的情况是在所有方向上曲面的法曲率都为零。,5 Euler方程,5 Euler方程,5 Euler方程,推导上式基于以下的考虑,2）利用法曲率方程，经过变换后，我们得到,3）根据Rodrigue公式，在主方向上两个矢量是共线的，并且,4）从以上两个方程导出,5 Euler方程,5）根据上图的图形，有,6）同时考虑方程以上两个方程，我们就可以得到Euler方程。,6
8、 Gauss曲率和曲面上点的三种型式,曲面上一点处的Gauss曲率K可由下式表示,6 Gauss曲率和曲面上点的三种型式,曲面上的点有三种型式 1.椭圆点当主曲率具有相同的符号，而Gauss曲率K0时。 如下图所示。,6 Gauss曲率和曲面上点的三种型式,2.双曲点当主曲率具有不同的符号，而Gauss曲率K0 时。曲面在所考察处的点M附近呈现马鞍状。,6 Gauss曲率和曲面上点的三种型式,3.抛物点当两个曲率之一为零时（下图上的方向）,7.Dupin标线、短程线和曲面挠率,Dupin标线是平面曲线，它用图形说明曲线上点M领域内的法曲率变化。 这样的曲线上点的位置矢量用标记。Dupin标线在坐标系（，）表 示如下,7.Dupin标线、短程线和曲面挠率,短程线：如果曲线在其任一点M的主法线与曲面在点M的法线重 合，或者曲面上的线是直线，则曲面上这样的线是短程线。从 这个定义得出，短程线在其任一点处的短程曲率等于零。,以下的图形表示短程线的各种实例：,7.Dupin标线、短程线和曲面挠率,曲面挠率：曲面的挠率对于在曲面的点M彼此处于相切的整个曲线集合 都是相同的。这些曲线中的一条是短程线。短程线的曲线挠率和任意 一条与短程线相切的曲面曲线的曲面挠率是相同的。 这样曲面的挠率t可以表示为,
